《12.3角的平分线的性质》

1、12.3. 角平分线的性质ADBCEADCB学习目标： 1. 通过操作、验证等方式，掌握角平分线的性质定理 2. 能运用角的平分线性质定理 解决简单的几何问题. 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学重点：难点： 对角平分线性质定理中点到角两边的距离相等的正 确理解；2. 对于性质定理的运用。课前准备：圆规、直尺 、白纸、角下图中，能表示点P到直线 l 的距离的是线段PC的长回忆一下 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 对折情境问题 动手试一试探究1、如图，是一个角平分仪，其 中 A

2、B = AD, BC = DC。将点A放在角的顶点, AB和AD沿着角的两边放下, 沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题 ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB （全等三角形的对应边相等） AC平分DAB（角平分线的定义）ADBCE证明： 根据角平分仪的制作原理, 怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE探究新知活动3NOMCENM已知：AOB求作：AOB的平分线尺规作图已知:AO

3、B,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC.作法:用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.3.作射线OC.请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要掌握.ABOC则射线OC就是AOB的平分线.DE1平分平角AOB2通过上面的步骤，得到射线 OC 以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直 线AB是什么关系？ 3结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的 垂线的方法。活动4ABOCD实践应用(

4、1) (1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究角的平分线的性质证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等） PAOBCED12已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证: PD=PE

5、探究角平分线的性质活动5(3)验证猜想已知：一个点在一个角的平分线上求证：这个点到这个角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质：活动5 利用此性质怎样书写推理过程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12 1、如图, OC 是 AOB 的平分线, 点 P 在 OC 上, PDOA, PEOB , 垂足分别是 D、E, PD = 4cm,则 PE = _ cm.ADOBEPC4随堂练习2、 如图，在ABC 中，C900，AD 平分BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点D到AB的距离为_。ACDBEE

6、3随堂练习A0BMNPC3、如图，OC平分AOB， PMOB于点M，PNOA于点N， POM的面积为6，OM=6，则PN=_。2随堂练习思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路公路铁路 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等。利用三角形全等，角的内部到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上。则： 我们知道集贸市场应建在 区公路、铁路的角 平分线上，且到公路、铁路的距离为米处。500米集贸市场在哪里？例2：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ABCPEFMD例

7、题讲解证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于FPD=PE同理,PE=PF. PDPE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等N如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？思考题度假村活动6 如图：在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EBACDEBF实践应用(2) 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE (因为角的

8、平分线的性质) 再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC. 温馨提示:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. BAEDCF用一用(2)3、如图，ABC中，C=90，AC=CB，AD为BAC的平分线，DEAB于点E。求证：DBE的周长等于AB。ABCDE练习小结与作业一、过程小结：情境观察作图应用探究再应用二、知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？回味无穷定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言：12 P