倒易格子与电子衍射

1、9 倒易格子与电子衍射2010.61电子衍射照片2不同入射方向的CZrO2衍射斑点 (a)111; (b)011; (c) 001; (d) 1123一、倒易格子概念及性质二、倒易球(Ewald)与衍射方向三、倒易格子解释粉晶衍射四、倒易格子与电子衍射4一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义 对一点阵，用矢量(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。 空间格子 引入三个新基矢(a*,b*,c*)，记为S*=S(a*,b*,c*)。 倒易格子 二者之间的关系： a*a=1 a*b=0 a*c=0 b*a=0 b*b=1 b*c=0 c*a=0 c*b=0 c*c=1则S*称作S的倒易点阵

2、(Reciprocal lattice)。52. 正倒格子的关系： a*=(bc)/V b*=(ca)/V c*=(ab)/V 其中V= a (bc) 正格子的体积倒易向量的方向： a* bc平面 b* ca平面 c* ab平面倒易向量的长度(当晶体的=90时) |a*| = 1/a |b*| = 1/b |c*| = 1/c(当晶体的、为任意角度时)|a*| = bcsin/V |b*| = casin/V |c*| = absin/V6abca=b=c=90a*b*c*|a*| = |b*| = |c*| =1/a*=*=*=90立方晶系7abca=bc=90a*b*c*|a*|=|b*|

3、=1/a; |c*|=1/c*=*=*=90四方晶系8 斜方晶系：a*，b*，c*分别与a，b，c重合，但长度互为倒数关系。9六方晶系时，=90，=120则：*=*=90，*=6010a*c*b*倒易格子中点的坐标(001) (100) (010) (111)(-1-1-1)113. 倒易点阵的性质： 倒易点阵中任意一个向量Hhkl (倒易点阵的原点指向倒易点的向量)： Hhkl=ha*+kb*+lc*有： (1) Hhkl (hkl) (2) |Hhkl| = 1/dhkl 即倒易向量Hhkl垂直于正点阵中的面网(hkl)，且倒易向量的长度为面网间距的倒数。 正点阵中的每一组面网相当于倒易点

4、阵中的一个倒易点，该点的位置在面网的法线方向，该点距离倒易原点的距离为面网间距的倒数。12倒易格子中用向量描述点的坐标H110=a*+b* |H110|=1/d110H110 (110)H11-1=a*+b*-c* |H11-1|=1/d11-1H11-1 (11-1)H111=a*+b*+c* |H111|=1/d111H111 (111)11011111-113证明 Hhkl (hkl) 并且 |Hhkl| = 1/dhkl以斜方晶系的(110) 面网，倒易格子点H110为例aba*b*H110(110) |H110| = 1/ d11014aba*b*H110(110)12 tg(2)

5、= |a|/|b| = a/b tg(1) = b*/a* = (1/b)/(1/a) = a/b 1 = 2故：H110 (110) 。扩展到倒易格子的任意结点，亦满足以上条件15某斜方晶系的空间格子 (正空间)每个结点是晶体结构中的一个相当点。16倒易格子 (倒空间)每个结点对应晶体结构中的一组面网。倒易格子中，原点到每个结点的距离对应正格子中的一组面网，倒易向量的长度等于面网间距的倒数，倒易向量与正格子中的面网垂直。174. 利用倒易点阵表示面网间距及面网夹角（1）面网间距及面网夹角根据 Hhkl=1/dhkl=ha*+kb*+lc*两边取平方得：|Hhkl|2 = |1/dhkl|2

6、= h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hka*b*cos*+2klb*c*cos*+2lhc*a*cos*例如对于斜方晶系：H2= h2a*2+k2b*2+l2c*2 = h2/a2+k2/b2+l2/c2181920笔者编写的一个简单程序：根据已知晶系和晶胞参数计算面网间距及面网夹角、晶带轴等。215.晶带定律某斜方晶系的 001晶带及该晶带的面网 图中，面网(100) (010) (110) (1-10) (120)(1-20)均平行于001晶向，这些面网构成以001为晶带轴的晶带。这些面网的法线方向皆与001晶带方向垂直。 22设晶带方向uvw ruvw=ua+vb+wc晶面(hkl

7、)的法线方向即倒易矢量方向，记为， ghkl=ha*+kb*+lc*若晶面(hkl)属于uvw晶带，则有 r g = 0，即: r g = (ua+vb+wc)(ha*+kb*+lc*) = 0所以： hu+kv+lw=0此即晶带定律。23同一晶带的面网的倒易点分布在一个倒易平面上。满足hu+kv+lw=024当 r g =0 时，同一晶带的所有倒易点分布在一个平面上，并且该倒易平面必然通过倒易原点，称之为uvw晶带的0层倒易面，记为(uvw)*0。当 r g N时，(为广义晶带定律), 倒易矢量g与r不垂直。这时g的端点落在非零层倒易平面上，记为(uvw)*N 。250层倒易平面与非零层倒易

8、平面 26（3）求晶带轴属于晶带uvw的任意两个不是互相平行的平面(h1k1l1)，( h2k2l2)即可决定一个晶带，根据晶带定律有： h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0 解该联立方程可得：即u:v:w =(k1l2-k2l1) : (l1h2-h1l2) : (h1k2-k1h2)27（4）已知晶带轴，求0层倒易面举例例1. 求立方晶系（100）*0。 把100代入晶带定律公式hu+kv+lw=h=0， 得：该晶带的面网，其面网指数中h必等于零，其中倒易距离最短(面网间距最大)的有： (010), (001)，(011)等设O点为倒易格子原点，A点为倒易点(010)，O

9、A=1/a28则由面网夹角计算公式：可得:|H001|=1/a |H010|=1/a |H011|=2/a H010H001=90 H010H011=45 29依次类推可以求出该倒易平面的所有点。30立方晶系(100)* 010031实际上在推导倒易平面上的所有倒易点时，只需要知道平行四边形的3个倒易点(含倒易原点000)，即可按向量法则求出所有其他点，见倒易格子与电子衍射一节。32例2. 垂直于立方晶系110方向的倒易平面由 hu+kv+lw=h+k=0，只要h和k量值相等，符号相反，即属于该晶带，倒易距离最短和次短的面有 (001) (1-10) (1-11)，计算得：|H001|=1/a

10、 |H1-10|=2/a |H1-11|=3/a H001H00-1=180 H001H1-10 =90 H001H1-11=54.7533立方晶系(110)* 034立方晶系(110)* 011035衍射方程：(Bragg equation) =2 d sin二、倒易球(Ewald)与衍射方向361. 布拉格方程正格子中的面网，等间距排列，当X射线照射时，可采用“反射”的方式发生衍射，光程差 = n= DBBF dhklsin + dhklsin = 2dhklsin 即有：n2 dhklsin式中的n为反射级次，可以采用虚拟面网的方式消去n，实际采用的布拉格方程式为 2 dhklsin37

11、倒易格子中任意一个节点可以用向量描述为：Hhkl=ha*+kb*+lc*且Hhkl面网(hkl)|Hhkl|=1/dhkl2. 厄瓦尔德(Ewald)图解-倒易球38波长为的入射光，照射的晶体上。39在入射光的方向，画半径为1/的圆(球)，此即Ewald球。1/40PO倒易格子点P与Ewald球相交，即点P正好处于球面上，OP=Hhkl|Hhkl|=1/dhkl Hhkl面网(hkl)41PO则在DP方向产生衍射。证明：|DP|=1/, |OP|=1/dhkl虚线方向与OP垂直，即为面网(hkl)的方向。D42图中O为倒易格子原点，以1/为半径作圆(球)此即倒易球，D为圆心，AO为入射X射线方

12、向，P为倒易格子中的一个倒易点，则衍射方向为DP。即：与倒易球相交的倒易点，满足衍射方程，可以产生衍射。衍射的方向为倒易球中心到倒易点的连线延长线。43证明：APO=90，即AP与倒易矢量OP垂直，即与该倒易点代表的面网的方向平行，OP为倒易格子矢量，则|OP|=1/dhkl,则sin = OP/AO =(1/dhkl)/(2/) = /2 dhkl即=2dhklsin结论：当倒易格子点和倒易球相交时，衍射方向为倒易中心和倒易点的连线方向。也只有落在倒易球球面上的倒易点，才可以产生衍射。44图中，O为倒易格子原点，C为按半径=1/所画出的倒易球的中心，倒易格子结点与倒易球相交，对应的倒易向量分

13、别为OP，入射线方向：CO衍射线方向：CP倒易格子、倒易球与衍射方向 453. 厄瓦尔德倒易球及极限球 以倒易原点O为球心，以2/为半径，作圆（球），凡是落在该球范围内的倒易点，则有可能产生衍射，而落在该球范围外的倒易点，则不管晶体怎么取向，也不可能与倒易球相交，因此称之为极限球。极限球内的倒易点，其倒易矢量长度 /2，而极限球外的倒易点，dhkl /2。46单斜晶系倒易格子平面举例 47放置上倒易球和极限球后可以发现，极限球内的倒易点皆有可能产生衍射效果，观察图中的H*点，处在极限球内，但与倒易球不相交。48假定入射线方向不变，则倒易球的位置不改变。但晶体的取向可以改变，从而带动倒易格子转动

14、(倒易原点不变)，则总可以使得H*倒易点与倒易球面相交从而产生衍射效果。同样道理，晶体采取其它不同取向方式后，总可以使得极限球内的所有倒易点皆有机会与倒易球相交，从而产生衍射效果。49三、倒易格子解释粉晶衍射图中，O为倒易格子原点，蓝线为入射线方向。倒易球与倒易点没有相交，故不能产生衍射。观察1点和点2。 50由于粉末样品随机取向，即各个晶体颗粒的倒易格子是随机分布的，则点1和点2，必有部分颗粒的取向正好使其与倒易球相交，从而产生衍射。51每一个倒易点，由于晶体取向不同，该倒易点的位置可在图示的蓝色圆周移动。在3D空间考虑，该点的可能轨迹构成一个以倒易原点的中心的球体 52点1的轨迹球与倒易球

15、的交点分布在一个圆周上，因此，产生的衍射线分布在一个圆锥面上。 53极限球内的任意点，皆可与倒易点1一样产生衍射圆锥，因此，最终形成的衍射分布为一系列的同轴圆锥。 54对于产生的衍射圆锥，可以采用环形安装底片或采用平板状安装底片(CCD记录)的方式。环形底片记录的是成对的衍射弧线，亦可以采用衍射仪的记录方式变成衍射图谱。平板状胶片记录的是一个个衍射同心圆 。5556红色圆(球)为倒易点1在晶体不同取位时可能出现的轨迹。其它倒易点类似。57585960倒易球、倒易点可能位置(红色圆环)与胶片记录方式的关系 61四、倒易格子与电子衍射1. 电子波的波长电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角

16、度2也特别小。622. 晶体形状与倒易点形状的关系633. 倒易格子与倒易球64因为电子束的波长很短，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面。电子束入射方向相当于晶带轴uvw。0层倒易面即(uvw)*0。一般只有0层倒易才可发生电子衍射。65另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，电子束才能顺利穿过样品，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。664. 电子衍射方程倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G点。因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面接近平面，因此，O1O/O1O = OG / OG1/

17、L = 1/d/R Rd=L此即电子衍射的衍射方程在恒定的实验条件下，L是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。67由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*0的放大像。（uvw）*0平面法线方向即晶带uvw，平行与入射束方向(反向)。因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*0平面相似，具有周期性排列的特征。685. 单晶电子衍射花样的标定标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向UVW，并确定样品的点阵类型和晶体的取向。69一例典型的电子衍射花样 70以下从倒易格子的特征出发，讨论衍射斑点的指标化。71表达衍射花样周期性的基本单元（菱形）的形状与大小可由花样中

18、最短和次最短衍射斑点矢量R1与R2描述。72平行四边形中3个衍射斑点连接矢量满足矢量运算法则： R3=R1+R2|R3|2=|R1|2+|R2|2+2|R1|R2|cos (为R1,R2夹角)同理：R4=R1+2R2|R4|2=|R1|2+|2R2|2+2|R1|2R2|cos =|R1|2+4|R2|2+4|R1|R2|cosR5=R1-R2|R5|2=|R1|2+|R2|2-2|R1|R2|cos73若R1与R2两个向量代表的衍射斑点指标为 (h1k1l1), (h2k2l2)，则R3：(h1+h2,k1+k2,l1+l2)=(h3k3l3)R4: (h3+h2,k3+k2,l3+l2)=

19、(h4k4l4)R5: (h1-h2,k1-k2,l1-l2)=(h5k5l5)74若已经确定 (h1k1l1), (h2k2l2)倒易指数为 (100)和(010), 则上图中各点的指标化结果都可运送得出7576向量运算举例1234020-1101: (-1+0, 1+2, 0+0)=(-130) 2: (-1+(-1), 1+1, 0+0)=(-220)3: (-2-0, 2-2, 0-0) = (-200) 4: (-1-0, 1-2, 0-0)=(-1-10)77如果晶体为面心结构，即衍射指标必须全奇或全偶该倒易点才可产生衍射(X射线的消光规律)。 面心结构的晶体的典型电子衍射图 78

20、体心结构的晶体，衍射指标要符合h+k+l=偶数。体心结构的晶体的典型电子衍射图 因此，可根据电子衍射图的指标化结果确定空间格子类型。79（2）确定与入射电子束平行(但反向)的晶带轴方向uvw 因为不在同一平面的两个晶面即可决定一个晶带。一般选取上述的R1和R2向量终点的两个倒易点的指标，该两个点代表不互相平行的两组面网，面网符号分别为 (h1k1l1) (h2k2l2)，按晶带定律计算晶带轴uvw。80根据晶带定律有： h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0解该联立方程可得：即u:v:w =(k1l2-k2l1) : (l1h2-h1l2) : (h1k2-k1h2)81例1.

21、 已知纯镍(fcc)的衍射花样(a=0.3523nm), R1=0.0805nm, R2=0.2038nm, R3=0.0784nm， 夹角1=82，2=76求各点的衍射指标及晶带轴。6. 衍射斑点指标化举例(1)已知样品晶体结构(晶系与点阵类型及点阵常数)和相机常数的衍射花样标定82a=0.3523R1=0.2038 (111) R2=0.0805 (331)R3=0.0784 (420)83a=0.3523R1=0.2038 (111) R2=0.0805 (331)R3=0.0784 (420).任意确定(h1k1l1)为(111)，.则(h2k2l2) 为(-331)时夹角正确。.则(

22、h3k3l3) = (h1k1l1)- (h2k2l2) = (111)-(-331)=(4-20).验证角度正确。84从而可得出全部衍射点的衍射指标。由晶带定律可求得晶带方向为： 111-331 = 24-6=12-385例2：已知铁素体为体心立方、a=0.287nm，相机常数C=1.41mmnm。RA=7.0mm, RB=10.0mm, RC=12.3mm, RD=21.5mm, 夹角1=55，2=71对衍射图进行指标化，并求出晶带指数。按RdC即(L)，由各点对应的面网间距d值。86衍射点R/mmd/nmA7.10.199B10.00.141C12.30.115D21.50.0656hk

23、l110200211411解1：87A110C211 302-1-1 73.22112 54.74A：110B：200C：211D：41188A110C112BRB=RC-RA=002DRD=RC+RB=11470.53 A：110B：002C：112D：11411011289晶带轴=2-20=1-10A：110B：002C：112D：11411011200211400490A011C112 302-1-1 125211 54.74A：011B：200C：211D：411解2：91A011C211BRB=RC-RA=200DRD=RC+RB=41170.53 A：011B：200C：211D：

24、41101121192晶带轴=02-2=01-1A：110B：002C：112D：11401121120041140093晶带轴=02-2=01-1011211200411400晶带轴=2-20=1-10110112002114004立方晶系，01-1=1-1094例3：已知莫来石: 空间群: Pbam (55)；a=7.553，b=7.686，c=2.8864，点1:5.373，点2:2.887，点3:2.528。夹角13=61.14，12=89.13。求解：莫来石纤维的延伸方向。 95衍射点d/hkl15.37311022.88700132.528111解: (1)求出各点衍射指标为96(

25、2)当1为(110)时97(3)得到指标化结果(4) 晶带轴为1-10(5) 纤维的延伸方向为：00111000111198(4) 标准花样对照法预先制作各种晶体点阵主要晶带的倒易平面(图)，称为标准花样。通过与标准花样对照，实现电子衍射花样斑点指数及晶带轴标定的方法即为标准花样对照法。标准花样对照法标定过程简单，不需烦琐计算。997. 复杂电子衍射花样实际遇到的单晶电子衍射花样并非都如前述单纯，除上述规则排列的斑点外，由于晶体结构本身的复杂性或衍射条件的变化等，常常会出现一些“额外的斑点”或其它图案，构成所谓“复杂花样”。例如，高阶劳埃区电子衍射谱。 100(a)对称入射 (b)不对称入射高

26、阶劳埃区衍射谱示意图1018. 利用电子衍射确定超结构举例 合金Cu3Au可以为无序分布，亦可以为有序分布。无序分布时，结构为立方面心格子，有序分布时为立方原始格子。1021039.典型0层倒易面举例(1) 立方原始格子 (001) * 0 (图形4次对称)104(2) 立方原始格子 (110)* 0 (图形2次对称)105(3) 立方原始格子 (111)* 0 (图形为6次对称)106立方面心格子的倒易格子 产生衍射的条件为h，k，l全奇或全偶，图中的(100)(010)(001)等灰色的倒易点不能产生衍射，只有蓝色的倒易点才可以产生衍射，即(111)(-111)(11-1)等点。10011

27、0111-11111-1107删去不能产生衍射的倒易点111-11111-1-11-1-1-1-11-1-11-11-1-11108200220020022222202002111扩大倒易格子的显示范围后，可以看出，面心格子的倒易点分布可看作体心格子。109b*a*(4) 立方面心格子轴向零层倒易面 (001)* 0（图形为4次对称） 消光倒易点能产生 衍射的 倒易点220020200110b*a*200220020111(5) 立方面心格子110方向零层倒易面 (110)* 0（图形为2次对称） 消光倒易点能产生 衍射的 倒易点0011-101-110021121-110022-20113(6) 立方面心格子111方向零层倒易面 (111)* 0（图形为6次对称） 11420-22-200-22-202-22002-2115立方体心格子的倒易格子 产生衍射的条件为h+k+l=2n，图中的(100)(010)(001)(111)等灰色的倒易点不能产生衍射，只有蓝色的倒易点才可以产生衍射，即(101)(011)(110)等点。100110111010001011101a*b*c*116删去不能产生衍射的倒易点110-1