云南师大2022年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（ ）A7B6C5D42已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ）ABCD3已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图

2、如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）A该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元4已知变量的几组取值如下表：12347若与线性相关，且，则实数（ ）ABCD5在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）AB4CD166复数的实部与虚部相等，

3、其中为虚部单位，则实数( )A3BCD7已知复数满足（是虚数单位），则=（）ABCD8已知函数，若，,则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD9已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）A4BCD10若，则“”的一个充分不必要条件是ABC且D或11为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于、两点，（在、之间）与双曲线在第一象限的交点为，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若点在直线上，则的值等于_

4、 .14已知实数满约束条件，则的最大值为_.15将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则_16已知实数，满足约束条件，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.18（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值

5、.19（12分）在中，角，的对边分别为，已知（1）若，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由20（12分） 已知函数，（）当时，求曲线在处的切线方程； （）求函数在上的最小值；（）若函数，当时，的最大值为，求证：.21（12分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点已知长为40米,设为（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形的周长为,求的表达式

6、;（2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值22（10分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算【详解】的二项展开式中二项式系数和为，故选：C【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键2D【解析】由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，.将点代

7、入函数的解析式得，得，则，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3D【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计

8、算方法，属于基础题.4B【解析】求出，把坐标代入方程可求得【详解】据题意，得，所以，所以故选：B【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值5D【解析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.【详解】， .故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6B【解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解

9、】解：由，得，故选【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题8D【解析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案【详解】解：根据题意，函数，其导数函数，则有在上恒成立，则在上为增函数；又由，则；故选：【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题9C【解析】根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，此时， 因为，在递增，所以的最大值.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线

10、与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10C【解析】，当且仅当 时取等号.故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C11D【解析】过点作，可得出点为的中点，由可求得的值，可计算出的值，进而可得出，结合可知点为的中点，可得出，利用勾股定理求得（为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，过点作，设该双曲线的右焦点为，连接.，.， ，为的中点，由双曲线的定义得，即，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12D【解析】首先由题意得，当

11、梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、分别为、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外

12、接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据题意可得，再由，即可得到结论.【详解】由题意，得，又，解得，当时，则，此时；当时，则，此时，综上，.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.148【解析】画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距，由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15【

13、解析】根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称 即： 本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16【解析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故由题可知，联立得,联立得所以，故所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属

14、于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.（2）推导出，由此能证明的“极差数列”仍是.（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，是一个单调递增数列，从而，由，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【详解】（1）解：无穷数列的前项中最大值为，最小值为，是递增数列，的前项和.（2）证明：，的“极差数列”仍是（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，根据，的定义，得：，且两个不等式中至少有一个取等号，当时，必有，是一个单调递增数列，是等差数列，当时，则必有，是一

15、个单调递减数列，.是等差数列，当时，中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，数列是常数数列，则数列是等差数列.综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.18（）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（）.【解析】（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.【详解】由可得直线的直角坐标方程为由曲线的参数方程，消去参数可得曲线的普通方程为.易知点在直线

16、上，直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.设是方程的两根，则有.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.19见解析【解析】（1）因为，成等差数列，所以，由余弦定理可得，因为，所以，即，所以（2）若B为直角，则，由及正弦定理可得，所以，即，上式两边同时平方，可得，所以（*）又，所以，所以，与（*）矛盾，所以不存在满足为直角20（）（）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）由题，所以故，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；（）由题（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是（2）当时，令，即，令，即（i

17、）当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是（）当时，令，则是单调递减函数. 因为，所以在上存在，使得，即讨论可得在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值是因为，所以由此可证试题解析：（）因为函数，且， 所以，所以所以，所以曲线在处的切线方程是，即（）因为函数，所以（1）当时，所以在上单调递增. 所以函数在上的最小值是（2）当时，令，即，所以令，即，所以（i）当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值是（iii）当，即时，在上单调

18、递减，所以在上的最小值是综上所述，当时，在上的最小值是当时，在上的最小值是当时，在上的最小值是 （）因为函数，所以所以当时，令，所以是单调递减函数. 因为，所以在上存在，使得，即所以当时，；当时，即当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值是因为，所以因为，所以所以21（1）,（2）【解析】（1）由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出;（2）求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.【详解】解：（1）连由条件得在三角形中,由余弦定理,得,因为与半圆相切于,所以,所以,所以所以四边形的周长为,（2）设四边形的面积为,则,所以,令,得列表：+0-增最大值减答：要使