普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(二)及答案

1、普通高等学校招生全国统一考试仿真卷（二）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 TOC o 1-5 h z .设i为虚数单位，则下列命题成立的是（）A. Va wR,复数a-3-i是纯虚数B .在复平面内i（2-i ）对应的点位于第三象限C.若复数z = -1-2i ,则存在复数zi,使得z 2小R D . x三R,方程x2+ix=0无解.在下列函数中，最小值为2的是（）,2 1c,A. y=x+ B . y =sinx +（0 x 满足：3a7 = 5&3,22. 2. 22. 2cos a4 -cos a4sin a7 +s

2、in a4cos a7 -sin a4 =-cos(a5 +% ), 公差 d= (-2,0),贝数歹UanJq前n项和Sn的最大值为()A. 100n B . 54nC . 77nD . 300nr |log2 x|,0 x 212.已知函数f (x )= fn ),若存在实数Xi ,加，必，M ,满足Xi X2 X3 X4 ,sin x ,2x0,b0)的离心率为3,焦点到渐近线的距离为 J2,则此双曲 a b.已知实数x2x 一 y _ 0 x 2y-5 _ 0y-i2 x y 贝U u-xy的取值范围为.已知在等腰梯形ABCD中，AB/ CDAB =2 CD =4 , /ABC = 6

3、0白焦点，且与线段AD,BC (包含端点DC)分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等差数列麓的前n(nw N*)项和为s,数列母是等比数列，4 = 3 , b = 1, b2 + S2 = 10 , a5 -2b2 = a3 -(1)求数列Ln)和仙的通项公式；2 n为奇数.(2)若Cn =Sn,设数列g的前n项和为Tn,求T2n.bn n为偶数18. 2018年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省 雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，

4、北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了 “是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数（x）1020304050607080愿意整体搬迁人数（y ）817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y = bx+a （b保 留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁 至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院参考公式及数据:n、x yi - n x y g=iK , 2 2之 x -n xi 1

5、长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记 X为考察团中愿意将学校整 体搬迁至雄安新区的院长人数，求 X的分布列及数学期望.88a = y-t? x , xiyi =16310, Z xi2 = 20400.yi=119.如图，在直三棱柱ABC-ABCi中，E、F分别为AG、BC的中点，AB = BC = 2 , CF _L AB(1)求证：平面 ABE，平面B1BCC1;(2)若直线GF和平面ACCiA所成角的正弓S值等于 叵,求二面角A-BE-C的平面角的正10弦化2220.已知椭圆C:x2+乡=1(aAb0)的离心率为 a b13工，且椭圆C过点11-3 I,直线1过椭圆C

6、的2I 2)右焦点F且与椭圆C交于MN两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(4,0),求证：若圆C:x2+y2=r2(r 0)与直线PM相切，则圆C与直线PN也相切.21.已知函数 f (x )=ax2axxln x ,且 f(x)之 0.(1)求 a;(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点xo,且eT2 V f(x)2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.选修4-4 :坐标系与参数方程x = t在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，mw R),以原点。为极点,y = m tx轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程

7、为P2=3-(00 n).3 - 2cos 1(1)写出曲线Ci的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线G的最小距离为2，2,求m的化23.选修4-5 :不等式选讲1已知函数f x = 3x -a (a R R ).(1)当a =2时，解不等式1,x-1 +f (x 户 1;3(2)设不等式f (x)Mx的解集为M ,若JEM ,求实数a的取值范围._3 2普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学第I卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题 是符合题目要求的。.设i为虚数单位，则下列命题成立的是(A. Va w R ,复数a - 3 - i是纯虚数BC

8、.若复数z = -1-2i ,则存在复数乙，使得【答案】C【解析】当a =3时，复数a-3-i是纯虚数;5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项).在复平面内i(2-i)对应的点位于第三象限ZZw RD . xw R ,方程 X2+ix =0 无解i(2-i)=2i + 1,对应的点位于第一象限；若复数z = -1-2i,则存在复数Z1=-1+2i,使彳#zz# R; x = 0,方程x2 +ix = 0成立.因此C正确.在下列函数中，最小值为2的是()1二、cy =sinx +(0 x 2,等号成立时Jx2+2=1 ,在实数范围内无法满足；由基本不等式知D选项正确.从某校高三年级随机抽取一个

9、班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校 A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中 能报A专业的人数为() TOC o 1-5 h z A. 30 B .25 C . 22D.20【答案】D【解析】50M(1.00+0.75 + 0.25/0.2 = 20,故选 D.已知曲线y=x4+ax2+1在点(，f处切线的斜率为8,则f (-1 )=()A. 7 B .4C.7D. 4【答案】B【解析】Ty=4x3+2ax,二-4-2a=8,.a = -6,f (-1 )=1+a + 1 = -4 ,故选 B.5.已知a|=1, b= V2,且

10、a_L(a-b),则向量a在b方向上的投影为()A. 1B. f2C . D .22【答案】D【解析】设 a与 b 的夹角为 6, *a l(a-b),.a_L(ab)=a2 -a b= 0 , a2 - a b cos 8=0,聂 a -、，”近，cos =,向重 a在b方向上的投影为 a cos = 22故选D.6.某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（4 rA. 13【答案】【解析】根据题意得到原图是半个圆锥和半个圆柱构成的图形，圆锥的地面半径为2,圆柱底面半径为2,故得到圆锥的体积为,半个圆柱的体积为

11、4启1父二2=2冗，该几何体上部分与下部分的体积之比为3 .故答案为：C.7.已知函数f （x户sin（cox十中）（s 0）的图象的一个对称中心为-|,0且f =I4 J2”最小值为（A. 23【答案】【解析】当x=H时,2x 二二k1 二2两式相减，得n门、冗一切=(k1 2k24 tf 6或(k1 2k2产门门.2即的=4出-2k2 )3或4(匕-2k2 )号，k1 , k2 亡 Z ,又因为切0,所以的最小值为当x=4时，4 一” .故选A二 5 二6(ox + 邛=cc +邛= 2k2n+Z或 2k2 46，k1,k2e Z,，k2e Z,解法2:直接令+邛=冗2ji-co45 二+

12、 cp =6-.故选A.3.九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也 日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？ ”，可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d的值为33,则输出的i的值为（）A. 4B.5C .6【答案】C1【解析】i=0, S=0, x = 1, y=1,开始执行程序框图，i=1, S = 1+1, x = 2, y=，i=1,2C1,1S=1+2+1+ x=4, y =一， 24c1111,i=5, S = (1+2+4+8+16)，1+_+_+ 2 4 8 161 x=32, y ,再执行一行，sd退出循环，输出i

13、=6,故选C.32A B.在AABC中，tanA=sinC ,若AB = 2 ,则ABC周长的取值范围是()2A. (2,272 I B . (2/2,4l C .(4,2+2V2l D . (2+2661 【答案】CC【解析】由题意可得: TOC o 1-5 h z .A B .二 Ccos? c . CCtan = tan - - =太=2sin cos HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 22 2加。222则：sin2X 即：号= 2,，cosC=0,C 啧据此可得 ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则:c c224 =a2 b2 =

14、a b -2ab - a b -2据此有：a +b 2, ,a+b+c4综上可得：4ABC周长的取值范围是（4,2+2721.本题选择C选项.一个三棱锥 A-BCD 内接于球。，且 AD =BC=3, AC = BD = 4, AB = CD=J13,则球心O到平面ABC的距离是（）【答案】D【解析】由题意可得三棱锥A-BCD的三对对棱分别相等， 所以可将三棱锥补成一个长方体 AEDF -GCHB ,如图所示,该长方体的外接球就是三棱锥 A - BCD的外接球O ,长方体AEDF -GCHB共顶点的三条面对角线的长分别为3, 4,而,2一 2 一设球 O 的半径为 R , WJ有（2R） =3

15、2 +42 +（尺）=19= 4R2 =19,32 +42 （而 j 1 TOC o 1-5 h z 在 AABC 中，由余弦定理得 cos/ACB =一,2 3 42再由正弦定理得 一AB=2r （r为4ABC外接圆的半径），则r =率， sin ACB3因此球心O到平面ABC的距离d = Jr2 r2 =叵,故选D.6.设等差数列 Q满足：3a7 = 543,222222cos a4 -cos a4sin ay +sin a4cos a? -sin a4=-cos(a5 +% ),公差 d= (-2,0),则数列 taj 的前n项和Sn的最大值为()A. 100nB . 54冗 C . 7

16、7nD . 300n【答案】C【解析】由 3a7 =5a3,得 3(& +6d ) = 5(ai + 12d ),解得 a1 = 21d, TOC o 1-5 h z 222222cos a4一cos a4Sin a? sin a4 cos 由 一sin a4=22.2.2,.cos a4 cos & -sin a4 sin a7 - cosa4 cosa7 -sina4 sina7)cosa4cosa7 sina4sina7 = cos(a4+a7 )cos(a4a7 )=-cos(a5+a6 ),又 a4+氏=as+a6,二 cos(a4a7 )=-1,故ai =7n ,由a4 -ay =

17、 -3d =兀+ 2kn , d =“十2k. 又公差 d w(-2,0 % 二 d =, 33Ji二7 二 n 1 -0,得nM22,故S22或S21最大，最大值为=77n ,故选 C.c22 21 二S22 =22 7二23r |iog2 x|,o x2.已知函数f (x )= fn 、,若存在实数x1 , & , x3 ,4，满足x1 x2 x3 X4 ,sin -x ,2 x 104且 f a)= fa)=f a 户 f(x,),x3 -2x4 -2的取值范围是（x/A. (0,12) B . (0,16) C . (9,21).15,25【答案】A【解析】函数的图象如图所示,f (x

18、1)= f(x2 -log2x1=log2x2, . log2x1x2= 0 ,x/ =1,f a )= f 区)， . x3 +x4 =12 , 2x3x410,x3 -2 x4 -2二乂34-2 x3 x44 =乂3乂4 -202 x3 4 , 8 x4 0)的离心率为3,焦点到渐近线的距离为 J2,则此双曲 a b线的焦距等于【解析】焦点F (c,0 )到准线bx+ay = 0的距离:bc 0a2 b2bc = bc由题意结合双曲线的性质有:则此双曲线的焦距为:.已知实数xb=我e = C =3a222c = a b3 2c = 2 父一=3 .22x-y - 0 x 2y-50y-1,

19、求解方程组可得:2x yu =xy1a = 一2 ，b =。23c =一2的取值范围为【答案】4,1；【解析】作出可行域如图所示:令1=表示可行域内的点(x,y)到原点的斜率，由图联立直线可得A(1,2), C(3,1),222x y x 2xy y u =xyxyx TOC o 1-5 h z xy1c1 一.16.t=一时，u = , t=1 时 u = 4 t=2 332=t+ +2yxt易知u =t +1 +2在!i-,1 单调递减，在1,2单调递增. t I 13时，u=9,所以 u6|4,16l .故答案为：.4,16: 2_ 3_ 3.已知在等腰梯形 ABCD中，AB/ CD,

20、AB =2 CD =4, NABC=60 双曲线以A , B为焦点，且与线段AD , BC (包含端点D, C)分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是.【答案】1, .3 1【解析】以线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线 c = 2, 0(1,73),设双22(包括在图像上)即可，也即曲线方程为 与=1,只需C点在双曲线右支图像的上方 a b口-乌E1,两边乘以a2b2Wb2-3a2a2b2,由于b2 = c2-a2 = 4 a2 ,所以上式化为a2 b2,22.2,24 -a -3a Ma (4a ),解得 V3 -1 - a 2,1 0)的离心率为 a b1直线i过

21、椭圆c的 22右焦点F且与椭圆C交于M , N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(4,0),求证：若圆C:x2+y2=r2(r 0)与直线PM相切，则圆C与直线PN也相切.22【答案】(1) 七十上=1; (2)证明见解析.43a 一 22,22a = b c 7 分N(x2, y2 ),y =k x -1由 22i xy1,43【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c (c0),依题意, TOC o 1-5 h z 191a2 4b222解得a =2, b =掷，c=1,故椭圆C的标准方程为上 +与=1；43(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x = 1,M N两点关于x

22、轴对称，点P (4, 0)在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PMt直线PN的距离相等，故若圆建：x2+y2 =r2(r 0方直线PMK切，则也会与直线PN相切;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = k(x-1), M(x1,必)得：(3 十4k2 )x2 8k2x+4k2 12 =0 TOC o 1-5 h z 一8k2所以 “ 乂2 =23 4k24k2 -12，x1 -4 x2 -4所以，/MPO=/NPO,于是点O到直线PM与直线白距离PN相等， 故若圆建：x2+y2 =r2(r 0为直线PMf目切，则也会与直线PN相切;综上所述，若圆建：x2+y2 =

23、r2 (r 0 )与直线PM相切,则圆建与直线PN也相切.12分 21.已知函数 f (x )=ax2axxln x ,且 f (x )至0 .2 123 4k2y1k x1 -1y 2k x2 -1kPM 一 ，一 ， kPN 一 ，一 ， TOC o 1-5 h z x1-4x1-4x2 -4x2 -4k x1-1kx2-1k |_2x1x2-5 x1x28kPMkPN ,x1 一 4x2 - 4x1 - 4 x2 - 4/_ 2 _ 28k2 -2440k2、3+4k23+4k2(1)求 a;(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点xo,且eT2 V f (x)0),1 TOC o 1

24、-5 h z 则 f(x)0 等价于 h(x) =ax a In x0 ,求导可知 h(x)=a.1分x则当a00时，h(x)1 时，h(x0) 0.3 分因为当 0 x1 时，h(x) 1 时，h(x)A0,所以 h(x)min = hd), aaa1. 一.又因为 h(1) =a -a -ln1 =0 ,所以=1 ,解得 a=1；5 分a(2)证明：由(1)可知 f (x) =x2 -x-xln x , f(x) =2x 2 ln x ,1令 f(x)=0,可得 2x2lnx=0,记 t(x)=2x2Inx ,则 t(x)=2，x令 t(x)=0 ,解得：x=-,所以t(x)在区间(0,1

25、)上单调递减，在(，)上单调递增， TOC o 1-5 h z 221所以 t(x)min =t(2) =ln 2 -1 0 ,从而 t(x)=0 有解，即 f (x)=0 存在两根 x。，乂2,且不妨设f(x)在(0, x)上为正、在(xO,x2)上为负、在(为,1)上为正，所以f (x)必存在唯一极大值点x0,且2凡-2 Tn x0 =0 ,8分所以 f (%) =x2 -x0 -xln x 0=x2 -xd +2x0 -2x2=x0 -x2 ,r .12、由 x0一可知 f (%) (x x)max = 2. 1-11由 f (一)父0 可知 一一，1 ，、一、，(x。,一)上单调递减, eee 2所以f (x)在(0, x0)上单调递增，在.一11所以 f (x0) f(-)=; e e12分综上所述，