2019版高考数学二轮复习 专题二 立体几何 规范答题示例4 空间角的计算问题学案(考试专用)

1、规范答题示例4空间角的计算问题典例4(15分)(2017浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值审题路线图方法一(1)取PA的中点为F，连接EF，FB证明四边形BCEF为平行四边形CEBFCE平面PAB所以EFAD且EFAD，又因为BCAD，BCAD，规范解答分步得分方法一(1)证明如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，1212所以EFBC且EFBC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.4分因为

2、BF平面PAB，CE平面PAB，因此CE平面PAB.6分构建答题模板第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的1(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.正弦值.在PBN中，由PNBN1，PB3得QH，在RtMQH中，QH，MQ2，因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD，又PNBNN，PN，BN平

3、面PBN，所以AD平面PBN.9分由BCAD得BC平面PBN，又BC平面PBC，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.12分设CDeqoac(,1.)在PCD中，由PC2，CD1，PD2得CE2，1414第四步得结论：得到所求夹角的正弦值.所以sinQMH2，8所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.15分以O为原点建立空间直角坐标系，求各点的坐标求平面PAB的法向量n和CE的坐标CEn0得出结论(2)求平面PBC的法向量m利用sin|cosCE，m|求线面角的正弦值审题路线图方法二(1

4、)取AD中点为O，连接OB，OPAD平面OPB2BCADOD，且BCOD，规范解答分步得分方法二(1)证明设AD的中点为O，连接OB，OP.PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，OPAD.12四边形BCDO为平行四边形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB平面OPB，AD平面OPB.2分过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.4分设CD1，则有A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)设P(x,0，z)(z0)，由PC2，OP1，构建答题模板第一步找垂

5、直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标第三步求向量：求直线的方向解得x，z.x121z24，得x2z21，1322向量或平面的法向量.第四步即P，0，E为PD的中点，E，.AP，1，AB(1,1,0)，1322113424设平面PAB的法向量为n(x1，y1，z1)，1322求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.x1y13nAP0，nAB0，1z0，即221xy0，11解得x1y1，z13y1，令y1，得n(1，1，3).7分3而CE，CEn0，BC(0,1,0)，BP，0，135424又CE平

6、面PAB，CE平面PAB.10分(2)解设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，3322mBC0，mBP0，y20，即332x22z20，|CEm|2则sin|cosCE，m|.|CE|m|令x21，得m(1,0，3).13分设直线CE与平面PBC所成的角为，8故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为28.15分评分细则(1)方法一第(1)问中证明CE平面PAB缺少条件扣1分，第(2)问中证明PNAD和BNAD各给1分(2)方法二中建系给2分，两个法向量求出1个给3分，没有最后结论扣1分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练4(2018全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC

7、的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解方法一如图，作PHEF，垂足为H.4以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系所以PH3则H(0,0,0)，P0，0，3，D1，0，DP1，3，HP0，0，3又HP为平面ABFD的法向量，由(1)得，PH平面ABFD.Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE3.又PF1，EF2，所以PEPF.32，EH2.3223.222设DP与平面ABFD所成的角为，则sin|HPDP|4|HP|DP|3334.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值