3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式课件

1、新课导入回顾旧知数学归纳法的步骤：(1)证明当n=n0时命题成立；(2)假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.3.2用数学归纳法证明不等式 贝努利不等式教学目标知识与能力 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).过程与方法 通过例题的学习，能够证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努力不等式).情感态度与价值观 培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.教学重难点重点难点 会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).灵活运用数学归纳法例1 观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.an=n2:1,4,9,16,25,

2、36,;bn=2n:2,4,8,16,32,64,分析由数列的前几项猜想，从第5项起，anbn即n22n(n N+,n5)，用数学归纳法证明上述猜想时，第(1)步应该证明n=5的情形.证 明(1)当n=5时，5225，命题成立.(2)假设n=k(k5)时，命题成立，即k22k.当n=k+1时，因为(k+1)2=k2+2k+1k2+3k2k22k+1由(1)(2)知，n22n(n N+,n5)所以(k+1)2-1,x 0 ,n为大于1的自然数，那么有(1+x)n1+nx分析 贝努利不等式中涉及两个字母，x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数，我们用数学归纳法只能对n进行归纳.证

3、明(1)当n=2时，由x 0得(1+x)21+2x,不等式成立.(2)假设当n=k(k2)时不等式成立，即有(1+x)k1+kx.当n=k+1时，（1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx） 1+(k+1)x所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知，贝努利不等式成立. 在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用.事实上，贝努利不等式的一般形式是：当a是实数，并且满足a1或者a-1);当a是实数，并且满足a1或者0a-1).例4证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a

4、1,a2,an，那么它们的和a1+a2+an=1.分析 这是与正整数密切相关的不等式，它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时，应注意利用n个正数的乘积为1的条件，并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数.证 明(1)当n=1时，有a1=1，命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即若k个正数的乘积a1a2ak=1，则a1+a2+akk.当n=k+1时，已知k+1个正数a1,a2,ak满足条件a1a2ak+1=1.若这k+1个正数a1,a2,ak+1都相等，则它们都是1.其和为k+1，命题成立.若这k+1个正数a1,a2,ak+1不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数.不妨设a11,a21,a21得(a1-1)(a2-1)1.于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知，原命题成立.课堂小结 本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式.随堂练习1.对任意的n N+,试比较n!与2n-1的大小，证明你的结论.解;对任意的n N+,有n!2n-1可用数学归纳法证明此结论.(1)当n=1时，命题成立.(2)假设当n=k(k1)时，命题成立.即k! 2k-1.当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1) 2k-1(