概率论第二章答案

1、习题2-21.设A为任一随机事件，且P(A)=p(0p1).定义随机变量1,放生，0,A不发生.写出随机变量X的分布律.解PX=1=p,PX=0=1-p.或者13 5 72c4c8c16cX01P1-pp2.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,.试确定常数c,并计算条件概率且取这四个值的相应概率依次为P X 1 | X0.由离散型随机变量的分布律的性质知,37162c4c8cAc 1,所求概率为PX1).9注意k k n kpx=k)= Cn p q5，由题设PX 1) 1 92PX 0) 1 q2,2-.从而3PY 1)4.在三次独立的重复试验中19,求每次试验成功的概率.27,、2

2、 31 PY 0) 1 (-)3 3 每次试验成功的概率相同1927已知至少成功一次的概率为解设每次试验成功的概率为19一.p,由题意知至少成功一次的概率是,那么一次都 TOC o 1-5 h z 8o81没有成功的概率是.即(1p),故p=.27273.若X服从参数为的泊松分布，且PX1PX3,求参数.解由泊松分布的分布律可知J6.一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解从1,2,3,4,5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是33,4,5,在5个数中取3个共有C510种取法. TOC o 1

3、-5 h z 上一人跖,“C21X=3表示取出的3个数以3为最大值，PX=3=咦=;C310士一人且曰一古C；3X=4表不取出的3个数以4为最大值,PX=4=；C310一乩C4 PX0= PX=-1=0.15; PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; P-2x1= PX=- 1+PX =0=0.35.2.设随机变量X的分布函数为F(x) = A+ Barctanx - 00 x+ 00.试求：(1)常数A与B; (2) X落在(-1, 1内的概率.解 (1)由于 F(-8) = 0, F(+8) = 1,可知3X=5表示取出的3个数以5为最大值，PX=5=4-.屋5X的分布律是X345

4、133p10105习题2-3.设X的分布律为X-101P0.150.200.65PX0, PX2, P-2X1.求分布函数F(x),并计算概率0,解(1)F(x)=0.15,0.35,1,x1,1x0,01. TOC o 1-5 h z AB(2)0iiA,B-.AB(-)12于是(2) P 12F(x)一arctanx,x2XW1F(1)F(1) TOC o 1-5 h z 1111(arctan1)(arctan(1) HYPERLINK l bookmark147 o Current Document 221111/、1()242423.设随机变量X的分布函数为0,x0,xF(x)=,0

5、1,求PX0-1,P0.3X0.7,P0X2.解PX1F(1)0,111 ,PX 1-;在事件84P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2,P0X2=F(2)-F(0)=1.5.假设随机变量X的绝对值不大于1;PX1X1出现的条件下，X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比.(1)求X的分布函数F(x)PXx;(2)求X取负值的概率p.解(1)由条件可知，当x1时，F(x)0; TOC o 1-5 h z ,.1当x1时，F(1)-;8当x1时，F(1)=PX1=P(S)=1.,115所以P1X1F(1)F(1)PX11.848易见，在X的值属于(

6、1,1)的条件下，事件1Xx的条件概率为P1Xx|1X1kx(1),1取x=1得到1=k(1+1),所以k=2因此P1ax1X12于是，对于1P1Xx1,有xPP5Xx,1P5x5X1X1,有F(x)81.2从而16F(x)（2）X取负值的概率PPX0F(0)1.选择题设f(x)2x,度函数.(A)应选(C).(2)(A)解2PX(3)0,5x7161,PX0 x1,1x1,x1.F(0)习题2-40,(B)由概率密度函数的性质F(0)F(0)F(0)-160,c,如果c=(0,c.(C)1.),f(x)dx1可得设XN(0,1),又常数c满足PXc11.(B)0.因为PXPXc1,从而PXc

7、则f（x）是某一随机变量的概率密(D)c2xdxPX(C)-.c,所以1PXc1,于是cc,则c等于（(D)-1.PXc,即0.5，即（c）0.5,得c=0.因此本题应选下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是（）.1,故本题).(B).(A)f(x)cosx,x0,0,其它.(C)f(x),x2,(B)f(x)20,其它.ex,x0,(D)f(x)0,x0.解由概率密度函数的性质f(x)dx1可知本题应选(D).设随机变量XN(,42),YN(2_,5),PPX5,则().(A)对任意的实数，P1P2.(B)对任意的实数,PP2.(C)解只对实数的个别值，有PP.(D)由正态分布函数的性

8、质可知对任意的实数对任意的实数,有,PiR.1)1(1)R.因此本题应选(A).(5)设随机变量X的概率密度为f(x)f(x),又F(x)为分布函数,则对任意实数有().(A)(a)1/：f(x)dx(B)F(a)/：f(x)dx.(C)解F(a)F(a).(D)由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为2F(a)1.(B).(6)设随机变量X服从正态分布N(1,2、一一.,，1),Y服从正态分布N(2,2),且PX(A)解1PYd2.1,则下式中成立的是(C)g1国.).PXX服从正态分布PXxN(0,1),对给定的正数,则x等于().(01),数U满足(A)U_.2解答案是(C).(B)

9、(C)U1-.(D)U12.设连续型随机变量X服从参数为的指数分布，要使Pk2k1一成立,4应当怎样选择数k?解因为随机变量X服从参数为的指数分布，其分布函数为F(x)x0,0,x0)成立，x1,其它，应当怎样选择数解由条件变形，得到1PXa,3,14xdx0.5,因此a=.0424.设连续型随机变量X的分布函数为aPXa,可知PXa0.5,于是F(x)0,2x,x0,0 x1,1,求：X的概率密度；(2)P0.3X0.7.解(1)根据分布函数与概率密度的关系1,可得2x,f(x)0,(x)x其它.f(x),1,(2)P0.35.设随机变量X0.7F(0.7)x的概率密度为_2_2一F(0.3

10、)0.70.30.4.f(x)=2x,0,0 x1,其它，_1求PX一与P21-X2.4,1P122xdx06.求：解于是所以1P-4设连续型随机变量1X2时，F(x)1.X,Ax,0,11511640 x1,x2,其它.21(Ax)dxAx12-x22A1,12;f(x)dx可得xxdx01xdx00,F(x)7.设随机变量X的概率密度为2x1,f(x)12-x2x1(24(x0,对X独立观察3次，求至少有2次的结果大于解根据概率密度与分布函数的关系式可得x)dx2x1;x1,1,1),PaXbF(b)x2,2.x2,其它,的概率.bF(a)f(x)dx,a21PX1(x1)dx14所以，3

11、次观察中至少有2次的结果大于1的概率为C；(5)2昌8828.设XU (0,5),求关于x的方程4x解随机变量X的概率密度为C：(5)84Xx1752562 0有实根的概率.f(x)1, 50,00,于是X22.故方程有实根的概率为_、，2/P X 2= 1a 3)公式，得2P2X&5=(1)(0.5)0.5328,P-4X 10=(3.5)(3.5)P| X|2 = PX 2 + P X2 3=1 中()+ 中(20.9996,23)=0.6977,PX若PX3 =1 PX3 10()1 (0) =0.5 .2c PX c，得 1 PX c Px c，所以P X c 0.52PX2P2Xx2

12、、上1dx0525_29.设随机变量XN(3,22).计算P2X5,P4XW10,P|X|2,PX3;确定c使得PXcPX0.9,问d至多为多少？,a3(1)由Pa0.9即10()0.9,也就是2d3中()0.9(1.282),2因分布函数是一个不减函数，故(d3)1282 TOC o 1-5 h z 2.解得d32(1.282)0.436.2.10.设随机变量XN(2,),若P0X40.3,求PX0.一一X解因为XN2,所以ZN(0,1).由条件P0X40.3可知(-)(-)02X2420.3P0X4P一22于是2(一)10.3,从而(一)0.65.X202,22所以PX0P(-)1(-)0

13、.35.习题2-5.选择题(1)设X的分布函数为F(x),则Y3X1的分布函数Gy为().L,11、小,、(A)F(二y).(B)F(3y1).33CL,、/1一、1(C)3F(y)1.(D)-F(y)-.33解由随机变量函数的分布可得，本题应选(A).设XN01,令YX2,则Y().(A)N(2,1).(B)N(0,1).(C)N(2,1).(D)N(2,1).解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2.设XN(1,2),Z2X3,求Z所服从的分布及概率密度.解若随机变量XN(,2),则X的线性函数YaXb也服从正态分布，即YaXbN(ab,(a)2).这里1,72,所以ZN(5,8).概

14、率密度为f(z)1-x5)216,x.3.已知随机变量X的分布律为X-10137P0.370.050.20.130.25求Y=2X的分布律；(2)求丫=3+X2分布律.解(1)2一X-5-1123P0.250.130.20.050.373+X2341252P0.050.570.130.254.已知随机变量X的概率密度为1,，1X4,fx(x)=2xln20,其它，且丫=2X,试求丫的概率密度.解先求丫的分布函数FY(y)：FY(y)=PYyP2X2y2y1PX2y=i-fx(x)dx.于是可得Y的概率密度为1,12y4,fY(y)fX(2y)(2y)=2(2y)ln20,其它.1,2y1,即f

15、Y(y)2(2y)ln20,其它.-25.设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布，求随机变量YX的概率密度解由题意可知随机变量X的概率密度为fX(x)2,-,2x40,其它.因为对于0y4,FY(y)PYwyPX2wyP41=1(10.1)0.40951;所求的概率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856.xk-e,x0,0,x0,口“、1，一且已知PX1-,求常数k,9.解由概率密度的性质可知dx 1 得到 k=1.x1 _由已知条件 一e dx1ln 24.某产品的某一质量指标 许最大是多少？2、X N(160,),若要求 P120X0,8,问允解由 P120 WXW 200 P120 160 X 160200 16040()(14040(一)2(一)1)0.8,4040