数理方程偏微分第一章

1、1 方程的导出、定解条件弦的横振动方程的建立定解条件的提出 膜振动方程的导出定解条件的提法真空中电磁波的.5.偏微分方程是指含有多元未知函数u u( x),2 ,L, xn )及其若干阶偏导数的关系式uuu m u) 0F ( x, u,L,Lxmnxnn其中 未知函数最高阶导数的阶数m m1 m2 L mn 称为方程的阶.若偏微分方程中与未知函数有关的部分是u及u的偏导数的线性组合,则称为线性偏微分方程.2返回下页上页1.弦的横振动方程的建立设有一沿水平直线绷紧的弦，以某种方法激发后在垂直平面内作微小横振动。求弦上各点的运动规律。一、基本假设：弦的截面直径与弦的长度相比可忽略，

2、因此可视为一根曲线；1、细线密度是常数；变形时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力与弦的切线方向一致（没有法向分量）；2、均匀3、柔软弦的伸长形变与张力服从定律。4、有弹性3返回下页上页二、基本定律：dvt ( ) m a第二定律F： mdtt2( dt)t 在任一时段内：tFmv(1( mv)t2t1u12TT2x1xxO12图14返回下页上页作用在物体上的冲量该物体的动量的增量作用在物体上的力该物体的质量该物体的加速度三、数学推导x 轴弦的平衡位置；u 轴弦的振动方向。(u x, t ) 位于 x 处的弦在 t 时刻离开平衡位置的位移；T(x, t)位于 x 处的弦在 t 时刻的张力大小；微小横

3、振动： u 1此，因u的高阶忽略不计。xxt) T1 2 )xx由 Hooke定律( Tu,xx()(usxtan uxsin uxT(x 0 ,t )11cos1M01 u2tan22x012x51L1 xuO图20 x返回下页上页下面推(u x, t 任) 意截取一段此，为微分方程。所满足的受力情况。（见图 3）导弦的位移弦x1, x 2 ， 并在x1处的左张力在 x ：方向的投影为( T )x1cos1 T( x1)在x2处的右张力在 x 方向的投影为：T) x2 cos2 T(x2 ()Tx)2 T( x1)由于各点没有左右偏移，故合力(0 x ) T即T(u12T2T1xOx2x1图

4、36水平方向受力分析返回下页上页在x1处的左张力在u方向的投影为：T (ux1 , t)( Tsinx)11x在x2处的右张力在u方向的投影为： T (u x2 , t)sin(T) x22x设u对 x二次连续可微, x1x 2上张力的合力在u方则弦向的投影为:t , )x2Tux( t x,u)x (Tu,)xt2x1u12T2T1xx2xO1图37垂直方向受力分析返回下页上页设u方向作用在弦上的外力线密度为F(x, t，) 则此段x弦所受外力为：2F( x, t)dxx1在任意时间段(t1, t中)内力和外力产生的冲量为:2,x ) ttx 2x22(1.d8t)TuF(dxt1x1x2t

5、时刻的动量:u(x, t)dxtx1从t1时刻到t2时刻动量的增量:x2x()u( x , tx2u)dtt 2) dxu,tx(t,dxt2t1ttxx1t118外力分析返回下页上页由物理学定律,冲量应等于动量的增量，所以:t2x2x2x2t2u F( dxudtT,x) tdtt tdxt1x1x1t1t2x2t2x2Tu dxdtuF tt(x ,t)dxdti.e.t1t1x1由t1，t2，x1，x2的任意性得:F(x, t) uttTxux TF(x, t)a 2t) ,f(x ,:记则有 2u 2u2fa(x,t)(1)t 2x 29返回下页上页 2u 2u2f (ax,t)(1)

6、t 2x 2f(x,t) 表示时刻t 在点x 处,质量的弦所受外力。方程(1)称为弦振动方程或一维波动方程。t0( 当F,) x时, 2u(变1为 ) 2u 2a(2)t 2x 2方程(2) 是弦的振动方程。方程(1)是弦的强迫振动方程,通称为非振动方程或非一维波动方程。10返回下页上页2.1)定解条件的提出初始条件: 已知弦在初始时刻t=0时的位置和速度u( x,0) ( x)u( x,0) ( x),(0 x l )(3)t2) 边界条件:已知弦在两个端点的性态边界条件可有几种不同的形式:弦的两端固定：（见图1)u(0, t ) 0,u(l, t ) 0(4)式(4) 称为第一类边界条件，

7、或Dirichlet边界条件。11返回下页上页的，可在垂直于x轴的直线上弦的端点是滑动，此时合力在u方向的分量为0，即(u 0 t,u(),lt) 00,xxann边界条件。称为第二类边界条件或（T sin T ux）更一般的第二类边界条件:(u 0 t,u() ( t,lt )( t),)(5)12xx1和2 是已知函数12返回下页上页u弦的端点固定在弹性支承上。此时，弹性力与弦对支承的拉力(弦在端点的张力在垂直方向的分量)相平衡(见图4）, 描述为xOl图4T u k ux 0 : k1 , k2分别为x 0, x l处1x 弹性支承的弹性系数ux l :Tku2x更一般的描述:u u v

8、( k1 )x 0 :(t )111xT第三类边界条件u ( k2 )x l :u v(t )222xT13返回下页上页求方程(1)或(2)满足初始条件(3)以及某类边界条件的解，这种定解问题称为混合问题或第一(二、三)类混合初边值问题。另一种情形：设弦很长，而所要的一部方程(1)分弦离边界又很远。此时可在区域上或(2)满足初始条件(3)的解。称为初值问题或(Cauchy)问题.14返回下页上页3.膜振动方程的导出以膜振动方程为例，导出二维波动方程。设膜的平衡位置为xoy平面，u( x, y, t )为t 时刻膜上( x, y)处的位移（垂直于xoy 平面）。则膜振动方程为 2u 2u 2u

9、T F ( x, y, t )t 2 x 2y 2其中为膜的面密度，T 是膜上任一点的张力。F ( x, y, t )是点( x, y)处所受外力面密度。15返回下页上页记TF2,af,得膜振动方程的标准形式：项 2u 2u 2u a 2 f (x ,y,)tt 2 x 2y 2膜的强迫振动方程2 2u 2u 2u a膜的振动方程t 2 x 2y 216返回下页上页二维波动方程4. 定解条件的提法u( x, y,0) ( x, y)初始条件：u ( x, y,0) ( x, y) t边界条件：第一类边界条件：u( x, y, t ) 0或 u( x, y, t ) ( x, y, t )其中为

10、薄膜的边界在xoy平面上的投影。17返回下页上页u ( x, y, t ) 0第二类边界条件：n或 u ( x, y, t ) ( x, y, t )n其中n为的外法线方向。nn u u 第三类边界条件： 0 n 或 u u ( x, y, t ) n 其中为已知正数。18返回下页上页Cauchy问题 2u2 2u 2u ax y 2f ( x, y, t ), t 22u( x, y,0) ( x, y), x, y .u( x, y,0) ( x, y), t混合初边值问题19返回下页上页5. 真空中电磁波的 D D：电位移矢量E：电场强度 B：磁感应强度 H：磁场强度：电荷密度j：电流密

11、度BMaxwell方程组 EtBH0j Dt真空中， D 0 E ，B 0 H ，其中0 是真空电容率，0当是真空导磁系数。 j 0， 0时，得真空无源区域中的llweMax 方程组：20返回下页上页 E 0 2 E12 EH E 00 t 20t H 0 2 H t 21 H2E00 H 0t 2 2 2 2 x , y , z x 2y 2z 2E 和 H 的三个分量均满足三维波动方程：1 2u 其中，a 2 a u200t 221返回下页上页定解问题适定性存在性,唯一性,稳定性统称适定性.稳定性指解对定解条件或项的连续依赖性问题。即：当定解条件或f (指f(x,t),f(x,y,t),f

12、(x,y,z,t)有微小变化时，解是否也只有微小变化 。22返回下页上页2公式、波的传播叠加原理弦振动方程的波1.解法2.3.依赖区间,决定区域和影响区域化原理4.5.1.叠加原理物理上, 几种不同原因的综合所产生的效果, 等于这些不同原因单独产生的效果的累加. 此原理称为叠加原理(supprinciple).osition-数学物理中,若微分方程及定解条件都是线性的,则称此问题为一个线性的定解问题.对复杂的线性定解问题,总可以划分为若干个相对简单求解,再进行叠加. 2u 2uaf2设u(1x,是)t 方程(1x,的t)例如:解，t 2 2ux 2 2ua2fu(2x,是)t 方程(2x,t的

13、)解，t 2x 2f1 2u 2ua2x 2c 1 c2c 则1u2c2是u2的f2解.1t 2返回下页上页又如:考虑Cauchy问题 2u 2u(t 0, x )2af ( x, t ), t 2x 2(A)ut 0 :u ( x), ( x)( x )u2t设u1 ,分别为下述问题,的解 2u 2u2 0,(t 0, x )a t 2x 2()ut 0 :u ( x), ( x)( x )t 2u 2u2 f ( x, t ),(t 0, x )a t 2x 2()ut 0 :u 0, 0( x )t则u1+u2为原问题(A)的解3返回下页上页2.弦振动方程的问题()解法(行波法) 2 u

14、 2uax 20 ,(t ,x 00 ,x)x( (2)2.78) t 2u,0 x)(x),ut () x(2.() (引入新自变量： x at, x at(2.11) uuuuu则uu 2uuu2u(a 2)u类似tt4返回下页上页ua2 u 42 auttxxQ 0 a 2 (2u: .7可)化为0 (u, )F( ) G ()其中F，G为任意可微函数弦振动方程(2.7)的通解:代回原自变量,得x)t F( x a)Gx ( at(u,t)(2.14)将通解(2.14)代入初始条件(2.8): F(x ) Gx( )(2.15)(2.16)(,0ux)x(),ut ( x, 0) aF

15、( x) G( x) ( x).对(2.16)两边积分:x ( )d CaF ( x) G( x) (2.17)x05返回下页上页（2.15）、（2.17）联立，解得：F121c xx)( )x(d) (2a12ax0(2.18)1( cxGx) d)()x(22a2ax0将G(x), F(x)代入通解(2.14)中，得:)t(x at) (x at) 1atxd)(2.19)u (x,(22axat称为公式6返回下页上页定理 2.x1(设) C(2R ),(x)1C ，(则Ry)Cauch问题（）有唯一解,由公式给出。公式容易验证，当 C2 , C1注：由时，问题()的解也是稳定的。1, 2

16、, ：证明设对任意两组初值1及2，()的解分别为u 1 ,u2，在任意时间段0,T对上，0，令x) 2 ，只要1 T() |，|( 2(x) |(xx)11：必有|u 1 u2 |而。从稳定解的)题(解问以定，所也是适定的。7返回下页上页3.( u ,x波(行波)( u ,x t) G称为左x( at)t) Fx( at)波(左行波)称为右波(右行波)uu%( x, 0) F ( x)u%( x, t0 )xx1 at0 x1x2 at0 x2at0T 是其中a速度把定解问题()的解表示为右行波和左行波的叠加，这种方法称为行波法。8返回下页上页uxt 5 4a例：xxt 4 4a 22( x

17、) ( x 0) (0 x )( x )0t 3 4a2 2 x2 x( x) 34 342 xt 2 4a( x) 0 2 20 xxt 4a 44t 0 u( x, t ) ( x at ) ( x at )29返回下页上页4.依赖区间,决定区域和影响区域)t()x a ( x att) 1at (xd)u (x,x, t22axat(txx atOx at依赖区间出，初值问题由公式可以看()的解在t 0的点(初始资料()及(x, t处) 的值(ux, t由)xx)在区间x at , x at 上 的值完全确定，而与区间外的值无关。因此把区间x at, x at 称 为的点(x, t的)依

18、赖区间。10返回下页上页tx atx atx1x 2决定区域xOxx12tt xx1 atxx at影响区域x x atx x at200OxxxO12xx0 x x0 at称为波动方程的特征线扰动沿特征线以有限速度的一个重要特点。，是弦振动方程11影响区域返回下页上页例一端固定的半弦的振动问题： 2u 2u0 a,20t0 x ) (2,(2.2 t 2xt uu),u x (0 x )20:() x(242.)tx 0:0(.分析：假设在 x0处仍有弦存在，只是在振动过程中 x = 0这一点始终不动。原问题化为弦的振动问题。12返回下页上页问题：如何将初始数据延拓为整个实轴上的函数，使得延

19、拓后的问题的解在x=0处恒为0?x 0)x 0)( 0)设( 0)待定待定设U(x,t)是问题 2u 2ua2 0,(t 0, x ) tx22(B)t 0: x )u(的解，若U(0,t)0，则u(x,t)=U(x,t)，(x0)是问题(2.22),(2.23),(2.24)的解。13返回下页上页由 x公式：) 1 (x1atatxUt( ,at)x)at (d)22ax欲使U(0,t)0，即1 ( a 1at)d 0)(22aat只须令： (0 x)0 ) 0 x)x 代入U ( x)0t, ()取)x,)( 及将(x的部分0得： 1(at1x atu (at)(x( d ) x(at )

20、x)22ax at)tx,11x at )x (d) x ( 0 xata()22aat x14返回下页上页1 1 2a 1 2ax atx at ( xat ) ( x ( )dat ) ( x at )u( x, t ) 2 1 x at ( )dt x) (0 x at )( x 2at x物理解释：当x at ，即t x 时，解为a贝尔解，说明端点x 0的影响尚未到x att0 x at达；当x at ，即t x 时，端点的影x ataxO响已经到达 x 处。15返回下页上页简单，设初速度 0，此时为,) 1( x x(t)u)ax2第一项1 (x at)是初始波形(x )向左以速度a

21、的2，称为 行波（振幅减半）入射波；(11第二 项at)x(x(at波) 形 是初 始22( x )向右以速度 a的行波（振幅减半），称为入射波的波反射。在x 0叠为加入射波与反射波位相恰好相反， 处，0。这种现象称为半波损失。16返回下页上页ut t3xat3t t2xat2t t1xat1t 0 x端点的反射17返回下页上页5.化原理 2u 2uax 2(f2, x ), t(t 0, x)(2 . 29) t 2()ut0 :u00( x)(,2.30)tt ;定理 2. 2（若W(x,是) 初值问题化原理）W(t ),a2W 0ttxx(2.33)t :f ( x, )W 0, Wt为

22、参数），则t的解（其中),x, t)u(x, tW (d(2.34)0就是初值问题（）的解。18返回下页上页W证明： QW ( x, t;t ) 0,( x, t;t ) f ( x, t )tu W ( x, t;)dtt W ( x, t;t ) W ( x, t;)d ()ttt00 2uW 2 2tt( x, t;t ) W ( x, t;)d2 W ( x, t;)d f ( x, t )ttt 2t20t0 2u 2W ( x, t; )dx2x20t 2W 2u 2u 2W( x, t;) a( x, t;)d 22af ( x, t )t 2x 2tx 220 f ( x, t

23、 )u( x,0) 0u( x,0) 0,由()又，由(2.34)t所以u是初值问题()的解19返回下页上页令t t ,问题(2.33)的解法：则(2.33)化为 2W 2W 2ax 20(t0), t2(2.35)Wt 0 W 0, f ,:x()t由W(公式得：t ) 11xx a tt )a(, x;f (,)d, f ()d2ax2a xa tt)a(从而问题()的解为：11tx(a)t(2.37)u (x,2a2ax0a(x ,t )G)tx (a )txa( O20返回下页上页化原理的物理解释冲量定理t t j 1( j1 ,tj2L,tn,)将0,t分成若干小段0 ,jt( t)

24、,j t(ttf(jx,ft) ( x ,0 ,t ),)t,t j 1t jj 1jt(),j 1xOnu a2uxxf ( x, t ),ttj(II)可化为下列问题的叠加j 1u( x, 0) 0,u ( x, 0) 0tu a2u f ( x, t ),ttxxjj 1, 2,L, n(II) ju( x, 0) 0,u ( x, 0) 0,t21返回下页上页f ( x, t j )xtj v( x, t j 1 )x由 (fx, t 的) 物理意义可知，(II j )所描述的振动可由如下方程带非初始条件的初值问题来描述：w% tt a 2w%,xx(t t j ),(IIj ) w%

25、 0, f ( x, t )tw%tjjt t jt t j其解记为( w ,x t;tj, t，)则问题(II)的解为：njlimw( x,t;t jt,( u ,x)t)jt j0j 1因为(IIj )是线性方程，故w% 与tj 成正比，即设W ( x, t; )是W(t ), a2W,ttxx(II) 的解，则 f ( x, ), 0,WWtt t tW (,w;x t t, t Wx( t t, u ;(x) , t,x ; t )(t )djjjj022返回下页上页总结设u( x, t )是Cauchy问题 2u 2u (t 0, x )2af ( x, t ), t 2x 2(C

26、)ut 0 :u ( x), ( x)( x )t的解23返回下页上页设u1 ,u2分别为下述问题,的解 2u 2ua2 0,(t 0, x ) tx22()t 0: x )u( 2u 2ua2(t 0, x )f ( x, t ), tx22()t 0:u 0, u 0( x )t则u=u1+u2为原问题的解24返回下页上页由达朗贝尔公式和齐次化原理得：u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 1x at ( )d122ax at1x a ( t )t0 x a ( t )f ( , ) d du ( x, t ) 22a由叠加原理，问题(C)的解为：u( x, t ) (

27、x at ) ( x at )2 1 x a ( t )f ( , ) d d x atx att ( )d 2a 0 x a ( t )25返回下页上页3初边值问题的分离变量法分离变量法非非方程的情形边界条件的情形2010-11-29x flx,) l ,)2ut(, u)ut ()3.1(.23)(3.3)ttxx(A) u(x, 0)( x,)u(0, t ) 0t,) u0(t 0.)(l ,利用叠加原理，(A)的看作下列两问题解的叠加：uu 0a 2,ttxx(x),u(,x 0 )(u, )0 x )ut()tx(),( u0 ,t) ,l0.a2u(ut,luf ,x),x00t

28、).ttxx,u(0( ,u) 0)x(0,( u0 ,t) )t2返回下页上页1.问题(I)的求解分离变量法ua2u 0(t 0, 0 x l ),(3.4)(3.5)(3.6)ttxxu( x, 0) l ),(t 0).()( x), ut (u(0, t ) 0, u(l, t ) 0首先求满足方程(3.4)和边界条件的分离变量形式的非平凡特解,即设u( x, t ) X ( x)T (t )(3.7)X ( x)T (t ) a 2 X ( x)T (t ) 0将(3.7)代入方程(3.4)得 T (t ) X ( x) (待定常数)分离变量, 得(3.8)a2T (t )X ( x

29、)3返回下页上页T ( t) X (x )(3.8)2 T()t X (x)a故 X, T 应分别满足常微分方程：T (t ) 0X ( x) 0(3.9)(3.10)将u( x, t ) X ( x)T (t )代入条件(3.6)得,X (0)T (t ) 0,X (l )T (t ) 0(t R)由于(T t) ，0 故X (x)必须满足X (0) 0,X (l ) 04返回下页上页从而X(x)应是下列常微分方程边值问题的非平凡解：( x) 0(3.10)(3.11) X (0) X (l ) 0注：其中 是参数， 不能任意取值，否则问题(3.10)、(3.10)、(3.11)有非零解的

30、的值称(3.11)只有零解。使问题为问题的固有值（或特征值），相应的非零解称为固有函数（特征函数）。求固有值和相应的固有函数值问题（特征值问题）。称为固有为求解固有值问题(3.10)、(3.11)，下面分 0， 0和 0三种情形来5。返回下页上页( x) 0(3.10)(3.11) X (0) X (l ) 0情形A ： 0方程(3.10)的通解为：CcosxsinD X(x)x l 0X (0) C 0,X (l ) D sin由边界条件(3.11)就必须sin l 0 (k 1, 2,L)为使D 0(否则X ( x) 0), l k满足此等式的 为固有值，记为 k，即k22(3.12)2(

31、k1,2L,)kl相应于k的固有函数为：kx skin(k2(3,.13) )(D xL1,kl其中Dk为任意常数。7返回下页上页k22当 k2时，T(t所)满足的方程为:l22T (t ) 0通解为T (t ) T(t ) A cos k at B sin k at(k 1, 2,L)(3.14)kkkll其中Ak， Bk为任意常数。因此( x)T (t ) ( A cos k at Bsin k at )sin kU Xxkkkkklll是满足方程(3.4)和边界条件(3.6)的解。这里，Ak Ak Dk ,8Bk Bk Dk返回下页上页为寻求满足初始条件(3.5)的解，叠加所有的Uk ，

32、即k alk alklu Uk ( Ak cost Bk sint )sinx(3.15)k 1k 1由叠加原理，(3.15)也满足方程(3.4)和边界条件(3.6)，称为半通解。将(3.15)代入初始条件(3.5)，得：k Ak sinx ( x)ut 0(a)lk 1k akt 0 Bkk 1x ( x)utsin(b)当m nll0,mnll ) X )d sin d l，当m nX(sinQmnll00 29返回下页上页在式(a)、(b)两端同乘以sin kx，并从0到l积分，得llk()sind A 2kll0(3.16)lk()sind2Bka 0kl将(3.16)代入(3.15)

33、中得定解问题()的形式解:kk a 2l ( )sin d cosu tk 1 l2llk0(*)kkal ( )sin d sintsinxk alll010返回下页上页当 C 3 , C 2,定理 3.1且满足相容性条件 (0) (l ) (0) (l ) (0) (l ) 0时，定解问题()的古典解存在，由公式(*)给出。证明：当 C 3 , C 2, 且满足相容性条件时，公式(*)(3.17) 2U 2U右端的级数一致收敛，且 k , k 也都一致收敛，t 2x2k 1从而 (*)是问题的古典解。k 111返回下页上页利用具有分离变量形式的特解来构造原问题的解，这种方法称为分离变量法。

34、注：当 (x )和 (x )不满足定理 3.1 中的条件，但都是0数 列l,函由n级数理论知， 上的平方可积函数时，kknka Ak sinx 和Bk sinx作 为nnlllk 1x 分)k 1(x )和别平方平均收的傅氏级数的部分和序列，x )，即敛于()和 (xx(2(2l)xlim()dx0nn0 xl)xlim()dx0nn012返回下页上页件为初始条对应于n(题()的解是：)和 n( x )问边值的初xA k t akn,n x )t (ka(3.18)u(cossinBt )sinxkklllk 1当n 时，u(n式解，即x, t形)出的式给*)(于由敛均收平方平x(2l)u)

35、dxlimunx(0n0当 n充分大时，u(nx, t可)视为初边值问题()的近似解。故形式视为原问题的广。13返回下页上页问题（）左右行波的叠加(t a siBnkA kka)(3.15)uUcostsinxkkklllk 1k 1kAkksins)2k 1Bkkkcosc)2k 112kksinAs)xk k 1kk 1 Batsindk2 k 1llxat1(1xat(at( x d),(x)at)22axat注：式中的，过延拓后定义在经值应理解为相应初()上的以 2l 为周期的奇函数。14返回下页上页2.解的物理意义 arctan Bkak ，则，kB2，A2令NAkkkkklx)si

36、n kt U(kkl驻 点lk 10l分离变量法又称驻波法k 2l02lk 3l02 l3315返回下页上页固有频率振幅初相位k=1：基波、基音 k1：谐波、泛音例 设弦的两端固定在x轴的x 0及x l 上，在点x c(0 c l )处向上拉起h，而后放开作运动，求其运动规u律。h解：以u(x,t)表示弦上各点的位移，则u(x,t)满足：xOclu a2u(t 0, 0 x l )ttxxu( x, 0) ( x),ut ( x, 0) 0(0 x l )(t 0)u(0, t ) u(l, t ) 0 h x(0 0 c)其中 ( x) ch (l x)(c x l ) l c16返回下页上

37、页Bk 0利用(3.15)，(3.16)lk ( )sin d 2cAkll0klkl2lhc2l hl cl sin d (l )sin d0ck c2hl 2 2c(l c)k 2sinl从而k ckk a2hl 21k 1u( x, t ) sinsinx cost c(l 22c)klll17返回下页上页3. 非方程的情形ua2uf ( x, t ),ttxx()u( x, 0) 0,ut ( x, 0) 0,u(0, t ) u(l, t ) 0.化原理） 若W ( x, t;)是初边值问题（W(t ),a2W 0ttxxt :W 0, Wt f ( x, )(II ) x 0和x

38、l :W 0 0为参数），则的解（其中t )du( x, t ) W ( x, t;(3.27)0就是初边值问题（）的解。18返回下页上页令t t ，问题(II)就化为：W (t 0),a2W 0t t xx(II)t 0 :W 0, Wt f ( x, ) x 0和x l :W 0解法同问题(I)，故W ( x, t; ) B ( )sin k a kt sinxkllk 1B ( )sin k a (t )sin k k 1(3.29)xkllf ( , )sin k d2k al其中 B ( ) kl019返回下页上页把(3.29)代入(3.27)，得混合问题()的形式解：tW ( x,

39、 t ,u( x, t ) )d0(3.31)B ( )sin k a (t )d sin k txkk 1 ll0 x) 2且在端类似于定理 3.1，可以证明，当 f点满足 f (0 t的古典解。t 0时，级数(3.31)就是问题()(20返回下页上页可用付氏变换法求非方程非方程的付氏解ua2u(t 0,0 x l ),f ( x, t )(3.1)(3.2)(3.3)ttxxu( x, 0) u(0, t ) 0, l ),(t 0).(A)( x),ut (u(l, t ) 0设问题(A)的展开成付氏级数n xu( x, t ) Tn (t )sin(c)ln1, lt ) , t)显然

40、(u0，(u0，0 即u(x, t满)足(3.3)。将级数(c)代入方程(3.1)，得n2 2a2n xlT (t ) T n (t ) sinf ( x, t )(3.1 )nl 2n1 21返回下页上页n2 2a2n xlT (t ) T n (t ) sinf ( x, t )(3.1 )nl 2n1 将 f ( x, t )看作x的函数，并展开为付氏级数f ( x, t ) f (t )sin nxnln1f ( , t )sin n d ,其中 f (t ) 2ln 1, 2, 3,Lnll0则(3.1)化为n a f ( x, t )sin n x222nxT (t ) T(t )

41、 sinnnnl 2lln1 n1n2 2a2T (t ) T n (t ) n 1, 2, 3,L故fn ( x, t ),nl 222返回下页上页将级数(c)代入初始条件(3.2)中，得 n1n n1n xx) si(n(,u 0 x)(nT0)xsinnll nx (nxT(u,0 x)(n0)sinlx )n sintln1n1()sin n d 2l 其中n ,12, 3,L,nll0n2ln i3 n ,s,( d) l,2 L,1nl0, ,3 ,2 1Ln23返回下页上页求解常微分方程初值问题n2 2a2T (t ) T n (t ) fn ( x, t ),n 1, 2, 3

42、,Lnl 2T (0) ,T (0) , nTnnn得tn a(t ) sinfln a 0( )dnlnnnllsinn anuat sinx从而lln1 lt sin n a(t )f ( )d sin n x n1n a 0nll24返回下页上页4、非边界条件的情形ua2uf ( x, t ),(3.32)(3.33)(3.34)ttxxu( x, 0) ( x),ut ( x, 0) ( x),(B)u(0, t ) (t ),u(l, t ) (t ).12 构造辅助函数U(x, t)，使其满足给定的边界条件(3.34)，即满足U(0, t)=1(t)，U(l, t)=2(t) 令u

43、(x, t)= v(x, t)+U(x, t)， 代入问题(B)，得va2vf ( x, t ) U( x, t ) a2U( x, t ),ttxxttxxv( x, 0) ( x) U ( x, 0),vt ( x, 0) ( x) Ut ( x, 0),v(0, t ) 0,v(l, t ) 0.从而化为问题(A)的类型。25返回下页上页一般地，辅助函数U(x, t)可取为 x 的线性函数，即t ) x B(t )U ( x若两端都是第二类边界条件，则可取为 x 的二次函数t ) x2 B(t ) xU ( x其中A(t), B(t)可由边界条件确定。如，由(3.34) B(t ) 1(

44、t )U (0, t ) B(t ) (t ) 1) 2 (t ) 1 (t )t )l B(t ) U (l2l(t ) (t )x (t )故可设U ( x, t ) 211l令 u( x, t ) v( x, t ) U ( x, t )，则问题(B)化为26返回下页上页f ( x, t ) 2(t ) 1(t ) xva2vttxxl (0),v1v (0),t1v(0, t ) 0,v(l, t ) 0.27返回下页上页其它边界条件的情形12u0t0,0 ua(,xl),ttxx( )x, (,u 0 x)u(l),)tt 0, l) t0, t (0,uu(xx) T0).解： 令

45、u (X(t，)代入方程得 X 0：(X) X (l)代入边界条件0X0 X X 0求解固有值问题： () l)X 0X (0当 0时，问题只有平凡解， 故 0不是固有值；CcosxsinD 当280时，方程的通X解为(x)返回下页上页X(lC 0 ,l )lk Dcols由边界条件( ，X0得)为使D 0，必须有cos1k ,2L,2L ,02122 k 2 k 1 Dsin , xk1 ,2 , Xkkk2l2l22k 将 k 代入T的方程,Tk 022 k 12kTAkcosatBsinkk2l22 k 1k 2k21x,uAkcosatkBsinsinkk1 ,2l22l2L,是满足方

46、程和边界条件的解。29返回下页上页叠加所有解，得k k 212k21atkBsinx,uAk cossink 1 2l22l代入初始条件，得0 )k 1k 21 (x),u(x,k Asinx2l)2 k k 1210 a sin( x)u (x,k B 2lxt2lk 1由特征函数系的正交性，得2 k 2(1lAxxdx,)4sin2lkl02 k 1l(B )xdxxsink(2k 1 )a2l030返回下页上页其它边界条件的情形22u0t0,0 u,u 0a(,xl),ttxx)x, (x)u(l),)t,u(x, l) t0, t (0u,t 00).x解： 令u (Xx) T (t，

47、)代入方程得 X 0：( X0X) X (l)0代入边界条件 X X 0求解固有值问题：) l)(X 0X (0当 0时，问题只有平凡解， 故 0不是固有值；当 0时，方程的通解X为 Cx D,XD0是相应于00的固有函数；由边界条件得 C 031返回下页上页当0时，方程的通X解为(xCcosxsinD )由边界条件，得)0 X, D 0 Dl () sCin, k l (X000l 1k ,为使C 0，必须有sinl 2L,. k2kcosCkkk , X x ,1 L,得2,kTll2 k 0T 0由T的方程,0kkkT A B t, TAkcosatkBsink000lAcos kk x

48、 Bsin kcosu A B t,uat,000kkkllk1 ,322L,是满足方程和边界条件的解。返回下页上页叠加所有解，得kkk uABtcosA at()Bsincosx,00kkk 1 ll代入初始条件，得A k ( x ,0( x),u) Acosx l0kk 1k ak( x ,0 x(u) BBcosx)t0kllk 1由特征函数系的正交性，得k21lll) xdx , A sA(xod c(),x k1 ,xx.0kll002L,k21llls)x dx ,oBc() dxB(xk akl00033返回下页上页4波动方程的问题球平均法降维法非波动方程问题的解2010-11-

49、29 2u a u,2( M R , t 0)n t 2u u( M , t;)若ut 0 :u 0, ( M ),t 2u a u,2( M R , t 0)n t 2u( M , t;) u 则utt 0 :u ( M ), 0,t 2u a u,( M R, t 0)2n u u( M , t;) t 2从而t u( M , t;)ut 0 :u ( M ), ( M ),t2返回下页上页3、球平均法三维波动方程Cauchy问题：u , ua 2tt(1)0 u ,t 0 x,u t 0(,y)z.t 2 2 2其中x2 y22z当空间变量为一维时，由公式，得 t 1 1xat(x at

50、 ( d)u (x,d)t2atx at2ax at3返回下页上页当空间变量为三维时， 可直接验证，(1)的解具备如下形式：tu( x, y, z, t ) (, , )dS4(at )2S Mat其中S M 是以M ( x, y, z)为球心，以at 为半径的球面，dS 表at示S M 上的面积微元。atu( x, y, z, t ) (, , )dS1t 4a 2t uu a 2u ,tt1S M ( x, y, z), ( x, y, z).att 0u4a 2t (, , )dStt 0S Mat4返回下页上页4、降维法研究二维波动方程的问题： a),(2x(uuu),ttxxyy ,

51、yu (u,x)ytt 0t 0方法：将空间变量看成是在三第三个空间变量无关。中取值，函数与(x设, yu u, y则),t 满足三维u 波动方程：u,z ,t )u(x, au ), u2(uttxxyyzz(ux( ,y),x)ytt 0t 05返回下页上页其解为：u ( x , dS 112tt,z ) t dSy,t4a4a2S MS Matat其中 ( , ) R3( x)2 ( y)2 ( z)2 atSMatM 在平面的投影，即记 Ma ( , ) R2 at( x)2 ( y)2Mat6返回下页上页y ,t)( u则(ux,x,y, zt,) ,)1(d22)2( y2)(xd

52、,)( )at2)2y2) (x(Mat7返回下页上页5、非波动方程问题的解u a2 (uuu) f ( x, y, z, t ),ttxxyyzz(C )u 0, 0.utt 0t 0化原理：设w( x, y, z, t; )是问题w a2 (wwwtw),ttxxyyzz f ( x, y, z, ) 0, wt t 的解，则tw( x, y, z, t; )du( x, y, z, t )是问题(C)的解。08返回下页上页1Q w( x, y, z, t;) 4a 2 (t ) f (, , , ) dSS Ma ( t )f (, , , ) dS14aa(t )MSa ( t )f

53、(, , , ) dSd1t u( x, y, z, t ) 4aa(t )0MSa ( t )f (, , , t r )1at2 adSdr4a1r0MSrf (, , , t r )2 r atadV4ar9返回下页上页3、球平均法三维波动方程Cauchy问题： 2u2au, t 2(4.14)uu x, 0( x,(,y)z,y,z).t 0t t 2 2 2其中x2 y22z10返回下页上页特殊情形：当初始资料只是 r的函数时，即r( r()其,中r2xu2y 2),z ( ur, t)猜想：问题(4.14)的能有形式：x2x 2xruu此时uurrrrur，u xxxr 2y 2r

54、 3r2yuu同理，u yyurr rrr 2z 2r 3ru2zuu zzurr rrr 2r 3r 2u2 u ur rr211返回下页上页代入(4.14)知，u(r,t)应满足： 2u2 2u2 u , r ( a0, t0) t2 r(2rr (4.15)u(r,u( ,r0)0( 0r),r),r()tv设 ru, 则应v是如下一端固定的半弦的振动问题的解： 2v 2v2r ( , t a,00)t 2r2v(rr , 0)0), t )r(r( r ), 0 )v ( ,v(012 r),( t(rt0)0返回下页上页一般情形：用球平均法求解。,3来x) 记坐标注：为公式写起来方便

55、，(x,y ,z)，从 2而相应的拉斯算 子 2 2 233 h可写为hh2hihix2 y22 1xiz 1ii13返回下页上页)23则 ，)Rh在以(定义h：设C()33为心，以r 为半径的球面Sr 上的平均值1 hd M() rhr4 2rSr称为 h 其中 ，的球平均函数dr 表示球面S r 上的面积微元。14返回下页上页12) dM()rh( y,y,yh1r23r4ry| x | h1r2x ( xdz, xz ,) z112233r4 |z | rh 1 x ( r, xrx r)d ,1122334| 115返回下页上页)23 则其)R 球平均，引理 1hC(4.33(Cr )

56、3,R )方程0 ，且满足, r)2M函3 2217) M2h,M(1,r2 rr与初始条件Mh 0 4.18)(h(Mhr1 0rr0证明：（略）16返回下页上页设u(x1, x2, x3, t) 是Cauchy问题(4.14)的解，对它关于x1, x2, x3作球平均函数Mu(,r3 t ,)(4.24)d1ux( 14r,x2rx3 ,r 32,)t1| 117返回下页上页引理 24u.设(题)问是(4.14)的解，则由24)4.(定义的Mu(t , 作)为 r,t 的函3方程满足数，2 2 2 M2Maut 20 (254.)rur 2r件M始条与初utM 0(),r(. 4)26Mu

57、(M)r.(4.2)73tt 018返回下页上页Mu(,r3 t ,)证明：Qu1 x (r,xrx ,r )d,t1122334| 1 2 Mu(,r)tt2 21u x 2( 14r,x2rx3 ,r 3)d2,t1|1 t1 u4 a 2x(rx r,x , r )d ,t112233| 1a1 ux(2| 1xrx, r )dr,t1122334 M2 (a,)rt19u返回下页上页由引理4.1中的(4.17)知： 22 , r) t u(u(从而(4.25)成立。MM,r)tr r r2u1x (r,x rx r, )dM,0ut112233 04| 11 x( r , r) dMx

58、r,x1122334| 1uMu1x (r,x rx r, )d,0t112233t4 0t| 11 x ( r , r) dMxr,x1122334| 120从而(4.26)、(4.27)成立。返回下页上页 2uu,2a t 2(4.14)uu x, 0( x,(,y)z,y,z).t 0tt 2 M2 22 a M0u(4.)25ur rt 2 r 21M(M,r 4( 26.)ut 0Mu tM (,).r4( 27.)t 021返回下页上页rMu,1r ,2t ,)(,作)r,为 tv,31的函数满足： 2v 2v 2a0t 2r 2vrMvv()r( t 01 r0M)rt t10

59、0r 这是一端固定的半弦的振动问题，由P12公式(2.28) 的第二式，当r充分小时，有：22返回下页上页v( x, r, t ) 1(at r )M( x,at r )21at rM(at r )M( x,at r ) ( x,)d2aat rM 1 v 1 (at r )M( x, r at )ur2r1at rM(at r )M( x,at r ) ( x,)d2arat ru limM tM(x, at) tM(x, at)utr 023返回下页上页设 C 3 , C 2 ，那么三维波动方程的定理4.1Cauchy 问题 2u 2 au , t 2(4.14)uu ( x, y, z)

60、, ( x, y, z).t 0tt 0存在唯一解(4.30)其中S M 表示以点M ( x, y, z) 为球心、at 为半径的球at面，dS 为球面的面积微元。(4.30)称为泊松公式。24返回下页上页u( x, y, z, t ) 1 dS 1 dSt 4a 2t 4a 2t S MS Matat5波的与衰减依赖区间,决定区域和影响区域(Hygens)原理、波的弥散波动方程解的衰减2010-11-291.依赖区间,决定区域和影响区域问题的解，由泊松公式(4.40) 二维波动方程的u( x0 , y0 , t0 ) ( x, y)1dxdy2 a ( x x0 ) ( y y )220 (