二《九章算术》 (3)

1、中国古代数学瑰宝导入新课导入新课秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）九章算术 起源：多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，但其中有些内容可以追随到周代。 作者：九章算术作者不祥，多认为是先秦至西汉中的长时间里经众多学者编纂，修改而成的一本书。 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。 它是一本综合性的历史著作，承袭先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经过许多学者的刪补最后成书。 它是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经书中最重要的一种。九章算术 六艺：礼、乐、射、御、书、数 周礼九章算术（东汉，

2、公元1世纪初）九章算术的主要内容 九章算术的内容十分丰富，全书主要采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题。 主要涉及算法方面，代数方面，几何方面。 其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。 这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股等共九卷，号称九章。 “粟米”：粮食按比例交易算法 “方程”：一次方程解法 “少广”：开平方和立方算法“方田” ： 面积的计算 “衰分”：分配比例的算法“商功”： 体积的计算“均输”： 摊派税收的算法“勾股”： 勾股定理 “盈不足”

3、：盈亏问题的解法 按不同的用途分为九卷，故名九章算术九章包含的内容：第一章“方田”：田亩面积计算 主要论述了各种平面几何图形面积的地亩面积算法及分数的运算法则。 包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。 还给出了完整的分数加减乘除以及约分和通分运算法则也就是分数四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。九章包含的内容：第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换 本章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四项比例算法，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法 ，而希腊人的比例算法是几何线段的比例，数字比例算法在欧洲出

4、现颇晚，被称为“三率法”也叫“黄金法则”。第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。 例：“今有大夫、不更、簪褭（zn nio）、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”第四章 “少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等 主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、体积，反求其一边和径长等。 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这种不尽根数起了一个专门的名字“面”。第五章“商功”：土石工程、体积计算 主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、

5、球体等内容涉及筑城、修堤、开渠粮垛等施工方面的计算问题。第六章“均输”：合理摊派赋税 主要论述较为复杂的配方比例问题，其中最引人注目的是“均输数”。主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，用衰分术解决赋役的合理负担问题。这很类似于条件极值问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。第七章“盈不足”：即双设法问题 主要论述盈亏问题的解法。通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。 这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似

6、解法。盈不足术 盈不足问题是我国数学的古典名题：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何.按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有方程组： 人数为7，物价为53文钱.第八章“方程”：一次方程组问题 主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元“方程术”即线性联立方程组的解法，相当于现在的矩阵，解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？解：设上中下禾各一秉打出的粮食分

7、别为x，y，z斗则解方程组 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题 主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。 九章算术主要有算术、代数和几何三部分的内容，概括了我国古人创造的领先于世界的数学成就.(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，其中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的 (2)、九章算术总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股

8、章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。 (3)、九章算术中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。 数学成就 九章算术确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。特点 1、九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。2、其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造。3、九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。4、现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。 注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成 九章算术及其注文中蕴涵的数学思想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也极大地促进了世界数学的发展.历史影响九章算术与高考真题 九章算术与高考真题案例展示C 课后拓展B4、 中国古代数学名著九章算术中的“引葭赴岸” 是一道名题，其内容为： “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？ 将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇