2022高考总复习 数学(人教A理一轮)8.5　直线、平面垂直的判定与性质

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI8.5直线、平面垂直的判定与性质第八章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破素养提升微专题9逻辑推理的严谨性必备知识 预案自诊图形条件结论判定ab,b(b为内的一条直线)aam,an,m,n,aab,b【知识梳理】 1.直线与平面垂直 任意mn=Oa图形条件结论性质a,aba,bb ab 2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理 垂线交线b 3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线

2、和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角的范围:0,90.4.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.两个半平面垂直常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三

3、个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()2.(2020黑龙江大庆高三三模)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是“lm,且ln”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析

4、设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,若l,则lm,且ln,反之若lm,且ln,当mn时,推不出l,故“l”是“lm,且ln”的充分不必要条件,故选A.3.(2020湖南湘潭模拟)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案 C解析 由mn,n,可得m或m与相交或m,故A错误;由m,可得m或m与相交或m,故B错误;由m,n,可得mn,又n,所以m,故C正确;由mn,n,可得m或m与相交或m,故D错误.4.(2020新高考全国1,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射

5、到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20B.40C.50D.90答案B解析由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷针与点A处的水平面所成角为40,故选B.5.(2019北京,文13)已知l,m

6、是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案 若l,m,则lm解析 将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l,m,则lm,正确;(2)如果l,lm,则m,不正确,有可能m在平面内;(3)如果lm,m,则l,不正确,有可能l与斜交、l.故答案为:如果l,m,则lm.关键能力 学案突破考点1证明空间线面垂直【例1】 (2020河北张家口二模,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PB平面ABC,平面PAC平面PBC,PB=BC=2,AC=1.(1)证明:AC平面PBC;(2)求点C到平面PB

7、A的距离.(1)证明PB平面ABC,AC平面ABC,PBAC.取PC的中点D,连接BD.PB=BC,BDPC.平面PAC平面PBC,平面PAC平面PBC=PC,BD平面PBC,BD平面PAC.又AC平面PAC,BDAC.PBBD=B,AC平面PBC.思考证明线面垂直的常用方法有哪些?解题心得证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.对点训练1(2018全国2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=P

8、B=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.考点2证明空间两条直线垂直【例2】 (2020湖南湘潭三模,文17)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA平面ABCD,AB=3,AD=AP=4,E为PD的中点.(1)证明:AEPC.(2)若M为线段BC上一点,且BM=1,求点M到平面PCD的距离.(1)证明因为PA平面ABCD,DC平面ABCD,所以PACD.因为底面ABCD为矩形,所以ADCD.又PAAD=A,所以CD平面PAD.因为AE平面PAD,则AECD.因为AD=AP=4,E为PD的中点,所以A

9、EPD,且CDPD=D,所以AE平面PCD,又PC平面PCD,则AEPC.思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法?解题心得1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直线与平面垂直的性质.2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.对点训练2在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BAD=BCD=90,ADC=60,AD=CD且BB1平面

10、ABCD,BB1=2AB=2.(1)证明:ACB1D;(2)求四棱锥C1-B1BD的体积.(1)证明 由BAD=BCD=90,AD=CD,易知ABDCBD.所以AB=CB,ADB=CDB.又AD=CD,所以ACBD.因为BB1平面ABCD,所以ACBB1,所以AC平面BB1D.又B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)解 因为CC1BB1,所以点C1到平面B1BD的距离与点C到平面B1BD的距离相等.又已知BB1=2AB=2,ADC=60,考点3证明空间两个平面垂直【例3】 (2020河北唐山一模,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形,且AA1底面ABC,AB=2 ,A

11、1A=3,D,E分别为AC,A1C1的中点,点F在棱CC1上,且FC=1.(1)证明:平面BEF平面BDF;(2)求点D到平面BEF的距离.(1)证明因为AA1平面ABC,所以AA1BD.因为ABC为等边三角形,D为AC的中点,所以BDAC.又AA1AC=A,所以BD平面ACC1A1,所以BDEF.在DEF中,DE=3,EF= ,DF= ,满足DE2=DF2+EF2,所以EFDF.又BDDF=D,所以EF平面BDF.又因为EF平面BEF,所以平面BEF平面BDF.(2)解作DMBF,垂足为M,由(1)可知平面BEF平面BDF,DM平面BEF,平面BEF平面BDF=BF,所以DM平面BEF,所以

12、DM即为点D到平面BEF的距离.由(1)得BDDF,在RtBDF中,思考证明面面垂直的常用方法有哪些?解题心得 1.面面垂直的证明方法(1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决.2.三种垂直关系的转化由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“

13、平面内的直线”这一条件.对点训练3(2019全国3,文19)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.(1)证明 由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,BEBC=B,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解 取CG的中点M,连接EM,DM.因

14、为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,DEEM=E,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM= ,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.考点4垂直关系中的存在问题解 (1)存在线段BC的中点E,使平面PBC平面PDE,即 =1.证明如下:连接DE,PE,BAD=ADC=90,AB=1,DA= ,BD=DC=2,E为BC的中点,BCDE,PD平面ABCD,BCPD,DEPD=D,BC平面PDE,BC平面PBC,平面PBC平面PDE.思考探索性问题的一般处理方法是什么?解题心得 线面垂直中的

15、存在问题同“平行关系中的存在问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,再给出符合要求的证明.对点训练4(2020辽宁葫芦岛联考)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=3,AD=2,CD=5.过点A作AECD,交CD于点E.将ADE沿线段AE折起,使得点D在平面ABCE内的投影恰好是点E,如图2.(1)若点M为棱AD上任意一点,证明:平面MBC平面DEB.(2)在棱BD上是否存在一点N,使得三棱锥E-ANC的体积为 ?若存在,确定N点的位置;若不存在,请说明理由.在BEC中,BE2+BC2=12+4=16=CE2,所以BECB.又因为DE平面ABCE,BC平面ABC

16、E,所以DEBC,DEBE=E,所以BC平面BDE,BC平面MBC,所以平面MBC平面BDE.要点归纳小结1.转化思想:垂直关系的转化 2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.要点归纳小结3.线面角、二面角求法根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)证求(算)三步曲.也可用射影法:要点归纳小结1

17、.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.素养提升微专题9逻辑推理的严谨性在高考立体几何题目中,证明线、面平行或垂直关系是极易被扣分的,原因是存在着逻辑推理的不严谨性,或者表述上的不严谨性.那么如何避免被扣分呢?需要对概念、公理、定理理解透彻.不要以主观臆断代替严密的科学论证.1.加强对基本概念理解.比如对异面直线的理解,两条直线不在同一个平面是简单的定义,如何才能不在同一个平面呢,哪些条件才能保证两条直线不在一个平面,只要直线不平行,并且不相交,那么就异面,对于不平行的条件,在平面几何中我们已经知道,如何能保证不相交呢,可以把其中一条直线放在一个平面,看另外一条直线和平面是否平行,这样对异面直线的概念就理解到位了.2.加强对公理、定理应用条件的理解.比如线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条