人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第1节　平面向量的概念及线性运算

1、第1节平面向量的概念及线性运算知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的概念1平面向量的线性运算2,3,4,5,8向量共线7,911,13综合问题610,12,1415,161.设a是非零向量,是非零实数,则下列结论正确的是(B)A.a与a的方向相反B.a与2a的方向相同C.|-a|a|D.|-a|a解析:对于A,当0时,a与a的方向相同,当0,则ABC为锐角三角形解析:由向量的运算法则知AB-AC=CB,AB+BC+CA=0,故A错,B对;因为(AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以AB2=AC2,即|AB|=|AC|,所以ABC为等腰三角形,故C对;因为ACAB0,

2、所以角A为锐角,但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选BC.7.已知向量e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+e2共线,则=.解析:法一因为a与b共线,所以a=xb,所以x=2,x=-1,故=-12.法二由已知-1=12,所以=-12.答案:-128.如图所示,已知B=30,AOB=90,点C在AB上,OCAB,若用OA和OB来表示向量OC,则OC=.解析:由题意易知OC=OA+AC=OA+14AB=OA+14(OB-OA)=34OA+14OB.答案:34OA+14OB9.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设tR,如果3a=c,2b=d

3、,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.解:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有t-3+3k=0,t-2k=0,解得t=65.故存在实数t=65使C,D,E三点在一条直线上.10.(多选题)设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(ACD)A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-A

4、C,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则MBC的面积是ABC的面积的12解析:若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点,故A正确;若AM=2AB-AC,即AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,则点M是ABC的重心,故C正确;如图,AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC,设AN=2AM,则M为AN的中点,则MBC的面积是ABC的面积的12,故D正确.故选ACD.11.(多选题)设a,b是不共线的两个

5、平面向量,已知PQ=a+sin b,其中(0,2),QR=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角的值可以为(CD)A.6 B.56 C.76 D.116解析:由题意1(-1)-2sin =0,sin =-12.又(0,2),故的值可为76或116.故选CD.12.在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+AB,则的取值范围是.解析:由已知可得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.因为点E在线段CD上,所以DE=DC (01).因为AE=AD+DE,又AE=AD+AB=AD+2DC =AD+2DE,所以2=1,即=2.因为01,所以012.答案

6、:0,1213.如图,在ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设AB=a,AC=b.(1)试用a,b表示BC,AD,BE;(2)证明:B,E,F三点共线.(1)解:在ABC中,因为AB=a,AC=b,所以BC=AC-AB=b-a,AD=AB+BD=AB+14BC=a+14(b-a)=34a+14b,BE=BA+AE=-AB+13AC=-a+13b.(2)证明:因为BE=-a+13b,BF=BA+AF=-AB+23AD=-a+23(34a+14b)=-12a+16b=12(-a+13b),所以BF=12BE,BF与BE共线,且有公共点B

7、,所以B,E,F三点共线.14.经过OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB,m,nR.(1)证明:1m+1n为定值;(2)求m+n的最小值.(1)证明:设OA=a,OB=b.由题意知OG=2312(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=(13-m)a+13b,由P,G,Q三点共线得,存在实数,使得PQ=PG,即nb-ma=(13-m) a+13b,从而-m=(13-m),n=13,消去得1m+1n=3.(2)解:由(1)知,1m+1n=3,于是m+n=13(1m+1n)(m+n)=13(2+nm+mn)13(2+2

8、)=43.当且仅当m=n=23时,m+n取得最小值,最小值为43.15.已知A1,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足A1M=(A1A2+A1A3)(是实数),且MA1+MA2+MA3是单位向量,则这样的点M有(C)A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个解析:法一由题意得,MA1=-(A1A2+A1A3),MA2=MA1+A1A2,MA3=MA1+A1A3,所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(A1A2+A1A3),如图所示,设D为A2A3的中点,所以(1-3)(A1A2+A1A3)是与A1D共起点且共线的一个向量,显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故有两个值,

9、即符合题意的点M有两个.故选C.法二以A1为原点建立平面直角坐标系(图略),设A2(a,b),A3(m,n),则A1A2+A1A3=(a+m,b+n),所以M(a+m),(b+n),所以MA1=(-(a+m),-(b+n),MA2=(a-(a+m),b-(b+n),MA3=(m-(a+m),n-(b+n),所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(a+m),(1-3)(b+n).因为MA1+MA2+MA3是单位向量,所以(1-3)2(a+m)2+(b+n)2=1,因为A1,A2,A3是平面上三个不共线的定点,所以(a+m)2+(b+n)20,所以关于的方程有两解,故满足条件的M有两个.故选C.16.(2021浙江杭州高三模拟)正2 021边形A1A2A2 021内接于单位圆O,任取它的两个不同的顶点Ai,Aj,构成一个有序点对(Ai,Aj),满足|OAi+OAj|1的点对(Ai,Aj)的个数是(C)A.2 021673 B.2 021674C.2 0211 346 D.2 0211 348解