3.1.2空间向量的数乘运算 (3)

1、空间向量的数乘运算共线向量与共面向量回 顾aOBb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。ba回 顾空间向量数乘运算1）实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量 当 时， 当 时， 与向量 方向相同 与向量 方向相同 是零向量 当 时，（1）方向：（2）大小： 的长度是 的长度的 倍问题2：平面向量中，的充要条件是：存在唯一的实数 ，使能否推广到空间向量中呢？问题1：若则所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共

2、线向量(或平行向量),记作由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数， 使性质判定如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，a对空间任意一点O,所以即 若在l上取 则有和都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定。由此可判断空间任意三点共线。 alABPO若点P是直线l上任意一点，则 由 知存在唯一的t, 满足因为 所以 特别的，当t= 时，则有aABPO进一步，t1-tP点为A,B 的中点练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中

3、点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线A、B、P三点共线AOABP二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？C2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线， 则向量 与

4、向量 ， 共面的充要条件是存在实数对x,y使推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使C对空间任一点O,有填空：1-x-yxyC 式称为空间平面ABC的向量参数方程，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。由此可判断空间任意四点共面练习2：若对任一点O和不共线的三点A、B、C，且有 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（ ）A、必要不充分条件C、充要条件B、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件CP与A,B,C共面解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外

5、的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？ 共线向量 共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共线，或直线平行于平面小结共面回 顾aOBb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。ba回 顾空间向量数乘运算1）实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量 当 时， 当 时， 与向量 方向相同 与向量 方向相同 是零向量 当 时，（1）方向：（2）大小： 的长度是 的长度的 倍问题2：平面向量中，的充要条件

6、是：存在唯一的实数 ，使能否推广到空间向量中呢？问题1：若则所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数， 使性质判定如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，a对空间任意一点O,所以即 若在l上取 则有和都称为空间直线的向量参数方程，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定。由此可判断空间任意三点共线。 alABPO若点P是直线l上任意一点，则 由 知存在唯

7、一的t, 满足因为 所以 特别的，当t= 时，则有aABPO进一步，t1-tP点为A,B 的中点练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线A、B、P三点共线AOABP二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平

8、面 ，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？C2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线， 则向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在实数对x,y使推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使C对空间任一点O,有填空：1-x-yxyC 式称为空间平面ABC的向量参数方程，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定。由此可判断空间任意四点共面练习2：若对任一点O和不共线的三点A、B、C，且有 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（ ）A、必要不充分条件C、充要条件B、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件CP与A,B,C共面解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得例1.已知A