第12讲：相似三角形模型的应用

1、第11讲：相似三角形模型的应用知识讲解：一、相似三角形的性质1、对应角相等，对应边的比相等；2、对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;3、相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.、相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角 形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是 “一线三等角”中当角为直角时的特例， 三直角型相似通常是以 矩形或

2、者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下:当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的 三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型:五：相似三角形判定的变化模型2一线三直角的变形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似射影定理：Ct2=AD BRAC2=AD AB,BC2=BD BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用) 课堂练习：考点一：A型相似【例题】1、如图， ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高，BC=40CfAa30c3从这张硬

3、纸片上剪下一个长 HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它白一边 EF在BC上，顶点 G H分别在AC, AB上，AD与HG的交点为 M(1)求证：AM - HG (2)求这个矩形EFGH勺周长;AD BC2、已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF= FG求 BN: NQ QM【练习】1.如图所示，给出下列条件：AC AB/B=/ACD; NADC=/ACB;& =至； ac2 = adab.其中单独能CD BC够判定 ABC s匕ACD的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，已知等边三角形ABC的边长为2, DE是它的中位线，则下面四个结论

4、:DE=1, (2) ACDEACAB (3) CDE勺面积与 CAB的面积之比为 1: 4.其中正确的 有：A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个.如图，在 ABC 中，/C =90, /B = 60, D 是 AC 上一点，DE _L AB 于 E,且 CD =2, DE =1,则 BC 的长为()A. 2 B . 4 A/3 C . 2事 D . 4曲 3 .在 ABC中，点D, E分别在 AB, AC边上，/ AEDW B,如果AE=2, ADE的面积为4,四 边形BCE曲面积为5,那么AB的长为().如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，点 E在AC边上，且 AE:EC=1:

5、2, BE交AD于点巳则AP:PD的值为()12 3A. ：B. 2 C. 3D.如图，在 ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，且 AB=4AE连接EM并延长，交 BC 的延长线于点D,则BC:CD=()A.4:1 B.2:1C.7:3 D.5:2 7、如图： ABC中，D是AB上一点，AD=AC BC边上的中线 AE交CD于F。AB_CF_求证：上二 _:ABEC考点二：X型相似【例题】1、如图，在LABCD中，/ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F .(1)求证：AB =AF ；.AE . .(2)当AB=3, BC=5时，求 的值AC2、类比、转化、从特殊到一般等思想方法

6、，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1,在口ABCM,点E是BC边上的中点，点 F是线段 AE上一点，BF的延 长线交射线CD于点G,若竺=3 ,求CD的值.EFCG(1)尝试探究在图1中，过点E作EH / AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ,CG EH的数量关系是，CD的值是CG(2)类比延伸如图2,在原题的条件下，若 AF=m(m0)则CD的值是(用含m的代数EFCG式表示)，试写出解答过程.(3)拓展迁移如图3,梯形ABCD43, DC/ AB,点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F, 若股 =a,BC=b(a 0,b 0),则处的值是(用

7、含a,b的代数式表示).CD BEEF图I用2图3【练习】1.如图，AB/ CD,AD,BC相交于点E,过E作EF/AB,交BD于点F,若AB=2,CD=3贝U EF的长为()A.1.2 B,2.5C,1.5 D,不确定2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABB边长为2的正方形，顶点A, C分别在x,y轴的正半轴上.点 Q在对角线 OB上，且OQ=OC连接CQ并延长，交 AB边于点P,则点P 的坐标为（）A. -，= -:B. -， -： C. -，D.1.如图，在平行四边形ABCD中， 0, q为对角线BD上的三点，且801 =。1。2 =。?。广州, 连接并延长，交BC于点E,连接

8、 欧%并延长，交AD于 点 F,则 AD:FD=（）A.19:2 B,9:1C,8:1 D,7:1.如图，在平行四边形 ABCD43, E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G,AF=2cm DF=4cm AG=3cnp 则 AC的长为（）A.9cm B.14cm C.15cm D.18cm.在矩形ABC邛，对角线 AC, BD相交于点O,过点O作OEL BC,垂足为E,连接DE交ACCF于点P,过P作PFXBC,垂足为F,则CB的值为（）A. j B. j C. D 6、如图，直线 X 口 h ,若 AF:FB=2:3 , BC:CD=2:1,则 AE:EC=()A.5:2 B,4:

9、1C,2:1 D.3:27、如图，AB/ CD线段BC AD相交于点F,点E是线段AF上一点且满足/ BEF=Z C,其中AF=6, DF=3, CF=2,则 AE=PH.考点三：母子型相似【例题】1、在直角三角形CD2= AC 2=ABC中，/ ACB=9C）, CDLAB,则图中相似三角形,BC2=8、如图，P为DABCD勺对角线 AC上一点，过 P的直线与 AD BC, CD的延长线、AB的延长 线分别交于点E, F, G H.求证：PE PG = PF【练习】1.如图，在RtABC中，ACL BC, CDL AB于点D,若AC=& AD=6,贝U BD的长为（） C32 14C.二 D

10、. 1AC AD2、如图，在4ABC中，CDL AB于点D,下列条件： 好二 AS AC -DC加二亚.其中能证明 ABC是直角三角形的是（）A.B.C.D.3、如图，在 Rt ABO43, / BA(=90 , ADI BCT点D,若BDCD=3:2 ,则 ACAB=()B.-3r 6C 2dT3B时 尸,A时4、如图，小明在 A时刻测得某树的影长为2 m,时刻又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 AC5.在 RtABC中，/ BAC=90 , ADBC于点 D,若一AB区 3c.16皿 BD /一,贝 U=(CDD. 1166、如图，在 RtAABC, / AC

11、B90 , CDLAB于点 D,BD=2, AD=8,则 CD=AC=, BC=ED, EC为折痕将7、如图，四边形 ABCD, AD/BC, /B=90： E为AB上一点，分别以两个角（/ A, / B）向内折起，点A, B恰好落在CD边的点F处.若AD=5, BC=9则EF=考点四：一线三等角型相似【例题】1、在AABC中，AB = AC=5, BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ZAPQ =/ABC .若点P在线段CB上（如图），且BP = 6 ,求线段CQ的长；若BP = x , CQ = y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；【练习】

12、1.如图，在四边形CD=9则AD的长为（）A.3 B.4C.5 D.6ABCD43, M 为 BC边的中点.若/ B=Z AMDh C=45 , AB=8,CD=-2、.如图，在等边 ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且/APD=60 , BP=1,3 ,则4ABC的边长为（）A.2 B.3C.4 D.53、等腰 ABC AB=AO8, /BAB120。，P为BC的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板, 使30角的顶点落在点 P,三角板绕P点旋转.（1）如图1,三角板两边分别交 AB AC于点E, F时，求证： BP3ACFF（2）操作：将三角板绕点 P旋转到图2的情形时，三角板的两边

13、分别交BA的延长线、边AC于点E, F.探究1: 4BPE与CFP相似吗？（只需写出结论）探究2：连接EF, BPE与 PF弱否相似？请说明理由. 设EF=m EPF的面积为S,试用含m的代数式表示 S.考点五：一线三垂直【例题】1、已知：如图，在矩形ABC邛下为AD的中点，EFL EC交AB于点F,连接FC.（ABAE(1)人5与4 ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由.（2）设BC ,是否存在这样的k值，使得 AEF与4BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由.【练习】1.如图，正方形ABCM边长为4, P是BC边上的一个动点（不与点 B, C重合）， 连接AP,过点P作PQL AP交DC于点Q.设BP的长为x, CQ的长为y,则y与x之间的函 数关系式为（）1 1 . 1 .A., J.：.-Ci2.如图，在等腰直角 ABC中，ZA=90 ,接OP将线段OP绕点O逆时针旋转90AC=8,点O在AC上，且AO=2 P是AB上一动点.连得到线段 OD要使点D恰好落在BC上，则AP的长度为（）A.二B.6C.5 D.4A0_23.在 ABC中，/C=90 , AC=3 BC=4, O是 AB上的一点，且5 , P 是 AC上的一个动点，PQL OP交线段BC于点