内蒙古包头市2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD2在中，若，则实数( )ABCD3已知函数满足，当时，则（ ）A或B或C或D或4某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关

2、”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是( )A有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”5胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮

3、化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为ABCD6函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）ABCD7如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）ABCD8复数满足，则（ ）ABCD9在中，角的对边分别为，若，且，则的面积为（ ）ABCD10若平面向量，满足，则的最大值为（ ）ABCD11九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）

4、A斤B 斤C斤D斤12设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和_.14已知集合，则_.15函数的极大值为_.16已知点是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.（1）求椭圆的标准方程.（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.18（1

5、2分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求边上的高.19（12分）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：（1）是的中点；（2）平面平面.20（12分）已知函数f(x)|x2|x1|.（）解不等式f(x)1；（）当x0时，若函数g(x)(a0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围21（12分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求最大的正整数，使得.22（10分）已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，如果在

6、函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.2D【解析】将、用、表示，再代入中计算即可.【详解】由，知

7、为的重心，所以，又，所以，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3C【解析】简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【详解】由，可知函数关于对称当时，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，考验分析能力，属中档题.4B【解析】通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应

8、用问题，属于基础题.5D【解析】设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，该金字塔的侧棱长为，所以需要灯带的总长度约为，故选D6A【解析】求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】，故，所以曲线在处的切线方程为：.令，则，故切线的纵截距为.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.7A【解析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不

9、满足判断条件，输出计算结果，故选A【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8C【解析】利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: ，故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.9C【解析】由，可得，化简利用余弦定理可得，解得即可得出三角形面积【详解】解：，且，化为：，解得故选：【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10C【解析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，

10、利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.11B【解析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12C【解析】设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值【详解】设，则，记，易知是增函数，且的值域是，的唯一解，且时，时，即，由题意，而，解得

11、，故选：C【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值解题时对和的关系的处理是解题关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案.【详解】因为为偶函数，在上有唯一零点，所以，为首项为2，公比为2的等比数列.所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.14【解析】由集合和集合求出交集即可.【详解】解：集合，.故答案为：.【点睛】本题考查了交集及其运算，属于基础题.15【解析】对函

12、数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意，得.所以当时，；当时，.所以当时，函数有极大值.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.162【解析】运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.【详解】抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，则，所以，则线段中点的纵坐标为.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）； （2）证

13、明见解析，.【解析】（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.（2）先排除斜率为0时的情况，设，联立方程组利用韦达定理得到，根据化简得到，代入直线方程得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，则椭圆的标准方程是.（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.设，直线的方程为联立，整理得则，.因为直线与直线的斜率之和为1，所以，所以，将，代入上式，整理得.所以，即，则直线的方程为.故直线恒过定点.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.18（1）；（2）【解

14、析】（1）利用正弦定理将边化成角，可得，展开并整理可得，从而可求出角；（2）由余弦定理得，进而可得，由，可求出的值，设边上的高为，可得的面积为，从而可求出.【详解】（1）由题意，由正弦定理得.因为，所以，所以，展开得，整理得.因为，所以，故，即.（2）由余弦定理得，则，得，故，故的面积为.设边上的高为，有，故，所以边上的高为.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面【详

15、解】证明：（1）在三棱锥中，平面，平面平面，平面，在中，是的中点，是有中点（2）在三棱锥中，是锐角三角形，在中，可作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面【点睛】本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题20（）；（）。【解析】（）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；（）由条件利用基本不等式求得，再由，求得的范围【详解】（）当时，原不等式可化为，此时不成立；当时，原不等式可化为，解得，即；当时，原不等式可化为，解得.综上，原不等式的解集是 （）因为，当且仅当时

16、等号成立，所以.当时，所以所以，解得，故实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想21（1）（2）1008【解析】（1）用基本量求出首项和公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求得和，然后解不等式可得【详解】解：（1）由题得，即解得或因为数列为各项均为整数，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值为1008【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，考查裂项相消法求数列的和在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法22（1），单调性见解析；（2）不存在，理由见解析【解析】（1）由题意得，即可得；求出函数的导数，再根据、分类讨论，分别求出、的解集即可得解；（2）假设满足条件的、存在，不妨设，且，由题意得可得，令（），构造函数（），求导后证明即可得解.【详解】（1）由题可得函数的定义域为且，由，整理得.（）当时，易知，时.故在上单调递增，在上单调递减.（）当时，令，解得或，则当，即时，在上恒成立，则在上递