Matlab实验报告分形迭代

1、数学实验报告：分形迭代练习1实验目的：绘制分形图案并分析其特点。实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原 来分形图形的关系。实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运 行作图操作，否则继续迭代。实验步骤：Koch 曲线function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数if (n=0)plot(real(p);real(q),imag(p);imag(q);hold on;axis equalelsea=(2*p+q)/3; %求出从p至U q的1/3处端点ab=

2、(p+2*q)/3; %求出从p至U q的2/3处端点bc=a+(b-a)*exp(pi*i/3);%koch(p, a, n-1); %对pa线段做下一回合koch(a, c, n-1); %对ac线段做下一回合koch(c, b, n-1); % 对cb线段做下一回合koch(b, q, n-1); %对bq线段做下一回合endSierpinski 三角形function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c 为三角形顶点，n 为迭代次数if (n=0)fill(real(a) real(b) real(c),imag(a) imag(b) imag(c),b);% 填充

3、三角形 abc hold on;axis equalelsea1=(b+c)/2;b1=(a+c)/2;c1=(a+b)/2;sierpinski(a,b1,c1,n-1);sierpinski(a1,b,c1,n-1);sierpinski(a1,b1,c,n-1);end树木花草function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数plot(real(p);real(q),imag(p);imag(q);hold on;axis equalif(n0)a=(2*p+q)/3;b=(p+2*q)/3;c=a+(b-a)*exp(pi*i/6);%

4、d=b+(q-b)*exp(-pi*i/6);%grasstree(a,c,n-1);grasstree(b,d,n-1);endend5.主要输出：指令：koch(0,1,5); soerpinski(0,1,exp(pi*i/3),5); grasstree(0,i,5); TOC o 1-5 h z iI(iii0.9 -F /O.B - /-0.7 -1/-0 G - /树木花草Q三A 0.4 -0.3 -|-0 2 -0 1 -Q IIIIIIII-QG -Q4-0.2002040 G实验结论：以上图案的局部形状与原本图形用某种自相似性，这正是分形的特点。问题分析：一般迭代次数大于7

5、,程序运行时间就很长，因此迭代次数建议设定为5。练习2实验目的：研究Koah雪花的特征。实验内容：对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称 为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。方法思路：采用Koch曲线的迭代元来绘制。实验步骤：function xuehua(n)koch(0,0.5+(1/2)*sqrt(3)*i,n);koch(0.5+(1/2)*sqrt(3)*i,1,n);koch(1,0,n);endxuehua(1);xuehua(3)主要输出：不同n对应不同的图像如下：n=1实验结论：每一次迭加，所产生

6、的新三角形的边长变为上一次的1/3,数量为上一次的41 倍。而设原三角形边长为r，Koch雪花的面积S =+ m x 3x4-1 x4432ii=1由此可以推出雪花曲线的边长是无限的，而面积是有限的。另外，从图像可以看出，随迭代 次数n趋于无穷，图形每一点都没有切线。问题分析：由于没有找到matlab中相应的计算图形面积与周长的函数，所以这两项计算是 由人工完成的。练习3实验目的：研究分形维数反映出来的分形的特性。实验内容：利用分形维数公式d=log(n)/log(c)计算雪花曲线，Sierpinski三角形，Minkowski 香肠的维数并与其图像显现出的性质进行比较。方法思路：只需画出Mi

7、nkowski香肠的图像，其他分形利用之前图像与维数进行比较即可。实验步骤：Minkowski 香肠：function Minkowski(p,q,n)if (n=0)plot(real(p);real(q),imag(p);imag(q);hold on;axis equalelsem=(q-p)/4;m1=real(m);m2=imag(m);a=p+m; b=a+(-m2+m1*i);c=b+m;d0=c+(m2-m1*i);d=c+2*(m2-m1*i);e=d+m;f=e+(-m2+m1*i);Minkowski(p, a, n-1);Minkowski(a, b, n-1);Min

8、kowski(b, c, n-1);Minkowski(c, d0, n-1);Minkowski(d0, d, n-1);Minkowski(d, e, n-1);Minkowski(e, f, n-1);Minkowski(f, q, n-1);实验输出：由分形维数公式log(n)/log(c)可计算的个图形的维数。雪花曲线：log4/log3=1.26Minkowski 香肠：log n/logc=1.5Sierpinski 三角形：log3/log2=1.58Minkowski 香肠:0.3 TOC o 1-5 h z 0一2 -0.1 -尹-0-102 事-0.3 -IIiiIiII

9、I00.10.20.30.40L60.60.70.80.91实验结论：可见雪花曲线，Sierpinski三角形，Minkowski香肠的维数都在1与2之间，它 们的图像的面积都有极限，而图形边长无限长。维数越接近1，则图形有更多的曲线的性质， 维数越接近2,则图形有更多的平面的性质，由此可推算Hilbert曲线的维数很接近2。问题分析：迭代次数越大，则图像的说明效果越好，但程序的运行时间也越长，建议迭代 次数不要超过7。练习4实验目的：探索Weierstrass函数图像的性质实验内容：已知Weierstrass函数如下：W G)=考 XG-2)k sin (Xkx),人 1,1 s 2,k=1

10、对不同的s值，画出函数图像，观察图像的不规则性与s的关系，并猜测Weierstrass 函数图像的维数与s的关系方法思路：由于Weierstrass函数表达式中为无穷项求和，Matlab中使用无穷项求和花费太多时间，所以考虑取足够大的项数进行运算，通过变换s的值，画出不同的图像 进行比较，达到原来的实验目的。实验步骤：syms f xf=0; y=10; s=1.4;%s=1.6;%s=1.8;for i=1:100f=f+yA(s-2)*i)*sin(yA(i)*x);endezplot(f,0,2)5.实验输出:S的取值对应Weierstrass函数的图像6.实验结论：Weierstras

11、s函数图像随着s值的增加变得更加不规则猜测随着s取不同的值，Weierstrass函数图像的维数随着s值得增加而变大7.问题分析：考虑到不同项数的做和可能会影响图像的准确性，但在实验了 100项、300 项和500项的做和后，发现图像改变并不是很大，而当项数改为1000后， 发现又要等很长的时间，且得到的结论相同，所以取100项的求和进行实 验。练习6实验目的：绘制Mandelbrot集和Julia集。实验内容：绘制Mandelbrot集并局部放大，与其不同的部位(内点、外电、边界点及芽抱 内点)对应的Julia集形状进行对比。实验思路：按照Mandelbrot集和Julia集的构造方法，先编

12、写好相应函数，观察Mandelbrot 集的局部细节，出几个典型的内点、外电、边界点及芽抱内点，然后画出对应的Julia集并 比较。实验步骤：Mandelbrot 集function mandelbrot(z,r,k,d)if nargin 4k = 200; %迭代次数d = 500; %分辨率z=-0.75; %中心r=1.25; %显示半径endx = linspace(real(z)-r,real(z)+r,d);y = linspace(imag(z)-r,imag(z)+r,d);A = ones(d,1)*x+i*(ones(d,1)*y);C=A;B = zeros(d,d);

13、for s = 1:kB = B+(abs(A)=2);A = A.*A+C;end;imagesc(flipud(B);colormap(jet);hold off;axis equal;axis off;Julia 集function Julia(c,k,v)if nargin 3c = -0.5; k = 100; v = 500;endr = max(abs(c),2);d = linspace(-r,r,v);A = ones(v,1)*d+i*(ones(v,1)*d);B = zeros(v,v);for s = 1:kB = B+(abs(A)=r);A = A.*A+ones

14、(v,v).*c;end;imagesc(B);colormap(jet);hold off;axis equal;axis off;5.主要输出：以下为不同z值的Mandelbrot集的局部放大图形以及对应的Julia集图形Mandelbrot集全局图对应Julia集Mandelbrot 集局部z= -1+0.5iz为外点。z= -1.448z为芽抱的 内点z= -1+0.3iz为边界点。6.实验结论：当z为Mandelbrot集的内点时，则对应的Julia集有内点，且图形面积很大；当z为Mandelbrot集的外点时，则对应的Julia集为空集；当z为Mandelbrot集的边界点时，则对

15、应的Julia集无内点但连通，且两图形状相似。 当z为Mandelbrot集的芽抱的内点时，则对应的Julia集有内点，且芽抱的面积越大， 对应Julia集的面积越大。另外，Mandelbrot集的芽抱与整个Mandelbrot集有明显的相似性。7.问题分析：由于分形的结构是无限精细的，要确定Mandelbrot集的边界点并不容易，事实上 实验过程中只选取了一个与边界点很接近的点；另外，根据本算法所画的Julia 集是不可能为空集的，但可以根据Julia集的收敛速度判断其实际的Julia集是否 为空集。练习9实验目的：绘制IFS迭代的吸引子图，并观察图形的特点。实验内容：给定的仿射变换为：w1

16、(Z) = sZ+1，w2(Z) = sZ -1相应概率p1=p2=0.5，其中s，Z为复数，现取s=0.5+0.5i，绘制相应IFS迭代 吸引子图，再通过变换s的值，观察图形变化。方法思路：可以构造一个0,1上随机取值的n列矩阵来完成这个概率事件，当第i个元的值小于0.5时，取w1的迭代方式，反之，取w2的迭代方式，再将最终的所有迭 代。序列汇总为一个n行矩阵，再在图上进行描点。实验步骤：n=1000000;p=rand(n,1);w=zeros(1,n);s=0.5+0.5*i;%s=1+0.5*i;%s=0.5+0.4i;%s=0.4+0.5i;Z=1+i;w(1)=Z;for m=1:n-1if p(m)0.5w(m+1)=s*w(m)+1;elsew(m+1)=s*w(m)-1;endendplot(w(1:n),.,MarkerSize,1)5.实验输出:s的取值IFS迭代的吸引子的图形s=0.5+0.5i2iii-2iiIiiIiiI*巧 -21 51-D.500 511.522.5s=1+0.5i7.9Q53* 4 ，*:3* *4昏4 3336 -L l l