第七课时线性规划（二）

1、- PAGE 3 -第七课时 线性规划（二）教学目标：使学生能够应用简单的线性规划解决生产实际中资源配置和降低资源消耗等问题，培养学生建立数学模型的能力。教学重点、难点：数学模型的建立。教学过程：例1：某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t，已知生产甲产品1t需煤9t，电力4kw，劳动力3个（按工作日计算）；生产乙产品l t需煤4t，电力5kw，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200 kw，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能既保证完成生产任务，又能为国家创造最多的财富。分析：先设出每天生产甲

2、、乙两种产品的产量分别为x t和y t，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。解：设每天生产甲产品x t，乙产品y t，总产量S t，依题意约束条件为： eq blc(aal(9x4y300,4x5y200,3x10y300,x15,y15) 目标函数为 S7x12y 约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边界上的点（如图阴影部分） 现在就要在可行域上找出使S7x12y取最大值的点（x，y）。作直线S7x12y，随着S取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为 eq f(S,12) ，可以看出，直线的纵截距越大，S值也越大。 从图中可以看出，当直线S7x12y经过点A

3、时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值。 解方程组 eq blc(aal(4x5y2000,3x10y3000) 得A（20，24），故当x20，y24时， Smax7201224428（万元） 答：每天生产甲产品20 t，乙产品24 t，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元。评析：解决简单线性规划应用题的关键是：（1）找出线性约束条件和目标函数；（2）准确画出可行域；（3）利用S的几何意义，求出最优解。例2：一位农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400 kg；若种花生，则每亩每期产量为100 kg，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且

4、花生每 kg可卖5元，稻米每kg只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？分析：最优种值安排问题就是求非负变量x、y满足条件xy2和240 x80y400时，利润P达到最大。解：如图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得 eq blc(aal(xy2,240 x80y400,x0,y0) 而利润P（3400240）x（510080）y960 x420y（目标函数）可联立 eq blc(aal(xy = 2,240 x80y = 400) 得交点P（1.5，0.5）故当x1.5，y0.5时，Pmax9601.54200.51650即水稻种1.5亩，花

5、生种0.5亩时所得到利润最大。例3：要将两种大小不同的钢板截成、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型钢板类型规格规格规格第一种钢板第二种钢板今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则 eq blc(aal(2xy15,x2y18,x3y27,x0,y0) 作出可行域（如右图）：（阴影部分）目标函数为zxy作出一组平行直线xyt，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x3y27和直线2xy15的交点A（ eq f(18,5)

6、 ， eq f(39,5) ），直线方程为xy eq f(57,5) .由于 eq f(18,5) 和 eq f(39,5) 都不是整数，而最优解（x，y）中，x，y必须都是整数，可行域内点（ eq f(18,5) ， eq f(39,5) ）不是最优解.经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，经过的整点是B(3，9)和C(4，8)，它们都是最优解.答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.说明：在例3中，线性规划问题的最优解（ eq f(18,5) ， eq f(39,5) ）不是实际问题的最优解，应使学生注意到具有实际意义的x，y应满足x