双曲线和抛物线复习(共28页)

1、双曲线和抛物线复习(fx)【典型(dinxng)例题】【双曲线A】例1. 已知圆C方程(fngchng)为，定点A（3，0），求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程。解析：圆P与圆C外切，|PC|PA|2，即|PC|PA|2，由双曲线定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中，故所求轨迹方程为点评：在利用双曲线第一定义解题时，要特别注意对定义中“绝对值”的理解，以避免解题时出现片面性。当P满足时，点P的轨迹是双曲线的一支；当时，点P的轨迹是双曲线的另一支，当时，点P的轨迹是两条射线。不可能大于。例2. 如图，以和为焦点的椭圆的离心率，它与抛物线交于两点，以为两渐近线

2、的双曲线上的动点P（x，y）到一定点Q（2，0）的距离的最小值为1，求此双曲线方程。解析：由条件知，椭圆中则椭圆方程为。解方程组得两点的坐标分别为（3，2），（3，2）。所求双曲线的渐近线方程(fngchng)为又Q（2，0）到的距离(jl)为所以(suy)双曲线的实轴只能在x轴上。设所求双曲线方程为，则，方程化为，得P（x，y）在双曲线上，当，即时，当时，解得所求双曲线方程为当，即时，当时，解得或（舍去），所求双曲线方程为综上，所求双曲线方程为或点评：待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一。（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为；（2）若双曲线的渐近线方程(fngchng)是，则双曲

3、线的方程(fngchng)可表示为；（3）与双曲线共焦点的双曲线方程(fngchng)可表示为； （4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为；（5）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为1利用上述结论求关于曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度。例3. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。解析：（1），可设双曲线方程为过点，即，双曲线方程为（2）由（1）可知，双曲线中，点（3，m）在双曲线上，故（3）的底，的高点评：双曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量，如“a，b，c，e”等，树立基本

4、量思想对于确定曲线方程和认识其几何性质有很大帮助另外，渐近线是双曲线特有的，双曲线的渐近线方程可记为.同时以为渐近线的双曲线方程可设为（）。特别(tbi)地，等轴双曲线方程可设为（）。另外(ln wi)，类似于“MF1 MF2”的垂直关系的证明可以(ky)通过 k1k21，来证明，也可以通过来证明，它体现了证明解析几何问题方法的多样性【双曲线B】例1 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点F1、F2，若两曲线在第一象限内的交点为P，求证：的面积。证：由 ，且（其中）设周长的一半为m，则则故 另法，例2 求以F1（），F2（3，0）为焦点，并与直线有公共点且实轴最长的双曲线的方程。解：先求F2（3，0）

5、关于(guny)直线的对称点由又，则故所求双曲线方程(fngchng)为例3 已知A（3，2），M是双曲线H：上的动点，F2是H的右焦点(jiodin)，求的最小值及此时M的坐标。解：由，则 此时M的坐标（）例4 已知双曲线C：，一条(y tio)长为8的弦AB两端(lin dun)在C上运动(yndng)，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为 。解：又，则当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”又由即故M（）例5 双曲线中心在原点，一个焦点为F（），直线与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为，则此双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 解法1：设H：（）联立中点条件(tiojin)是再

6、由焦点(jiodin)条件解出解法(ji f)2：由MN中点在直线上，则中点纵坐标由故H：，选D。例6 已知A、B是双曲线右支上两点（1）若AB过右焦点F2，且，求的周长（F1为左焦点）；（2）若弦AB的中点到y轴的距离为4，求的最大值。解：（1）因A、B在双曲线右支上，故由双曲线定义可知，两式相加得由，即故，所以即的周长为（2）由题设，双曲线中，设A（），B（），则A，B到右焦点的距离(jl)分别为 由弦中点(zhn din)到y轴距离(jl)为4，即，则=8故，故最大值为8，此时AB过焦点F2例7 过点P（1，1）作双曲线的弦AB，使AB的中点恰与P点重合，这样的弦AB是否存在并说明理由。

7、解：设AB：代入双曲线方程并整理得（*）若，不合题意，若，由，得若P是AB的中点，即得（舍去）此时(c sh)，代入（*）当不存在(cnzi)时，直线与双曲线只有一个(y )公共点因此这样的弦AB不存在另法：设A（），B（），由A、B在双曲线上两式相减得，其中，得以下同解法1例8 双曲线的中心在坐标原点O，焦点在X轴上，过双曲线的右焦点，且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OPOQ，求双曲线的方程。解：设双：，直线PQ方程为由，消去得设P（），Q（）若，故，则直线PQ与双曲线渐近线平行，与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，故故由于P、Q在直线上可记为P（），Q（）由OPOQ，则整理得将（*）

8、代入，又由，并整理(zhngl)得即由，则由，得2整理(zhngl)得将（*）式代入，又代入，解得，从而(cng r)，故双曲线方程例9 若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足（）（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过N（2，），求双曲线方程；（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边行又（）OP平分故PF1OM为菱形又由，（），则，故（由）由（舍）（2）由，设双曲线方程(fngchng)其过点N（2，），则故所求双

9、曲线方程(fngchng)为（3）依题意(t y)得B1（0，3），B2（0，）由，则共线不妨设直线AB：，A（），B（）由由的渐近线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，则，又，则即，故所以所求直线AB的方程为：或例10 求经过(jnggu)定点M（），以y轴为左准线(zhn xin)，离心率为2的双曲线右顶点(dngdin)的轨迹方程。 解：设双曲线的右顶点为P（x，y），左焦点为F（）双曲线对称轴设双曲线的半实轴，半焦距分别为，则离心率由双曲线的性质，得又由代入得（*）由焦点F与准线y轴的距离为故代入（*）得，即由双曲线的定义，有，即即又由代入得即右顶点M的轨迹方程为例11 已知

10、抛物线的焦点为F，准线为，是否存在双曲线，同时满足下列条件： 双曲线c的一个焦点为F，相应于F的准线为； 双曲线c截与直线垂直的直线所得的弦长为，并且该线段的中点恰好在直线上，若存在，求出这个双曲线c的方程；若不存在，说明理由。解法(ji f)1：如图，设符合条件的双曲线c存在(cnzi)，则其右焦点F（0，0），右准线(zhn xin)为，设离心率为e，点P（x，y）为双曲线上任意一点，则由整理，得 设与垂直的直线方程为，此直线与双曲线C交于A、B两点，其坐标为把代入式整理，得当时，为方程的两实根由弦长公式得故适合条件的双曲线c的方程存在为即解法2：设弦AB中点坐标为Q（）由AQ斜率为故，B

11、（）又点A、B到直线：的距离为及由双曲线定义知：即由因此，双曲线方程为即解法(ji f)3：设双曲线方程(fngchng)为由已知设由 两式相减，得而即，即由在双曲线上，则又由即故双曲线【抛物线】例1. 已知抛物线C的顶点(dngdin)在坐标原点，对称轴为x轴，直线AB交抛物线C于A、B两点，交x轴正半轴于点M（m，0），AB到x轴的距离的积为2m。（1）求抛物线C的方程。（2）若tanAOB1，求m的取值范围。解析：（1）由题意设抛物线方程为当直线AB的斜率不存在时，ABx轴，由A、B两点到x轴距离之积是2m，得A、B两点的坐标分别为（m，），（m，）。代入，得抛物线C的方程为当直线AB的

12、斜率存在时，设为k，则AB所在(suzi)直线方程为消去x，整理(zhngl)得由已知抛物线方程(fngchng)为无论直线AB的斜率存在与否，抛物线C的方程为。（2）设当AB的斜率存在时，由（1）知当AB斜率不存在时，A（m，），B（m，），得m的取值范围为。点评：求抛物线的标准方程，一般采用待定系数法，但若开口方向不确定时应分类讨论，应避免只设定一种形式的标准方程后求解，从而致使丢解情况发生。 例2. 如图，AB是过抛物线焦点(jiodin)F的弦，M是AB的中点(zhn din)，l是抛物线的准线(zhn xin)，MNl，N为垂足。求证： （1）ANBN； （2）FNAB； （3）若M

13、N交抛物线于Q，则Q平分MN； （4）。证明：（1）作ACl，垂足为C，在直角梯形ABDC中，|AF|=|AC|，|BF|=|BD|，由平面几何知识可知ANB是直角三角形，即ANBN。（2），MAN=MNA。ACMN，CAN=MNA，MAN=CAN。在ACN和AFN中，且CAN=FAN，ACN，NFA=NCA=，即FNAB。（3）在RtMNF中，连接QF，由抛物线的定义及（2）的结论得QNF=QFN，且QFN=-QFM，QMF=-QNF，QFM=QMF，|QF|=|QM|，即Q平分MN。（4）方法一：当AB不垂直于x轴时，可设AB的方程为将之与联立，消去x，得：设，则。，=。当AB垂直于x轴时

14、，=，结论(jiln)显然成立。综上可知(k zh)，。方法(fngf)二：设与轴交于点E，MNEF，MNF=NFE，RtNFMRtFEN，。点评：本例是证明过焦点F的抛物线的弦AB具有的一些性质和结论，在证明时，若以ABx轴为例来证，则失去一般性，故证明此类问题时，切不可以特殊代替一般。由抛物线的焦点弦、准线以及根据定义所作的弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形，有很多有趣的结论，借助抛物线的定义及平面几何知识可以一一证明。对于与焦点弦有关的抛物线几何性质的证明，一般用几何法证明比用代数法证明要简单，所以对于一些解析几何问题，可以灵活运用平面几何性质并辅助代数运算进行，这就使我们的解析几何问题

15、有了“双翼”，解决问题的路子将更开阔。 例3. 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m此车能否通过隧道？并说明理由。 解析(ji x)：如图，建立坐标系，则A（，），B（3，）。 设抛物线方程(fngchng)为。将B点坐标(zubio)代入，得，。抛物线方程为。车与箱共高4.5m。集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m。设抛物线上点D的坐标为（）。则，。，故此车不能通过隧道。点评：求实际应用问题的解关键在于读取信息，梳理信息，转化信息，如有不慎，则可导致全题解错，故应加强对此三步骤的重视与训

16、练。成功解决实际问题，关键在于成功转化信息，而成功转化信息则重在对抽象数学模型的理解： 1. 重视抛物线定义的理解运用。例如抛物线上的点到焦点的距离。 2. 抛物线有四种不同形式的标准方程，应注意区分它们的异同点。 3. 明确在标准形式下，焦点与准线的距离与标准方程中的特征量2p的关系。 4. 注意运用数形结合的思想方法，画简图分析，尽量运用平面解析几何知识化简已知条件进行求解。【模拟试题】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的虚轴是实轴长的2倍，则m的值为

17、（ ） A. B. C. 4 D. 3. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 椭圆两准线(zhn xin)间的距离是焦距的4倍，则离心率(xn l)为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程(fngchng)表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. （0，1） 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线与曲线的（ ） A. 焦距相等 B. 离心率相等C. 焦点相同 D. 准线相同 8. 过点（0，1）与双曲线仅有一个公共点的直线共有（ ） A. 0条

18、 B. 2条 C. 4条 D. 6条 9. 已知正三角形的三个顶点在双曲线的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设是曲线上的点，对于点P，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆，A（2，0）为长轴上的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 12. 已知点P是以、为焦点的椭圆上的一点，若，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案(d n)填在题中的横线上。） 13. 在平面(pn

19、gmin)直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点(jiodin)F的距离为6，则点P的横坐标x的值为_。 14. 椭圆（ab0）的两个焦点为、，点P在椭圆上，则当取最大值时，椭圆的离心率为_。 15. 抛物线上的点到直线距离的最小值是_。 16. 双曲线上一点P对两焦点、的视角为，则的面积为_。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。） 17. （本小题满分12分） 已知三点P（5，2），（，0），（6，0）。 （1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； （2）设点P、关于直线的对称点分别为P、，求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程。 1

20、8. （本小题满分12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（，），B（，）均在抛物线上。（1）写出该抛物线方程及其准线方程。（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率。 19. （本小题满分12分） 若、为双曲线的左、右焦点(jiodin)，O为坐标(zubio)原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线(zhn xin)上，且满足：。 （1）求此双曲线的离心率； （2）若此双曲线过N（2，），求双曲线的方程。 20. （本小题满分12分） 如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：且于G，点Q是直线l上一动点，点M满足：，点P满

21、足：。 （1）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程； （2）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异的两点A、B，令AFB=，当时，求直线的斜率k的取值范围。 21. （本小题满分12分） 已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（，0）、B（2，0），。 （1）求点E的轨迹方程； （2）过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程。 22. （本小题满分14分） 已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线(zhxin)与椭圆(tuyun)C交于A、B两点，坐标(zubio)

22、原点O到直线的距离为，求AOB面积的最大值。【试题答案】 1. D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. A 7. A 8. C 9. D 10. A 11. C 12. D 13. 5 14. 15. 16. 提示： 1. D ，焦点在y轴上，且，故焦点坐标是 2. A 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，故双曲线方程为，=2，。 3. D 椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线的焦点为（2，0），则。 4. C 由题意，即， 。 5. D 焦点在y轴上须满足且，故。 6. A 双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得，。 7. A 由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由（）知该方程表示焦点在y轴上

23、的双曲线，焦距都为4。 8. C 直线不合题意，可设为直线方程。 与联立得。 当时，。当地，由=，解得故共有(n yu)四条直线。 9. D 由对称性知，直线(zhxin)方程为，将代入双曲线方程(fngchng)得，。 10. A P（x，y）满足，所以P在椭圆上或在其内部，所以。 11. C ，由，得，则C（1，1），代入椭圆方程得。又，。 12. D ，且。由，得。又，故选D。 13. 5 由抛物线的焦半径公式知，x 14. 根据椭圆的几何性质知当点P在椭圆的短轴端点时的值最大。 ，。 15. 直线的斜率为， ，。 把代入得，故抛物线上的点（，）到直线(zhxin)的距离(jl)是抛物线

24、上的点到直线(zhxin)的距离的最小值，其最小值为。 16. 由双曲线的定义，得，两边平方得 。 由余弦定理得 。 联立两式可得。 17. 解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为，其半焦距，=，故所求椭圆的标准方程为。 （6分） （2）点P（5，2），（，0），（6，0）关于直线的对称点分别为：（2，5）、（0，）、（0，6）。 设所求双曲线的标准方程为，由题意知半焦距，故所求双曲线的标准方程为。（12分） 18. 解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为。点P（1，2）在抛物线上，1，p=2。故所求抛物线方程是，准线方程是。（6分）（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，。PA与PB的斜率存在(cnzi)且倾斜角互补。由A（，），B（，）在抛物线上，得。由-得直线(zhxin)AB的斜率(xil)。（12分） 19. 解：（1）由知四边形为平行四边形。又，知OP平分，所以四边形为菱形。又因为，所以，所以（由P点在左分支上）。由，得即，解得。（6分）（2）因为，所以，所以双曲线的方