2022年余弦定理教学设计

1、1.2 余弦定理 南京师范大学附属中学 张跃红 教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题教学重点：重点是余弦定理及其证明过程教学难点：难点是余弦定理的推导和证明教学过程：1. 创设情景，提出问题 问题 1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通现要测量该山体底侧两点间的距离，A 图 1 B 即要测量该山体两底侧A，B 两点间的距离（如图1）请想办法解决这个问题设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，定理，自然引出本课的学习内容2. 构建模型，解决问题 在其解决的过程中得到余弦学生活动：提出的方法有，先航拍

2、，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出 AC，BC 的长度，再测出ACB ABC 是确定的， 就可以计算出 AB 的长接下来， 请三位板演其解法法 1：（构造直角三角形）如图 2，过点 A 作垂线交 BC 于点 D，则AD ACsinC，CD ACcosC，ABD BC CD BC ACcosC，所以，|AB|AD2 |BD|2|BC|cos CCD图 2 B|AC2 |BC2 |2|AC|法 2：（向量方法）C),CyA图 3 Buuur 如图 3，因为 ABuuur ACuuur CB，所以，uuur 2AB(uuur ACuuur CB) 2

3、uuur AC2uuur CB22uuur ACuuur CBcos(A即|AB|AC| 2|BC| 22|AC|BC|cos CC图 4 Bx法 3：（建立直角坐标系）建立如图 4 所示的直角坐标系，则 B （BC, 0），根据两点间的距离公式，可得A （ ACcosC, ACsinC），|AB|(|AC|cos C|BC|)22 |(|AC|sinC0 )2，cos C所以，AB|AC2|BC2|AC|BC|活动评价：师生共同评价板演3. 追踪成果，提出猜想 师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在ABC 中，a，b，c 是2 2 2角 A，B，C 的对边长，则有 c a b 2 a

4、b cos C 成立类似的还有其他等式，2 2 2 2 2 2a c b 2 cb cos A，b c a 2 ca cos B正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理问题 2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角 C 进行分类讨论，即分角 C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式而

5、在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题； 还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系， 借助两点间的距离公式来解决，等等4. 探幽入微，深化理解 问题 3：刚刚认识了余弦定理这个“ 新朋友”学生活动：勾股定理是余弦定理的特例，看一看它有什么特征？反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角2C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系a2b2c2，a2b2c2；c2ab22abcosC是边长 a、b、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等教师总结： 我们在观察一个等式时，就如同观察一个人

6、一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称） ，从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）问题 4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形 让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“ 正向使用” 还要学会“ 逆向使用”学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以 求角，进而解出三角形，即cosAb2c2a2,cosBa2c2b2,cosCa2b2c22bc2 ac2ab5. 学以致用，拓展延伸 练习：1在 ABC 中，若 a3，b5，c7，求角 C2（1）在 ABC 中，若b3,3,1c0 c6,A450，解这个三角形（2）在 ABC 中，bB601，求 a学生活动： 练习后相互交流得出， 解答题 1 时，利用的是余弦定理的