第一章-习题课4课件3

1、1.写出随机试验的样本空间以及事件的样本点集合（3）甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。解： 表示白， 表示黑白， 表示黑黑白，则样本空间 ，且 ， ， 甲取得白球的概率为乙取得白球的概率为 课 堂 练 习写出下列各个试验的样本空间1 掷一枚均匀硬币，观察正面（H）反 面（T）出现的情况；2.将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现 的情况；3.某袋子中装有 5 个球，其中 3 个红球，编号A、B、C，有 2 个黄球，编号D、F，现从中任取一个球，观察颜色。若是观察编号呢？4.袋中有编号为 1，2，3

2、，n 的球,从 中任取一个，观察球的号码；5.从自然数 1，2，3，N（N 3）中 接连随意取三个 , 每取一个还原后再 取 下一个。若是不还原呢？若是一次就取 三个呢？6.接连进行n次射击,记录命中次数.若是记 录n次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次 数。10.任取一个正整数，求下列事件的概率（3）该数立方的最后两位数都是1解:设正整数百位及以上的形式为A十位个位形式为B，则这个正整数的值=100A + B, 其立方 = (100A + B) = 1000000A + 3*10000A*B + 3*100A*B + B = 100(10000A + 300AB +

3、 300AB ) + B 显然上式前半部分完全不影响立方的最后两位数。即求正整数B（B0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19课堂练习A与B对立A与B互斥课堂练习1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B).2.P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB)3.P(A) =P(B) = P(C) =1/4 P(AB)=0P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。4.A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以P(A-B

4、)=P(A)-(AB)=0.3(2)P( -AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以,P(B)=1-P(A)=1-p等可能概型（古典概型）一、古典概型的定义设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即 ;2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间 中样本点总数，则有P(A)具有如下性

5、质：(1) 0 P(A) 1；(2) P(S)1； P( )=0；(3) AB，则P( AB )P(A)P(B)。古典概型中的概率乘法公式设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念加法公式设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk

6、=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组 合 从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.二、古典概型的基本类型举例古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。1、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是某箱中装有m+n个球，其中m个白

7、球， n个黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率； 解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？所以，事件A发生的概率为(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为 设事件B：“第k+1个取出的球是白球”， 由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作

8、为第k+1个球，一共有 其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为种保留下来的取法，事件B所包含的基本事件总数为所以最后所取的球是白球的概率为注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为 2、分球入盒问题解 设A：每盒恰有一球，B：空一盒例1.10 将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率： A

9、=某指定的一个盒子中没有球B=某指定的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此 事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此 事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn 在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为事件D：指定的盒子中，恰好有

10、m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入N 个盒子中（k=N）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有球；（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( mm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：4. 随机取数问题例1.13 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概

11、率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。解 N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分别为：33/200,1/8,1/25例 在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A取到的数能被2整除; 取到的数能被3整除故1.17某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概

12、率为多大？解：用A表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以1.14在线段AB上任取三点 ，求：(2) 能构成一个三角形的概率。不妨设ab的长度为1.，这样设纯粹是为了计算方便，并不影响最终结果。 构造一个边长为1的正方体，如图所示。 我们令x1在ab1上滑动，x2在ab2上滑动，x3在ab3上滑动，这样 点(x1,x2,x3)或者称之为向量也可以，就将均匀弥散在整个正方体内，整个正方体里的每一个点与每一组(x1,x2,x3)一一对应。 不妨设x1,x2ax3 我们在正方体内寻找ax1+ax2=ax3的平面。这可以通过特殊值法寻找，因为在三维立体内，上面这个一次等式就是表示一个平面。所以，该片面必

13、然过(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1)这三个点。这样，就可以确定这个面是图中所示的afc平面。也就是说，afc把立方体分成了两块，左上角那块是ax1+ax2ax3的。 同理，当ax1和ax2最大时，又找到了另外两个平面： ace和afe，这样三个三角形把立方体分成了四大块，左上角、右下角、后面的左下角这三个三棱锥是不能构成三角形的，剩下的一大块，像一个有棱的喇叭一样的部分，是可以构成三角形的。 如此以来，只要计算三个三棱锥的体积和V，最后的结果就是1-V 对于一个三棱锥来说，底面积是1/2，高是1，因此其体积为1/6 三个的体积就是1/2. 1.21 某班有n个学生参加口试，考签共

14、N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解：用 表示“第i张考签没有被抽到”， 。 要求 1.23 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解：用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。令A表示“有女孩”,B 表示“有男孩”，则 1.29 袋子中有1个黑球和n-1个白球，每次从中随机摸出一球，并放入白球，连续进行，问第k次摸到白球的概率是多？解：考虑对立事件假设第k次摸到的是黑球,那么前k-1次必须摸的是白球，否则黑球就被换掉。前k-1次摸的是白球，第

15、k次摸的是黑球的概率为 (1/n)*(1-1/n)(k-1)所以第k次摸球摸到黑球的概率1-(1/n)*(1-1/n)(k-1)课堂练习一电梯上升时载有5名乘客，且这5人等可能的在8层楼的任何一层出电梯，求（1）每层至多一人离开的概率；（2）至少有两人在同一层离开的概率；（3）仅有一层有两人离开的概率 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6 则事件A，B，C 全不发生的概率为 .通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题） 将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成三组. 求(1

16、) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率；(2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率解（1）（2）把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率解 设 A 为所求的事件设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4则由广义加法公式设问：(1)什么条件下， 可以取得最大值，最大值是多少？(2) 什么条件下可以取得最小值，其值是多少？某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟几何概型 (等可能概型的推广)几何概型

17、 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y P(B)0， 则下列选项必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B) P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( -B)|A)=0.4,则 P(B)=( ).2、乘法公式对于两个事件A与B， 若P

18、(A)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)0, 则有 P(AB)=P(B)P(A|B), 若P(A)0,P(B)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 推广情形对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,An ,若 P ( A1A2An-1 ) 0，则 有 P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1) 特别：对事件A，B，C，若P（AB）0，则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A| ）=0.

19、3，P（B2| ）=0.4，所以，P（A）=P（ A）=P（ ）P（A| ）=0.80.3=0.24，假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。解：设A=甲机被击落，B=乙机被击落，B1=乙第一次被击落， B2=乙机第二次被击落，由题意得：B1.B2互斥， P（B2）=P（ B2）= P（ ）P（ | ）P（B2| ）=0.80.70.4=0.224P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424二、全概率公式和Bayes公

20、式1、全概率公式 A1,A2,An是两两互斥的正概率事件， 且事件 A1+A2+An= , 则 对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)注意：（1）全概率公式中的事件组是完备事件组；（2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组；（3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。例 设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？解：设A=第一次取得不合格品，B=第二次取得不 合格品，事件A和A的对立 事件构成完备事件组，由全概率公式得： =（4/10）（3/9

21、）+（6/10）（4/9）= 6/15例 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲 厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品 率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得:=0.025分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的

22、Bayes公式. 设正概率事件A1，A2,.,An构成完备事件组 ,对于任何一个正概率事件B，有注意:1. A1,A2,.,An可以看作是导致事件B发生的原因;2. P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原因Aj发生的概率,称为 “后验概率”;Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;3. P(Aj)对应可以称为“先验概率”.2、贝叶斯（Bayes）公式P ( Aj| B )= P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（B）例 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为: 甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率 为2%,2%

23、,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:=0.4事件的独立性定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。推论1 A、B为两个事件，若P(A)0, 则 A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 推论2 在 A 与 B， 与 B，A 与

24、， 与 这四对 事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。说明： 推论3提供了一种判断两事件独立性的直观方法， 即对于两事件， 若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。推论3 设0P(A)1,0P(B)1 则下面四个等式 等价， P(B|A)=P(B)， P(B| )=P(B) P(A|B)=P(A)， P(A| )=P(A)推广1（n个事件的相互独立性）:设有n个事件A1,A2,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它事件的影响,则称这n个事件相互独立.性质:若n个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不一定成立。 它们中

25、的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的。推广2 设A1，A2，An为随机事件序列，若它们中的任何有限个事件都是相互独立的， 则称该随机事件序列是相互独立的。注意：1. 对 于 有 放 回 抽 样，各 次 抽 取 是 相 互 独 立 的 。 2. 区 别 互 斥 事 件 （ 互 不 相 容 事 件）、对 立 事 件 、 独 立 事 件 。 3. 当 A 、B 独 立 时 , 计 算 P(AB)， P(A+ B)，P(A-B). P(A1+A2+An) P(C) = P(A1A2An)当 A1 A2 An 独 立 时当 A1 A2 An 不独立时当A1 A2 An互斥时当A1 A2 An独立时一 般 情 形P(AB)=P(A)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B);P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)(有限可加性)(广义加法)(乘法法则)例 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?解: 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)= =1-0.168=0.832例甲、乙两人独立地对同