安徽省六安、霍邱、金寨2021-2022学年高三适应性调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在三棱锥中，平面，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（ ）ABCD2已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）ABCD3已知函数为奇函数，则（ ）AB

2、1C2D34ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( )ABC或D或5一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，（为地，为地）从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，各地装卸完毕后剩余的邮件数记为则的表达式为（ ）ABCD6若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( )ABCD7函数在的图象大致为（ ）ABCD8已知随机变量满足，.若，则（ ）A，B，C，D，9已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也

3、不必要条件10已知全集，集合，则=（ ）ABCD11已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）ABCD12在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13直线过圆的圆心，则的最小值是_.14 “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是_.15设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的一次函数与轴的交点为，且互不相等，

4、则称为关于函数的平均数，记为.当_时，为的几何平均数.（只需写出一个符合要求的函数即可）16若函数的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，求的值18（12分）在中，角，的对边分别为，已知（1）若，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由19（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）

5、求证: 是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.（）求椭圆的标准方程；（）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.21（12分）如图，在四面体中，.（1）求证:平面平面；（2）若，二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.22（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）设曲线与曲线在第二象限的

6、交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率【详解】由已知平面，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为故选：A【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数2D【解析】通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立

7、，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3B【解析】根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.【详解】依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.4D【解析】由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.5D【解析】根据题意，分析该邮车

8、到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案【详解】解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，需要卸下件邮件，则，故选：D【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题6C【解析】由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得，解得，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.7B【解析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.8B【解析】根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机

9、变量满足，.所以服从二项分布，由二项分布的性质可得：，因为，所以，由二次函数的性质可得：，在上单调递减，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.9C【解析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.10D【解析】先计算集合，再计算，最后计算【详解】解：，故选：【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题11B【解析】利用复数的除法运

10、算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.12B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存

11、在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】直线mxny10（m0，n0）经过圆x2+y22x+2y10的圆心（1，1），可得m+n1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.【详解】mxny10（m0，n0）经过圆x2+y22x+2y10的圆心（1，1），m+n10，即m+n1.（）（m+n）22+24，当且仅当mn时取等号.则的最小值是4.故答案为：4.【点睛】本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的

12、性质，属于基础题.14【解析】用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.【详解】由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为.故答案为：【点睛】本题考查随机事件的概率，是基础题.15【解析】由定义可知三点共线，即，通过整理可得，继而可求出正确答案.【详解】解：根据题意，由定义可知：三点共线.故可得：，即，整理得：，故可以选择等.故答案为: .【点睛】本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.161【解析】由题知x0，且满足约束条件的图象为由图可知当与交于点B(2,1)，当直线过B点时，m取得最大值为1.

13、点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；（2）以为原点,过作的平行线,分别以,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；（3）

14、设,则,求得,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】（1）证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.（2）以为原点,过作的平行线,分别以,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.（3）设,则有,得,设,那么,所以,所以.因为,所以.又因为,所以,设平面的法向量为,则,即,可得,即 因为在平面内,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向

15、量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.18见解析【解析】（1）因为，成等差数列，所以，由余弦定理可得，因为，所以，即，所以（2）若B为直角，则，由及正弦定理可得，所以，即，上式两边同时平方，可得，所以（*）又，所以，所以，与（*）矛盾，所以不存在满足为直角19 (1) 见解析;(2).【解析】试题分析：(1)连交于可得是中点，再根据面可得进而根据中位线定理可得结果；(2)取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，用表示面的一个法向量，由可得结果.试题解析：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.

16、(2)取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.20（）；（）【解析】（）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.（）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】（）设,则,又,故,即,故,又,故.故椭圆的标准方程为.（）设直线的方程为,由 ,故,又,故,因为处的切线相互垂直故.故直线

17、的方程为.联立故.故,代入韦达定理有设,则.当且仅当时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.21（1）证明见解析（2）【解析】（1）取中点连接，得，可得，可证，可得，进而平面，即可证明结论；（2）设分别为边的中点，连，可得，可得（或补角）是异面直线与所成的角，可得，为二面角的平面角，即，设，求解，即可得出结论.【详解】（1）证明:取中点连接，由则，则，故，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:设分别为边的中点，则，（或补角）是异面直线与所成的角.设为边的中点，则，由知.又由（1）有平面，平面， 所以为二面角的平面角，设则在中，从而在中，又，从而在中，因，因此，异面直线与所成角的余弦值为.解法二:过点作交于点由（1）易知两两垂直，以为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.不妨设，由，易知点的坐标分别为则显然向量是平面的法向量已知二面角为，设，则设平面的法向量为