75 线性映射与向量空间的同构

1、7.5线性映射和向量空间的同构本节内容需分两次课上完线性映射的定义和基本性质如何建立两个集合之间的联系呢？映射。当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但 映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和 线性关系之间能“和谐”相处。由此有了线性映射的概念。定义1设V,W是域K上的两个向量空间，如果存在映射b : V T W使得保持加法运算：即对任意a,p g V,有b(a + p) =b(a) + b(p);保持纯量乘积：即对任意a g V和k g K,有b (ka) = kb (a).则称b是从V到W的线性映射.注1定义的第(1)条中，b(a + p)中的

2、“ + ”是向量空间V中的加法，而b(a) + b(p)中的“ + ” 是向量空间W中的加法.同理，定义中的第(2)条，b(ka)中的纯量乘积是域K与向量空间V的 纯量乘积，而kb (a)中的纯量乘积是域K与向量空间的纯量乘积.注2保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算，可以统一起来，用(3)来取代：对任意 a, p g V 和 k , k g K，有 b (k a+ k p) = k b (a) + k b (p).121212线性映射有下面基本性质.以下均设b : V T W是域K上向量空间V到W的线性映射.性质 1 b (0) = 0；证明：因为b(0) =b(0 + 0) =b(0) +

3、b(0),故b (0) = 0.性质 2 b (-a) = -b (a);证明：b(-a) =b(-1)a) = (-1)b(a) = -b(a).性质 3 b(ka + k a +. + k a ) = kb(a ) + k b(a ) + . + k b(a ).112 2n n 1122n nn = 2的情形即为上面注2，一般的n可以米用归纳法得到(略).，性质4按映射合成法则，线性映射合成还是线性映射，而且满足结合律.证明：设b : V T W, T : W T U都是线性映射，则Tb : V T U使得Tb(ka + k p) =t (kb (a) + k b (p) = kTb(a

4、) + k Tb(p)121212作为映射合成有结合律，所以作为线性映射合成仍然有结合律.例1设V = F2, W = F3分别是数域F上的2维和3维向量空间.令b : V T W : (a, b) 一 (2a + b, a,2 a 一 b) 则b是从V到W的线性映射.证明：因为V中每一个向量(a, b)在对应法则b下唯一地对应到W中的一个向量 (2a + b,a,2a -b)，所以 b 是映射.对于 V(a, b),(c, d) e V , Pk e K，有b (a, b) + (c, d) = b (a + c, b + d)=(2( a + c) + (b + d), a + c,2(

5、a + c) - (b + d)=(2a + b, a,2 a - b) + (2c + d, c,2 c - d) =b (a, b) +b (c, d)b(k(a,b) -b(ka,kb) - (2ka + kb,ka,2ka -kb) - k(2a + b,a,2a -b) - kb(a,b)所以b是线性映射.口课堂练习：课后习题1.观察上面的例子.V中有标准基匕=(1,0),2 - (0,1).标准基在线性映射b下的象为：b(匕)-(2,1,2),b(s2) - (1,0,-1).考察V 中的任意向量a - (a,b) - a% + b2 在b 下的象为：b(a)-b(a,b) - (

6、2a + b,a,2a -b) - a(2,1,2) + b(1,0,-1) - ab(s ) + bb(s ) 12因此b是由b(s和b(s2)唯一确定.从上可看出，性质5如果V是有限维的，则b完全由它作用于基上的像所决定.即若dimV - n，设S - aa2，,a 为V的一个基，则b完全由b(ab(a2).,b(a )确定.证明：对于V中任意向量a，a可唯一地表示为a - ka +. + k a，于是， 1 1n nb(a) -b(ka +. + k a ) - kb(a ) + . + k b(a )1 1n n 11n n反过来，如果指定基向量的像，是否一定存在一个线性映射，恰好将基

7、向量对应到这些像 上？回答是肯定的.性质6设V和W是域K上的两个向量空间，dimV - n，S - aa?,.,a 为V的一个基， TOC o 1-5 h z 任意给定的P , P，,P e W( p可以重复)，则一定存在唯一的线性映射b : V T W，使得 12nib(a ) = P , i -1,2,n.证明：由于S - a1, a 2.,气为V的一个基，故对任意a e V，都存在唯组k , k，,k e K使得a- k a，于是令12 ni ii-1Wk pi i i-1b :V Ta - k ai-1则可验证，b : V T W是线性映射(是映射，且保持线性性质)，且使得b(a )

8、- P，i -1,2,.,n.由于线性映射完全由它作用在基上的像所决定，从而唯一性是自然的.口注3：实际上，性质5和性质6对于V是无限维的情形也是成立的，课本将性质5和性质6合与为定理1.(自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过的定理1)定理1设V和W是域K上的两个向量空间.如果S是V的基仃是W的任意一个非空子集测对S到T 的任意一个映射g : S t T都能唯一地扩充成为V到W的线性映射，即存在V到W的线性映射b : V t W使得 b(以)二g(以),V共S .反之，若b : V t W是V到W的线性映射，S是V的基，则b由它作用在S上的象完全 确定，即只需知道b作用在S上的象就能知

9、道b作用在每个向量上的象.那么线性映射是否能保持线性相关性呢？，性质7设b : V t W是域K上向量空间V到W的线性映射，V中向量组,a?,.,a线性相 关，则它们的象b(a1),b(气),.0(气)(在W中)也线性相关.反之不然.举反例说明反之不然.比如高维空间到低维空间的投射.当然，一定条件下，反之也成立.这 个条件就是b : V t W为单射，而且是充分必要条件.线性映射的核与象一个线性映射b :VtW，如果又是单射,称之为单线性映射.如果又是满射，称之为满线 性映射.特别地，如果线性映射b : V t W是单射又是满射，称之为同构(映射)，并称两个向量空 间是同构的，记为V三W，需要

10、强调线性映射b时，可记b : V三W或VW.设b : V t W是线性映射，记Kerb = a g V Ib(a) = 0,称之为b 的核；Imb = b(a)|a g V,称之为b的象，有时寸也记Imb =b(V).注意，Kerb o V，Imb o W .关于线性映射的核与象，有如下两个结论：命题1 设b : V t W是线性映射，则Imb是W的子空间.如果S是V的一个基，则Imb * b(a)Ia g S * b(S) .特别地，如果a1,a?,a 是V 的基，贝UImb =v b(a.),b(a ),.,b(a ) .此外，b为满射o Imb = W .证明：因为0 = b(0) g

11、Imb ,所以Imb壬0 .又b (a) + b (P) =b (a + P) g Imb , kb (a) =b (ka) g Imb ,所以Imb是W的子空间.任意P g V ,存在有限个a ,a，,a g S以及k ,k，,k g K使得 TOC o 1-5 h z 12n12n HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 0= k a ,所以 b (p) = n k b (a ) g .i ii ii=1i=1命题2设b : V t W是线性映射，则Kerb是V的子空间.且以下等价：1 Kerb = 0.2 b 为单射.3 b将V的任意线性无关向

12、量组对应到线性无关向量组.4 b将V的基对应为W中的线性无关集.(这一点是对无限维空间说的，因为有限维的情形包含在3中)证明：Kerb是V的子空间这一结论易证(直接按定义证明).1。2： (n)设b(a) =b(P)，贝Ub(a-P) = 0，于是a-P eKerb = 0，艮口a-P = 0，亦即 a = P . (u)设 ae Kerb，即 b (a) = 0 = b (0)，由 b 为单射可得，a = 0 ,故 Kerb = 0 .1。3： (n)设a ,a，,a是V的任意线性无关向量组，则b(a ),b(a ),.,b(a )为 12n12nW 中的向量组.设 kb(a ) + kb(

13、a) + . + kb(a) = 0 ,则b(ka+ k a+. + k a) = 0，由于1122n n112 2n nKerb = 0，有ka + k a +. + k a = 0，而a ,a，,a线性无关，故k = k =. = k = 0，因此，112 2n n12n12nb (ajq (a2),.,b (a )线性无关.(u)设ae Kerb ,则b (a) = 0,若a 0 ,则a是V中线性无关向量组(只有单个向量)，则b (a)是W中的线性无关组，这与b (a) = 0矛盾，故a= 0 ,因此，Kerb = 0 .1。4: (n)设S是V的一个基.任取有限个向量b(ajb(aj.

14、-q(a ) eb(S)，其中 TOC o 1-5 h z a ,a，,a e S，类似上面做法，可得b(a ),b(a ),.,b(a )线性无关，因此，b (S)是W中的 12n12n线性无关集.(u)设ae Kerb ,由于S是V的一个基，故存在., a/ S ,以及k , k，,k e K 使得 a= k a + k a +. + k a，于是有12m112 2m m0 = b(a) = kb(a ) + k b(a ) + . + k b(a )1122m m但是b(S)是W中的线性无关集，b(a1),b(a2),.,b(a)为b (S)中有限个向量，必线性无关，从而k = k =.

15、 = k = 0，于是，a = ka + k a + k a = 0，因此，Kerb = 0 .12n112 2m m定理 1 设b : V r W 是线性映射，dimV = n，则 dim Ker b+ dim Imb = n.证明：由于核空间Ker b o V ,故设a,a”是Ker b的基，于是a，,a”可扩充为V的一个基a,.,a , P，,P (若Ker b = 0，则设P，,P为V的一个基).于是，由命题1, 1m 1nm1nImb =下证b(P ),.,b(P)线性无关：设kb(P ) + . + k b(P ) = 0,则1n-m11n-mn-mb(k P + + k P )

16、= 01 1n-m n-m艮口 k P +. + k P e Kerb，于是，k P +. + k P= la +. +1 a，艮口1 1n-m n-m1 1n-m n-m1 1m mla +. +1 a + (-k )P +. + (-k )P = 01 1m m1 1n-m n-m而a ,.,a ,P，,P 是V的基，是线性无关的，故l =l = k =k = 0 .因此，1m 1n-m1m 1n-mb (P),.,b (P)线性无关.故b (P),.,b (P )是Im b的基，即dim Im b = n-m .所以，dim Ker b+ dim Imb = n.注4：这是一个有趣的结论

17、，Ker b是V的子空间，Imb是W的子空间，但是它们的维数之和等于V的维数.这就是课后习题第8题，也是课本的定理3,课本用了另一种证明方法.今后常称dim Ker b为线性映射b的零度，dim Im b为线性映射b的秩.由定理1可直接得到以下推论。推论1设V和W是域K上两个n有限维向量空间，矿V T W是线性映射，则以下等价： 1 b是同构映射.2 b是单线性映射.3 b是满线性映射.有限维向量空间同构定理定理2 设V和W是域K上两个有限维向量空间，则V = W当且仅当dimV = dimW .证明：(n)设b : V t W是同构映射.如果S = *,气,气是V的基，由b为单射和命题2得，

18、 b(S) = b(ajb(a2),.,b(a )是W中的线性无关集，而由b为满射和命题1得， W = Imb = b(a ),b(a )，所以 b(a ),b(a ),b(a )是 W 的基.因此， TOC o 1-5 h z 12n12ndimV = dimW. (u)设a ,a，,a是V的基，P , P，,P是W的基，由性质6,存在唯一的线 12n12n性映射b : V t W，使得b(a.) = P., i = 1,2,.,n. b将V的基a1，a2.,a对应为W的基，由命 题 1，b 为单射；而W = Imb，由命题 2，b 为满射.12n12n所以，b : V T W为同构映射.注

19、5：设V和W是域K上两个无限维向量空间，虽然dimV = dimW = 3 ,但V和W未必同 构.(证明要用到集合论更多的知识，略.)另外，有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.推论2域K上任意n维向量空间V三Kn.那么，此推论中V和Kn之间的同构映射可以怎么找出呢？设a,a，,a是V的一个基，对于任意a e V，a可以唯一地表示为a , a，,a的线性组 12n12n合，即存在唯一的(k，,k ) e Kn，使得a = k a + k a +. + k a ，称(k，,k )是a在基 1n112 2n n1na ,a，,a下的坐标或a关于基a ,a，,a的坐标，并记为X = (k，,k

20、).12n12na 1 n这样，在取定了 V的基a1，a2，.,气后，令b : V t Kn: a X a则可验证，此b就是从V到Kn的同构映射.需要注意的是，坐标与基的关系是不可分割的，同一个向量在不同基下的坐标是不同的， 基就如同坐标系.线性映射与矩阵设b : V T W是域K上向量空间V到W的线性映射，dimV = n, dimW = m.在向量空间V 中取基a ,a，,a，在向量空间 W中取基P ,P，,P .这样，b(a ),b(a ),.,b(a )在基 12n12m12nP , P，,P下的坐标分别为X, X ，,X e Kn，以这些坐标为列向量的矩阵为1 2mb (a1)b (

21、a2)b (a)A = (XT, XT,.,XT) e Kmxn，这样，若记b (a1)b (a2)b (an)b(a ,a，,a ) = (b(a ),b(a ),.,b(a )12n12n则借助矩阵乘法的规则，有 TOC o 1-5 h z b(a ,a，,a ) = (b(a )q(a ),q(a ) = (P ,P，,P )A(1)12n12n12m矩阵a称为线性映射b : V t W关于V的基a ,a，,a和W的基P , P，,P的矩阵.于是线性12n12m映射和矩阵建立起了联系.(1)式的记法符合矩阵乘法的规则.上面这种记法实际上我们之前用过，也有结论：在W中，b(a.),b(a2),.,b(a )的线性关系与A的列向量组(即b(a ),b(a ),.,b(a )在基P ,P，,P下的坐标)的线性关系(Kn中)完 12n12m全一致.P.147，例1，P.148，1,2,3，都运用了这一思想.命题3 设a ,a，,a是向量空间V的基，P ,P，,P是向量空间W的基.线性映射12n12mb : V t W 满足b(a ,a，,a ) = (P , P，,P )A,其中 A e Sn，则12n12mae Kerb