信号与系统第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1、第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统(xtng)的s域分析 4.1 引言4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3 拉氏变换的基本性质4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 用拉普拉斯变换分析法分析电路(dinl)、S域模型4.6 系统函数(网络函数)H(s)共一百八十三页4.7 由系统函数零、极点(jdin)分布决定时域特性4.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性4.9 二阶谐振系统的s平面分析4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布4.11 线性系统的稳定性4.12 双边拉氏变换4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系共一百八十三页 这一章(y zhn)开始讨论连续时间系统的复频域分析，即用

2、拉普拉氏变换这个工具来完成。 从频域分析系统有其不足之处：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，即不满足绝对可积（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析（不能求全响应）（3）反傅里叶变换不好求 基于以上几点引入了拉普拉氏变换，把频域变成复频域共一百八十三页4.1 引言(ynyn)19世纪末，英国工程师赫维赛德(O.Heaviside)发明了“运算法”（算子法）解决电工程计算中遇到的一些(yxi)基本问题。法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)为赫维赛德找到了可靠的数学依据。共一百八十三页4.2 拉普拉斯变换的定义(dngy)、收敛域 （一）从傅里叶变换(binhun)到拉普拉斯变换(b

3、inhun) 共一百八十三页对于(duy)因果信号有狄利克雷条件(tiojin)共一百八十三页 f1(t)=f(t)e-t e-t为收敛（衰减）因子，且f1(t)满足绝对(judu)可积条件。 则令+j=s， 上式可表示(biosh)为 共一百八十三页F1()的傅氏反变换(binhun)为 共一百八十三页f(t)为原函数F(s)为象函数(hnsh) 拉普拉斯变换(binhun)式(或拉普拉斯变换(binhun)对) 拉氏变换L f(t)拉氏逆变换L -1 F(s)共一百八十三页共一百八十三页注意： 傅氏变换将f(t)变换为F()，或作相反(xingfn)变换。 时域中的变量t和频域中的变量都是

4、实数。 拉氏变换是将f(t)变换为F(s)，或作相反变换。 这时t是实数s却是复数。 共一百八十三页 s称为“复频率”。 傅里叶变换建立(jinl)了时域和频域间的联系。 拉氏变换则建立了时域与复频域(s域)间的联系。共一百八十三页单边拉普拉斯变换(binhun)双边(shungbin)拉普拉斯变换共一百八十三页(二) 从算子(sun z)符号法的概念说明拉氏变换的定义共一百八十三页共一百八十三页(三)拉氏变换的收敛收敛域是使f(t)e-t满足(mnz)绝对可积的取值范围， 或是使f(t)的单边拉氏变换存在的取值范围。 共一百八十三页共一百八十三页 =0做收敛(shulin)坐标，是实轴上的一

5、个点。 穿过0并与虚轴j平行的直线叫做收敛轴。 收敛轴的右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。满足(mnz)的函数为指数阶函数。共一百八十三页0收敛(shulin)坐标收敛(shulin)轴Oj收敛区共一百八十三页1、有始有终(yu sh yu zhng)的信号： 收敛坐标落于-，全部s平面都属于收敛区。2、等幅度信号收敛坐标落于原点，s右半平面属于收敛区。3、随时间成正比的信号收敛坐标落于原点，s右半平面属于收敛区。共一百八十三页4、按指数规律增长eat的函数收敛坐标落于0=a， a属于收敛区。5、比指数函数增长得更快的函数不能找到收敛坐标，不能进行(jnxng)拉氏变换。共一百八十三页(四)

6、 一些(yxi) 常用函数的拉氏变换(1) 阶跃函数(hnsh)(2) 指数函数共一百八十三页(3) tn (n是正整数)共一百八十三页共一百八十三页共一百八十三页(4) 冲激函数共一百八十三页表4-1 常用(chn yn)函数单边拉氏变换 序号1234567共一百八十三页序号891011121314共一百八十三页 4.3 拉氏变换的基本(jbn)性质(一) 线性(叠加) 若 K1、K2为常数(chngsh) 则 共一百八十三页例4-1 求 的拉氏变换(binhun)F(s)。解：同理共一百八十三页(二) 原函数微分(wi fn) 若则共一百八十三页为什么与0-时刻有关系？当f(t)在t=0时

7、刻不连续时，其导数在0时刻有冲激信号存在，为了在拉氏变换中反映(fnyng)0时刻前后的变化，所以下限从0-开始。共一百八十三页11012共一百八十三页例：求该系统(xtng)的全响应，已知微分方程式共一百八十三页例4-2 已知流经电感(din n)的电流iL(t)的拉氏变换为IL(s)，求电感的电压vL(t)的拉氏变换。解：若共一百八十三页(三) 时域积分(jfn)若则式中共一百八十三页证： 其中(qzhng) 共一百八十三页例4-3 已知流经电容的电流iC(t)的拉氏变换(binhun)为IC(s)，求电容的电压vC(t)的拉氏变换。解：若共一百八十三页例4-4 如图所示电路在t=0时开关

8、闭合(b h)，求输出信号vC(t)。解：(3) 求VC(s)的逆变换R+-ES+-C(1) 列写微分方程(wi fn fn chn)(2) 将上式取拉氏变换共一百八十三页(四)延 时(时域平移(pn y)证： 若则令共一百八十三页共一百八十三页例4-5 求如图所示矩形脉冲的拉氏变换(binhun)。解：共一百八十三页(五) s域平移(pn y) 若 则 证： 共一百八十三页例4-6 求 和 的拉氏变换(binhun)。 解： 已知 由s域平移(pn y)定理 同理 由s域平移定理 共一百八十三页(六) 尺度(chd)变换 证： 若 则 共一百八十三页例4-7 求 ，若 ，求 解： 或 共一百

9、八十三页例：如图信号(xnho)的单边拉氏变换f1(t)11f2(t)11-1共一百八十三页例：T/201f(t)T/201f(t)T/201f(t)共一百八十三页(七) 初值 若函数(hnsh)f(t)及其导数 f(t)可以进行拉氏变换， f(t)的变换式为F(s)，则共一百八十三页证：共一百八十三页终值适用的条件：仅当sF(s)在s平面(pngmin)的虚轴上及其右边都为解析时(原点除外)，终值定理才可应用。(八) 终值 若f(t)及其导数 f(t)可以进行(jnxng)拉氏变换， f(t)的变换式为F(s)，而且 存在，则共一百八十三页证： 令s0, 两边(lingbin)取极限得 共一

10、百八十三页 当信号 f ( t ) 的终值存在时，才能利用它求得终值，否则将得到错误的结果。而要使 f ( t ) 的终值存在，则要求 F ( s ) 的极点在左半 s 平面，如果 F ( s ) 在 jw 上有极点的话，也只能(zh nn)是在原点上的一阶极点，其原因在于，只有满足这种极点分布的信号才有终值存在。 终值和初值定理常用(chn yn)于由 直接求f(0-)和f()共一百八十三页 (九) 卷积 若 则 证： 共一百八十三页共一百八十三页表4-2 拉氏变换性质(xngzh)（定理） 共一百八十三页共一百八十三页4.4 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯反（逆）变换(binhun)是将象函数F

11、(s)变换为原函数f(t)的运算。用定义式做比较困难，通常的方法(fngf)有：（1）查表。直接利用逆变换表（2）部分分式展开（重点）（3）留数法共一百八十三页(一)部分分式分解 F(s)为s的有理函数(yu l hn sh)时， 一般形式可表示为 式中, ai、 bi为实常数(chngsh)， n、 m为正整数。 共一百八十三页 将分母多项式表示为便于分解的形式 B(s)=bn(s-p1)(s-p2)(s-pn) 式中, p1, p2, , pn是B(s)=0方程式的根， 也称F(s)的极点(jdin)。 同样分子多项式也可以表示为 A(s)=am(s-z1)(s-z2)(s-zm) 式中,

12、 z1, z2, , zm是A(s)=0方程式的根， 也称F(s)的零点。 共一百八十三页 1. mn， F(s)均为单极点(jdin) 共一百八十三页共一百八十三页同样, F(s)两边同乘(s-p2)， 然后(rnhu)令s=p2可得第二个系数以此类推， 任一极点pi对应(duyng)的系数为共一百八十三页例4-8 求下列(xili)函数的逆变换解：将F(s)写成部分分式展开(zhn ki)形式共一百八十三页或共一百八十三页共一百八十三页 2. mn， F(s)均为单极点(jdin) 共一百八十三页例4-9 求下列(xili)函数的逆变换解：用分子分母(fnm)(长除法)得到共一百八十三页或

13、共一百八十三页共一百八十三页例4-10 求下列(xili)函数的逆变换解：部分(b fen)分式展开共一百八十三页共一百八十三页共一百八十三页共一百八十三页共一百八十三页例4-11 求下列(xili)函数的逆变换解：共一百八十三页例4-10方法(fngf)二：共一百八十三页共一百八十三页 3. mn, F(s)有重极点(jdin) 设共一百八十三页L tne-at=L -1共一百八十三页共一百八十三页例4-12 求下列(xili)函数的逆变换解：部分分式(fnsh)展开共一百八十三页共一百八十三页或共一百八十三页共一百八十三页(二)用留数定理(dngl)求逆变换共一百八十三页s=pi为一阶极点

14、(jdin) s=pi为k阶极点(jdin) 共一百八十三页例4-12 求下列(xili)函数的逆变换解：s=0为一阶极点(jdin) s=-1为3阶极点 共一百八十三页共一百八十三页4.5 用拉普拉斯变换分析电路(dinl)、s域元件模型 (一) 利用拉氏变换(binhun)解微分方程共一百八十三页共一百八十三页1. 零状态响应零状态响应是仅由激励(jl)引起的响应。得零状态(zhungti)响应为 共一百八十三页2. 零输入(shr)响应 零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应。共一百八十三页 3. 全响应(xingyng) 共一百八十三页(二) 利用(lyng)拉氏变换分析电路 例 4-

15、13 如图所示电路，当t0时，开关位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，分别求vC(t)与vR(t)波形。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)共一百八十三页解：首先(shuxin)求vC(t)(2) 取拉氏变换(binhun)(1) 列写微分方程共一百八十三页求vR(t)共一百八十三页共一百八十三页共一百八十三页(三) s域的元件(yunjin)模型 共一百八十三页分别对上式进行(jnxng)拉氏变换， 得到 不考虑(kol)起始条件 共一百八十三页共一百八十三页若对电流(dinli)求解， 得到 共一百八十三页共一百八十三页例 4-1

16、5 如图所示电路，当t0时，开关(kigun)位于“1”端，电路的状态已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，分别求vC(t)。+-E+-E-+v1(t)+-21+-vC(t)CRvR(t)共一百八十三页+-E+-vC(t)CRVC(s)-+I(s)解：画出s域网络(wnglu)模型共一百八十三页例 4-15 如图所示电路，当t0时，开关位于“1”端，电路的状态(zhungti)已经稳定，t=0时开关从“1”端打到“2”端，求iL(t) 。-E2+-E1iL(t)21LR0R2R1+共一百八十三页解：-E2iL(t)LR0R2+-E1iL(t)R1sLIL0(s)E2R2共一百八十三页共

17、一百八十三页例 电路(dinl)如图, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V， iL(0-)=4 A， 求i1(t)。 共一百八十三页解：共一百八十三页共一百八十三页分别计算零状态(zhungti)、 零输入响应。 (1) 零状态(zhungti)响应 共一百八十三页(2) 零输入(shr)响应 共一百八十三页4.6 系统(xtng)函数(网络函数)H(s)系统(xtng)函数在零状态下定义为 系统函数共一百八十三页例4-17 如图所示在t=0时开关S闭合，接入信号源e(t)=sin(2t)，电感起始(q sh)电流等于零，求电流i(t)。解：共一百八十三页共一百八十三页共一百八十三

18、页共一百八十三页策动点函数：激励与响应(xingyng)是同一端口2) 策动(cdng)点导纳函数1) 策动点阻抗函数转移函数(传输函数)：激励与响应不在同一端口2) 转移导纳函数1) 转移阻抗函数3) 转移电压比函数4) 转移电流比函数共一百八十三页n阶系统(xtng)微分方程的一般形式为 (1) 由微分方程求系统(xtng)函数共一百八十三页零状态(zhungti)下拉氏变换系统(xtng)函数为共一百八十三页(2) 电路系统 举例说明用s域等效(dn xio)模型， 可以得到网络的系统函数。如图所示电路系统， 输入为v1(t)，输出为v2(t)，试求系统函数H(s)。共一百八十三页解：画零状态(zhungti)s域模型图共一百八十三页4.7 由系统(xtng)函数零、极点分布决定时域特性(一) H(s)零、极点分布与h(t)波形特性的对应极点： H(s)分母(fnm)多项式之根。零点： H(s)分子多项式之根。为有限值s=p1处为一阶极点。直到K=n时才为有限值s=p1处为n阶极点。共一百八十三页的极点(jdin)即零点(ln din)。的零点即极点。(二阶)零点：(一阶)