辽宁省沈阳市第一七O2021-2022学年高三最后一模数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列的前项和为，则（ ）A25B32C35D402在函数：；中，最小正周期为的所有函数为（ ）ABCD3天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊

2、、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）ABCD4在等差数列中，若（），则数列的最大值是（ ）ABC1D35周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）ABCD6第24届冬奥会

3、将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )ABCD7若变量，满足，则的最大值为（ ）A3B2CD108已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD9已知双曲线C：=1(a0，b0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲

4、线的离心率为（ ）ABC2D+110复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）ABCD11设，是非零向量.若，则（ ）ABCD12设非零向量，满足，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13定义，已知，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是_.14已知向量，则_.15已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_16执行如图所示的程序框图，则输出的结果是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在四棱锥中，

5、底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.（）证明：；（）设，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30，求的值.18（12分）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）当时，证明：19（12分）已知椭圆的上顶点为，圆与轴的正半轴交于点，与有且仅有两个交点且都在轴上，（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与直线的斜率互为相反数.20（12分）在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，且， ，（1）若分别为，的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成角的正弦值，求二面

6、角的余弦值21（12分）在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.22（10分）在平面直角坐标系中，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，即有故选：

7、C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题2A【解析】逐一考查所给的函数： ，该函数为偶函数，周期 ；将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；函数的最小正周期为 ；函数的最小正周期为 ；综上可得最小正周期为的所有函数为.本题选择A选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)”的形式，再利用周期公式即可3B【解析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可

8、出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.4D【解析】在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时, 取最大即可求得结果.【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研

9、究数列最值问题,难度较易.5C【解析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率故选：C【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.6B【解析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题

10、考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.7D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：如图点坐标分别为，目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题8C【解析】利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设，由，与相似，所以，即，又因为，所以，所以，即，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和

11、运算求解能力。9B【解析】以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.10A【解析】根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.11D【解析】试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，故也成立，故选D.考点：平面向量

12、数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解(较难)；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12C【解析】利用数量积的定义可得，即可判断出结论【详解】解：，解得，解得， “”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础

13、题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，再分当，两种情况讨论求解.【详解】由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，至多有两个零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，如图所示：当时，即时，要有3个零点，则，解得；当时，即时，要有3个零点，则，令，所以在是减函数，又，要使，则须，所以.综上：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.14【解析

14、】求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算【详解】由题意得，.，.，.故答案为：【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算15【解析】两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又由，可得：当时， 为减函数，当时， 为增函数，故函数有最小值，又由；比较可得： ，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在

15、区间上有解，必有，则有，即的取值范围是；故答案为：；【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.161【解析】该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得：，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，此时满足条件，退出循环，输出的值为1故答案为：1【点睛】本

16、题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）证明见解析（）【解析】（）由平面，可得，又因为是的中点，即得证；（）如图建立空间直角坐标系，设，计算平面的法向量，由直线与平面所成角的大小为30，列出等式，即得解.【详解】（）如图，连接交于点，连接，则是平面与平面的交线，因为平面，故，又因为是的中点，所以是的中点，故.（）由条件可知，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，即，故取因为直线与平面所成角的大小为30所以，即，解得，故此时

17、.【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.18（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析【解析】（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.【详解】（1）函数可求得，则解得所以，定义域为，在单调递增，而，当时，单调递减，当时，单调递增，此时是函数的极小值点，的

18、递减区间为，递增区间为（2）证明：当时，因此要证当时，只需证明，即令，则，在是单调递增，而，存在唯一的，使得，当，单调递减，当，单调递增，因此当时，函数取得最小值，故，从而，即，结论成立.【点睛】本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.19（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据条件可得，进而得到，即可得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立，分别表示出直线和直线斜率，相加利用根与系数关系即可得到.【详解】解：（1）圆与有且仅有两个交点且都在轴上，所以，又，解得，故椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，联立，整理可得，则

19、，解得，设点，则，所以，故直线与直线的斜率互为相反数.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于中档题20 (1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）第（1）问，转化成证明平面 ,再转化成证明和.(2)第（2）问，先利用几何法找到与平面所成角，再根据与平面所成角的正弦值为求出再建立空间直角坐标系，求出二面角的余弦值.试题解析：（1）连接,因为四边形为菱形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因为，所以.因为，所以平面.因为分别为，的中点，所以，所以平面（2）设，由（1）得平面.由，得，.过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，如图所示，又，所以为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.因为为平行四边形，所以，所以平面.又因为，所以平面.因为，所以平面平面.由（1），得平面，所以平面，所以.因为，所以平面，所以是与平面所成角.因为，所以平面，平面，因