第7讲 二次函数的图象和性质（解析版）

1、本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享【第7讲】 二次函数的图象和性质编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点1 二次函数的图象与解析式二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题知识

2、点2 二次函数的最值二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图象，利用数形结合的思想方法解决问题【合作探究】探究一 求二次函数解析式【例1-1】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式【解析】二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析

3、式为，即y2x28x7归纳总结：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题【例1-2】已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式【解法一】：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，

4、由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y【分析二】：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式【解法二】：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或2于是可设二次函数为ya(x1)22，或ya(x1)22，由于函数图象过点(1，0)，0a(11)22，或0a(11)22a，或a所以，所求的二次函数为

5、y(x1)22，或y(x1)22归纳总结：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题【例1-3】已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式【解析】设该二次函数为yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函数为y2x212x8探究二 二次函数的最值【例2-1】当时，求函数的最大值和最小值【分析】：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大

6、值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值 【解析】：方法一：作出函数的图象当时，当时，方法二：配方法当时，当时，【例2-2】当时，求函数的最大值和最小值【解析】方法一：作出函数的图象当时，当时，方法二：配方法，当时，当时，归纳总结：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：【例2-3】当时，求函数的取值范围【解析】方法一：作出函数在内的图象可以看出：当时，无最大值所以，当时，函数的取值范围是方法二：，当时，无最大值所以，当时，函数的

7、取值范围是【例2-4】当时，求函数的最小值(其中为常数)【分析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置【解析】函数的对称轴为画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即时：当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧即时：当时，综上所述：【例2-5】当时，求函数的最小值(其中为常数)【分析】由于对称轴随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置【解析】函数的对称轴为(1) 当对称轴在所给范围左侧即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间即，即时，当，；(3) 当对称轴在所给范围右侧即时，当时，综上所述：【课后作业1】

8、1选择题：把函数y(x1)24的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（1，4） （B）（1，4） （C）（1，4） （D）（1，4）2填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 （2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 3根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；（4）已知抛物线的顶

9、点为（3，），且与x轴两交点间的距离为44如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点设点A移动的路程为x，PAC的面积为y（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围【参考答案1】1（1）D 2（1）yx2x2 （2）yx22x33（1）（2） （3）（4）4当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大5（1）函数f（x）的解析式为 （2）函数y的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0y2【课后作业2】1抛物线，当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象过原点2用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值：(1) ；(2) 4求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值5对于函数，当时，求的取值范围6求函数的最大值和最小值7已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？8已知关于的函数在上(1) 当时，求函数的最大值和最小值；(2) 当为实数时，求函数的最大值9函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围10设，当时，函数的最小值是，最