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1、 上节介绍了普通母函数和指数母函数的概念，这节将讨论母函数运算的一些基本关系。4.2 母函数的基本运算 设A(x),B(x)和C(x)分别是序列(a0,a1,ar,),(b0,b1,br,)和(c0,c1,cr,)的普通母函数， 则有下列定义 C(x)=A(x)B(x)当且仅当对所有的i,都有定理4.3 C(x)=A(x)+B(x)当且仅当对所有的i,都有 ci=ai+bi(i=0,1,2,r,)。定理4.4 证明：由式(1.20)知故1/(1-x)是序列(1，1，1，)的普通母函数。例1设A(x)是序列(a0,a1,ar,)的普通母函数，则A(x)/(1-x)是序列(a0,a0+a1,a0+

2、a1+ar,)的普通母函数令B(x)=1/(1-x)，由定义4.4有:故A(x)/(1-x)=A(x)B(x)=C(x)是序列(a0,a0+a1,a0+a1+a2,a0+a1+ar,)的普通母函数。结论：若 ，则 App.1：若 则证：另外，我们在这里看一看形如bk=f(am, am+1, am+2, am+l)的母函数，它们有利于我们学会用母函数来解决问题。App.2：若 ，则证：App.3：若 ，则App.4：若 ，则App.5：若 ，则 App.6：若 ,则 解：先求序列(02，12，22，r2,)的普通 母函数。例2求和 的值。由式(1.20)知两边微分后再乘以x得再将上式两边微分后再

3、乘以x得由例1的结论知，故 是序列(02,12,22,r2,)的普通母函数。是序列(02,02+12,02+12+22,02+12+22+ r2,)的普通母函数。又由二项式定理式(1.16)知 由上式可见，在 的展开式中，xr的系数是故有 设A(x),B(x)和C(x)分别是序列 (a0,a1,ar,), (b0,b1,br,)， (c0,c1,cr,)的指数母函数，有定理4.5 C(x)=A(x)+B(x)当且仅当对所有的i,都有ci=ai+ bi(i=0,1,2,r,)定理4.6 C(x)=A(x)B(x)当且仅当对所有的i,都有认真体会定义4.6的原因：证明恒等式例3证明：原式左端故有将上式与定义4.6相比较，可见有考虑序列(a0,a1,ar,)=(1,1/2,1/(r+1),),求它的指数母函数。由于因此 是序列(a0,a1,

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