结构力学课件：第13-15讲_力法位移法应用

1、第8章 力法和位移法的应用8-1 力法解超静定刚架和排架8-2 力法解超静定桁架和组合结构8-3 对称性的利用8-4 支座移动和温度改变时的力法计算8-5 力法解超静定拱8-6 位移法计算连续梁和无侧移刚架8-7 位移法计算有侧移结构8-8 支座移动和温度改变时的位移法计算8-9 位移法分析对称结构8-1 力法解超静定刚架和排架1. 超静定刚架一般忽略轴力(轴向变形)、剪力(剪切变形)对位移的影响。1) 基本结构和基本未知量q=20kN/m6m8m基本体系q=20kN/mX1例1：力法解两铰刚架。必要约束 力法典型方程： 11X1+1P =03) 计算11, 1P 先作M1、MP图，再图乘计算

2、(单位:kNm)q=20kN/mMP 图160(单位:m)X1=1M1 图4) 求得：5) 作内力图 M图： FQ图：以杆件为隔离体, 力矩方程求FQ。80808.98.9CDFQ图(kN) 变形轮廓图 FN图以结点为隔离体，投影方程求出。808.980q=20kN/m6m8mP.232，例8-1，两次超静定，可选不同基本结构。2. 超静定排架 柱底固定，柱顶与横梁铰接的单层刚架常忽略铰接横梁的轴向变形。P.233-234，例8-2排架示意图： P.231图8-1ae1e2FP1FP2q8-2 力法解超静定桁架和组合结构2) 基本方程： 11X1+1P =0 1. 桁架基本体系一次超静定1)

3、基本体系多余未知力 (基本未知量)：X1 (广义力); 1 相对位移 FPFPX13) 求FN1、FNP值，计算11, 1P。4) 解方程求解X15) 求最后轴力:P.235-236，例8-3，两次超静定基本体系FPX12. 组合结构 梁式杆：忽略轴力、剪力对位移的影响链 杆：只有轴力。P.237，例8-4 切开链杆。讨论： 加劲杆 (桁架杆) 刚度对横梁受力的影响。8-3 对称性的利用1. 对称结构与对称荷载 对称轴2) 对称荷载与反对称荷载1) 对称结构几何形状杆件截面材料性质支承情况均关于同一轴对称FPFPFPFP对称荷载反对称荷载2. 对称结构作用对称/反对称荷载基本未知量X1、X2

4、正对称X3 反对称FPFPFPFPX1X2X2X3基本体系M1图、M2图对称M3图反对称MP图对称 (对称荷载)1) 力法计算 取对称的基本结构13 =31 =023 =32 =03P =0 (对称荷载)反对称的多余未知力为零11X1+ 12X2+ 0 +1P=021X1+ 22X2+ 0 +2P=0 0 + 0 +33X3+ 0 =0FPFPMP图(正对称荷载)FPbFPbX1=1111M1图X3=1lllM3图X3 =0X2=1hhM2图FPFPFPbFPbMP图(反对称荷载)对称结构作用反对称荷载1P =2P =0 X1=0, X2 =0正对称的多余未知力为零MP图反对称对称结构作用正对

5、称荷载 内力、变形均为正对称FPFPX1X2X2X3X1=0, X2 =0X3=02) 基本特性M图, FN图正对称; FQ图反对称M图, FN图反对称; FQ图正对称对称结构作用反对称荷载 内力、变形均为反对称2) 取半边结构计算3. 对称结构的简化计算力法、位移法均适用1) 取对称的基本结构计算FPAC简化FPAC简化奇数跨FPFPFQC=0ACBxC=0C=0奇数跨FPFPACBFNC=0MC=0 yC=0偶数跨FPFPCD杆: FQ=0, M=0ACBDFPAC简化简化简化偶数跨FPFPACBDIFPFPACBDI/2I/2FPACDFQCI/2FPACDI/2例8-5，P.243-2

6、444. 对称结构作用一般荷载1) 直接取对称的基本结构计算2) 将荷载分解为正对称与反对称荷载的叠加FPACBEI1EI1EI2分解FP/2ACBFP/2ACBFP/2FP/2例8-7，P.245-246下次课堂讨论：用力法计算桁架和组合结构，通常采用切开链杆的方法选取多余未知力，它与拆除链杆有何区别？试举例说明。外荷载作用下结构内力在不同杆件间的分布主要与哪些因素有关？试通过力法分析加以总结判断，并举例予以验证。思考习题8-9，并举例加以分析。如何利用对称性进行结构的简化计算？对习题8-46a,b如何取出半边结构简化分析？对称结构作用一般荷载时，什么情况下将荷载分解为一组正对称和一组反对称

7、计算才比较方便？举例说明。8-4 支座移动和温度改变时的力法计算 8-4-1 支座移动时的计算1) 力法典型方程：11 X1 +12 X2 + + 1n Xn + 1c = 121 X1 +22 X2 + + 2n Xn + 2c = 2n1 X1 +n2 X2 + + nn Xn + nc = n第i个方程：基本结构由支座移动引起的沿Xi 方向位移原结构沿Xi方向的位移仅与基本结构有关而与外部作用无关 2) 最后内力：仅由多余未知力引起1) 基本结构2) 力法典型方程例1. 两次超静定刚架ABablhC基本结构X1X2ABC11 X1 +12 X2 + 1c =021 X1 +22 X2 +

8、 2c = 3) 系数、自由项计算与外部作用无关11、12=21、22 计算同前。自由项1c、2c 基本结构(静定结构)由支座移动引起的位移X1=1ABC1h/lh/lhM1图, FR1值X2=1ABC01/l1/lM2图, FR2值11ABabC4) 解方程求 X1、X25) 计算最后内力，作内力图M=M1 X1 + M2 X2基本结构2X1X2ABC讨论：取其他的基本结构如何计算？ 讨论课思考题。ABablhC例8-8，P.248：一次超静定1) 基本体系2) 力法典型方程例2. 有弹簧约束的结构计算11 X1 + 1c =13) 系数、自由项计算基本体系X1M1 图X1=1l采用另一基本

9、结构：4) 讨论：k，B端链杆支承k0， B端自由端基本结构2M1 图X1=1l11 X1 + 1c =08-4-2 温度改变时(温度内力)的计算1) 力法典型方程：基本结构由温度改变引起的沿Xi 方向位移仅与基本结构有关而与外部作用无关 2) 最后内力：仅由多余未知力引起P.250, 例8-9M1 =M1 X1， FN =FN1 X1t0=10C, t=t内 t外= 20CX1= 94.2EI结论 温度内力与杆件EI 成正比。外侧+0C5m6m内侧+20C3. 外荷载、支座移动、制造误差、温度改变共同作用时的计算1) 典型方程：2) 最后内力：(取静定的基本结构)8-5 力法解超静定拱0.

10、概述1) 工程应用 桥梁、建筑、水利工程等2) 结构形式超静定拱两铰拱无铰拱 (图8-27a,b)不带拉杆 (图8-26a)带拉杆 (图8-26b)8-5-1 两铰拱的计算FP1ABFP2基本体系FP1ABFP2yxCyX11) 基本体系简支曲梁 (或三铰拱)2) 基本方程： 11X1+1P=0 不能用图乘法3) 水平推力：4) 最后内力:5) 与三铰拱比较(竖向荷载下)表达式与三铰拱相同受力特性相近，FH计算不同。例8-10 (P.253): 求抛物线两铰拱在均布荷载下的内力。 带拉杆两铰拱 拉杆拉力：FP1AFP2BX1FP1ABFP2E1A1基本体系拉杆拉力：简支曲梁无拉杆两铰拱当E1

11、A10FH 0 当E1 A1 FH*FH1. 弹性中心法FP1AFP2BX1X2X2X3ABFP1FP21) 对称无铰拱，取对称的基本结构力法方程X1、X2 正对称 X3 反对称11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=033X3+3P=013=31=023=32=0使12=21=0, 则三方程独立。8-5-2 无铰拱的计算使12=21=0拱顶加刚臂;Xi 设在刚臂末端刚臂取适当长度修改基本结构xoy坐标下令12=0 另取参考坐标轴xoy刚臂长= f d2) 求刚臂长度FP1AFP2BFP1AFP2BX1X2X2X3X1xxy ydo3) 物理意义OyxEI(x)Oyx1/EId形

12、心dsOdA微段的弹性面积 1/EI 作宽度拱轴的总弹性面积弹性面积对x轴的面积矩弹性面积的形心到x轴距离坐标原点O 弹性中心1) 计算弹性中心的位置;2) 取带刚臂的基本结构，刚臂末端位弹性中心;3) 按ii Xi+iP=0 计算Xi ； 22的计算有时需考虑轴向变形例8-11, P.258： 圆弧形无铰拱作用跨中集中荷载2. 弹性中心法的计算步骤ii , iP 计算式见式(8-11) 适用于三次超静定的封闭结构与三铰拱内力的比较。1) 弹性中心：2) 基本体系、典型方程33 X3 + 3c =01c =0, 2c =0 X1 =0, X2 =03c = 0 ( )拱顶: MC =0拱脚:

13、MA上侧受拉, MB下侧受拉例8-12： P.260有支座移动的无铰拱3. 支座移动和温度改变时的计算Cf00ABl /2l /2R0ABCX3xxy yOdO0M图见P.260。 结论无铰拱对支座移动敏感,EI愈大,内力愈大。例8-13：无铰拱发生温度变化、材料收缩时的计算均匀温变 (收缩)： t=0, t0=常数X2X2ABCM图1t=02t= t0 cos ds = t0l X1=0X2= 2t /22= t0 l /22 0M= X2 y FN = X2 cos FQ = X2 sin M1=1, FN1=0 M2 = yFN2= cosABl /2l /2X1X2X2oABCt0yx

14、温度内力与拱刚度成正比下次课堂讨论：例8-8结构若选取简支梁、左端滑动右端铰支梁分析，则其力法典型方程的系数、自由项和右端项有何不同，试具体加以分析。支座移动、温度改变作用时，结构内力在不同杆件间的分布与哪些因素有关？试举例说明。设构件尺寸和荷载相同，则不带拉杆和带拉杆两铰拱的竖向反力是否相同？分别如何进行计算？对称无铰拱一端支座发生了竖向或水平位移，能否不经具体计算判断拱顶和拱脚的弯矩受拉侧，绘出弯矩轮廓图？试举例分析。弹性中心法可用于哪些结构？有何优势？当结构有两个对称轴时（如圆形、矩形封闭刚架），该方法有何特点?8-6 位移法计算连续梁和无侧移刚架1. 典型方程法A20kN2kN/m3m

15、3m6mBC基本结构ABC 11) 基本未知量：结点位移 1基本结构 (见图)M1图ABC2i4i3ik11 = 7iABC15F1P = 615159MP图2) 典型方程：k11Z1+ F1P =03) 计算系数和自由项作M1图、MP图，由结点B力矩平衡得：k11=7i, F1P =6 kNm4) 解方程得： Z 1= 6/7iABC15F1P = 615159MP图(kNm)5) 叠加法求杆端力，作内力图M1图ABC2i4i3ik11 = 7iMAB=2(6/7) 15= 16.71 kNmMBA=4(6/7)+15=11.57 kNmABC16.7115.8511.57M图(kNm)3.

16、21309A20kN2kN/m3m3m6mBC1) 基本未知量： Z 1=B2) 杆端弯矩表达式：A20kNBZ12kN/mBCZ1AB杆：BC杆：设：iAB = iBC = i2. 直接列平衡方程法3) 基本方程：结点B力矩平衡方程5) 计算杆端力回代第2)步4) 求结点位移： Z1= 6/(7i)BMBAMBCMB =0 MBA + MBC=0 7iB +6 =0MAB =2iZ1 15 = 16.72 kNmMBA =4iZ1 +15 = 11.57 kNmMBC =3iZ1 9 = 11.57 kNm结点转角结点力矩平衡方程6) 叠加法作M图可由M图进一步作FQ、 FN图M图 (kNm

17、)例2：例8-14，P.262-263，无侧移刚架2) 典型方程：1) 基本未知量：Z1、Z2K11 Z1+ k12 Z2+F1P=0k21 Z1+ k22 Z2+F2P=03) 计算系数和自由项作M1、M2、MP 图，由平衡条件求出系数和自由项。q=3kN/mDZ2Z1基本体系CABq=3kN/m2ii8m4mi8-7-1 有侧移梁和刚架8-7 位移法计算有侧移结构4) 解方程得：Z1=0.737/i， Z2=7.58/i。5) 叠加法求最后内力，作内力图。DCAB4i2i6ik11 k21 M1图B4i6ik11=10i 1.5i0BCk21=1.5i M2、MP 图及k12、k22、F1

18、P、F2P见P.246、245。CADM图 (kNm)B4.4213.9061.265.69例: 单层单跨刚架q=3kN/m2ii8m4mi结点角位移 结点力矩方程结点线位移 隔离体投影方程 (1) 基本未知量：Z1=B、 Z2=(2) 列杆端弯矩、剪力表达式取杆AB：MA=0 FQBA=(MAB+MBA)/4 6取杆CD：MD=0 FQCD=MDC /42. 直接列平衡方程法MAB=2i Z1 6i Z2 /4 4MBA=4i Z1 6i Z2 /4 +4MBC=3(2i) Z1 , MDC= 3i Z2 /4(4) 解方程求出Z1 、 Z2(5) 求出列杆端弯矩和剪力，作内力图CADM图

19、(kNm)B4.4213.9061.265.69(3) 列基本方程与Z1 对应：MB=0 (结点B力矩平衡)BMBAMBCFQBAFQCDBC与Z2 对应： Fx=0 (BC杆投影平衡)例7-2. 单层两跨排架剪力分配法各杆剪力按抗侧移刚度分配kAB=3iAB /h2AB1h侧移刚度: k11 =kAB+kCD+kEF自由项: F1P = FPACEBDF基本结构杆件侧移刚度FPACEBDFEA EA8-7-2 桁架和组合结构1) 基本未知量：结点位移 Z1 =A各杆伸长量：ui= Z1 sini 杆端力-杆端位移关系桁架杆刚度方程各杆内力：2) 杆件分析 建立杆件的刚度方程 拆分1 2 3

20、4 5liA Z1AFPEAi=常数4) 再次杆件分析 杆端内力计算 3) 整体分析直接按平衡条件建立位移法方程结点A： Fy=0 FNi sini =FP 组装AFPFN1FN52. 组合结构的位移法参见7-6节例题8-8 支座移动和温度改变时的位移法计算1. 固端弯矩由已知支座移动引起1) 基本未知量、基本结构见图2) k11Z1+F1c=03) k11=3i+3i=6i, F1c= (3i/l)C 解得：Z1=C /2l2. 例题分析：已知C，作M图。4) MBA= MBC = 3iC /2lZ1CABCiillBACZ 1基本结构BACk 113i3iM1图BACF 1c(3i/l)CMc图解法1 ：典型方程法8-8-1 支座