北京市1562021-2022学年高三考前热身数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是A在内总存在与平面平行的线段B平面平面C三棱锥的体积为定值D可能为直角三角形2下列命题是真命题的是（ ）A若平面，满足，则；B命题：，则：，；C“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；D命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.3“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态紧跟时代脉搏的热门该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“

3、每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ）A60B192C240D4324已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）ABCD5已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）ABCD6如图，平面与平面相交于，点，点，则下列叙述错误的是（ ）A直线与异面B过只有唯一平面与平行C过点只能作唯一平面与垂直D过一定能作一平面与垂直7已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C抛

4、物线D圆8设复数满足，则（ ）A1B-1CD9第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )ABCD10已知函数满足当时，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）ABCD11已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）ABCD12已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题

5、，每小题5分，共20分。13的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则_.14一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为_.15将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为_16已知实数，满足，则的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点

6、M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C（）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值18（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为_.19（12分）已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.（1）求椭圆C的标准方程：（2）设A是椭圆的左顶点，过右焦点F的直线，与椭圆交于P，Q，直线AP，AQ与直线 交于M，N，线段MN的中点为E.求证：；记，的面积分别为、，求证：为定值.20（12分）已知函数.（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.21（12分）在平面直角坐

7、标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）1（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值22（10分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为证明：点在轴上参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平

8、行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确； B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若DMN为直角三角形,则必

9、是以MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.2D【解析】根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面，满足，则可能相交，故A错误；命题“：，”的否定为：，故B错误；为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；命题“若，则”

10、的逆否命题为：“若，则”，故D正确；故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.3C【解析】四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法注意按“阅读文章”分类【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法4A【解析】，从而可得，再解不等式即可.【详解】由已知，所以，由，解得，.故选：A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考

11、查学生转化与化归的思想，是一道中档题.5D【解析】先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.【详解】由题设有，故，故椭圆，因为点为上的任意一点，故.又，因为，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.6D【解析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故

12、正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.7B【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：所以有，而是中点，连接，故，因此当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,故，因此，综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.8B【解

13、析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】由.故选：B【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.9B【解析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.10C【解析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：

14、C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.11A【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.详解：由题设有，故，故选A.点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.12B【解析】构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，即函数为减函数,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.二、填空题：

15、本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.【详解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，所以，因为，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.14【解析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得：,执行循环体，不满足条件，执行循环体，此时，满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.15【解析】记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到

16、黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则故本题应填16【解析】画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点与构成直线的斜率，数形结合即可求得.【详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为可以理解为点与构成直线的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）(t为参数)，；（）1.【解析】（）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（，），M（1，1），（0，10），由题意可得，即4cos，然后化为普通方程；（）

17、将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|AQ|的值【详解】（）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）设N（，），M（1，1），（0，10），则，即，即=4cos，曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x0）.（）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，t1t2=-1，|AP|AQ|=|t1t2|=|-1|=1【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题181【解析】整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由

18、求模公式得答案.【详解】因为，即所以的模为1故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.19（1）；（2）证明见解析；证明见解析【解析】（1）解方程即可；（2）设直线，将点的坐标用表示，证明即可；分别用表示，的面积即可.【详解】（1）解之得：的标准方程为：（2）， ，设直线代入椭圆方程：设，直线，直线， ，.，所以.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.20（1）（2）【解析】（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可

19、得的范围（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论【详解】解（1）函数所以讨论：当时，无零点；当时，所以在上单调递增.取，则又，所以，此时函数有且只有一个零点；当时，令，解得（舍）或当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.据题意，得，所以（舍）或综上，所求实数的取值范围为.（2）令，根据题意知，当时，恒成立.又讨论：若，则当时，恒成立，所以在上是增函数.又函数在上单调递增，在上单调递增，所以存在使，不符合题意.若，则当时，恒成立，所以在上是增函数，据求解知，不符合题意.若，则当时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意成立”的充分条件是“”，即，解得，故综上，所求