第七章--常微分方程-7.4-二阶常系数线性微分方程课件

1、第七章 常微分方程二、 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 二阶常系数齐次线性微分方程的通解7.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程,( r 为待定常数 ),所以令的解为 其根称为特征根.结论： 1. 齐次线性微分方程解的叠加原理，即y1(x) 和y2(x) 都是方程的两个解，那么C1 y1(x) +C2 y2(x) 也是解.二阶常系数非齐次线性微分方程:2. 如果y*是二阶非齐次线性方程的一个特解,Y 是齐次方程的通解,则y*+Y是二阶非齐次线性微分方程的通解 1. 当时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的

2、通解为则微分一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解考察特征方程2. 当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解 设另一特解( u (x) 待定)代入方程，得是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为3. 当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 ,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .例1 求方程 的通解解： 解特征方程 特征根为故所求通解为例2 求方程 的通解解： 解特征方程 特征根为故所求通解为例3 求方程 的通解解： 解特征方程 特征根为故所求通解为二阶常

3、系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法二、二阶常系数非齐次线性微分方程1.是n次多项式. 例4 求方程 的一个特解. 解: 设y是x的n次多项式,则y是n-1次多项式, y是n-2次多项式.由方程两边次数相等,故n=2. 令是方程特解,则 代入方程，得 整理得比较系数得 解得 故是方程的一个特解. 例5 求方程 的一个特解. 解： 设y是x的n次多项式,则y是n-1次多项式, y是n-2次多项式.由方程两边次数相等,故n=3. 代入方程，得

4、令是方程特解,则 整理得比较系数得 解得 故是方程的一个特解. 例6 求方程 的一个特解. 解: 方程两边同时积分得再积分得 取 ，得到一个特解2.是n次多项式. 做变量代换 ，则 代入方程, 整理得得到 即 因此， 是方程的解等价于 是方程的解. 例7 的一个特解. 解:特征多项式为设特解为 ，则比较等式两边次数，设 则比较系数, 得解得 原方程的一个特解为 例8 求方程 的通解,并求满足条件的特解.解:特征多项式为即特征方程为 有重根 对应齐次微分方程通解为 设原方程特解为 ，则得特解因此原方程的一个特解为 故原方程的通解为 求导得 将 带入得解得 特解为 例9 求微分方程 的一个特解. 解: 特征多项式为 设原方程特解为 ，则设 ，则解得 所以 原方程一个特解为 3.A、B、为实数.此类方程的特解具有如下形式：其中a,b为待定系数,当 且 时,取 .