极限知识点总结及高考题萃 (2)

1、极 限第一部分知识点第二部分六年高考题萃考试内容：教学归纳法数学归纳法应用 数列的极限 函数的极限根限的四则运算函数的连续性考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（2）了解数列极限和函数极限的概念（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质极 限 知识要点1. = 1 * GB2 第一数学归纳法： = 1 * GB3 证明当取第一个时结论正确； = 2 * GB3 假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立. = 2 * GB2 第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 =

2、 1 * GB3 当（）时，成立； = 2 * GB3 假设当（）时，成立，推得时，也成立.那么，根据 = 1 * GB3 = 2 * GB3 对一切自然数时，都成立.2. = 1 * GB2 数列极限的表示方法： = 1 * GB3 = 2 * GB3 当时，. = 2 * GB2 几个常用极限： = 1 * GB3 （为常数） = 2 * GB3 = 3 * GB3 对于任意实常数，当时，当时，若a = 1，则；若，则不存在当时，不存在 = 3 * GB2 数列极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么. = 4 * GB2 数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，

3、无穷等比数列的各项和为.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限； = 1 * GB2 当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零. = 2 * GB2 函数极限的四则运算法则：如果，那么特别地，如果C是常数，那么.（）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广

4、到无限个情况. = 3 * GB2 几个常用极限：（01）；（1） = 4 * GB3 ，（）4. 函数的连续性： = 1 * GB2 如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续. = 2 * GB2 函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：函数f（x）在点处有定义；存在；函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即. = 3 * GB2 函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.f（x）在点处没有定义，即不存在；不存在；存在，但.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理： = 1 * GB2 零点定理：设函

5、数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（）使. = 2 * GB2 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）. = 3 * GB2 夹逼定理：设当时，有，且，则必有注：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）6. 几个常用极限：为常数）为常数） 极限汇编六年高考荟萃2010年高考数学分章汇编极限与连续性一、选择题:1.(2010年高考数学湖北卷理科7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆， 又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之

6、和，则 A B. C. D. 【答案】C2（2010年高考四川卷理科2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A） （B） （C） （D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案：D3（2010年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则答案：B4（2010年高考江西卷理科4） ABCD不存在【答案】B5.(2010年高考重庆市理科3)（A） 1（B） （C） （D） 1【答案】B解

7、析：=.二、填空题：1（2010年高考上海市理科11）将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。【答案】12（2010年上海市春季高考14)答案：。解析：不妨取，故故，故答案为1.三、解答题：1(2010年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分）已知数列的前项和（）求；（）证明：【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】【点评】2010年高考数学全国I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两

8、纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.2009年高考题一、选择题1、（09重庆理8）已知，其中，则的值为（ ）A.6B.C. D.【解析】答案 D2、（09湖北理6）设，则（ ）A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令时令时两式相加得：两式相减得：代入极限式可得，故选B答案 B二、填空题3、（09陕西理13）设等差数列的前n项和为,若,则 . 答案 120052008年高考题一、选择题1、（2007年江西）（）等于等于等于不存在

9、答案 B2、（2007年湖北）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）A0B1CD答案 3、（2006湖南）数列满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( )A. B. C. D.2【解析】数列满足: , 且对任意正整数都有，数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.答案 A4、（2005年全国理5） ( )A B C D 【解析】 ,选(A)答案 A二、填空题5、（2008上海2）计算： . 答案 6、（2007年全国理16）已知数列的通项an=5n+2,其前n项和为Sn, 则= .答案 -【解析】数列的通项an=5n+2，其前n项和为Sn，则=.7、（2006天津）设函数，点表示坐标原点，

10、点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则= 【解析】函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角，（其中），设，则=1答案 18、（2005年上海2） . 答案 0三、解答题9、（2007年辽宁）已知数列，与函数，满足条件：，.（I）若，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，证明对任意，（用表示）()解法一：由题设知得，又已知,可得由 其首项为.于是又liman存在，可得01,所以-2t2且解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得由可知,所以是首项为,公的等比数列.由 可知，若存在，则存在.于是可得01,所以-1t.=2解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即于是有-得由，

11、所以是首项为b公比为的等比数列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得01,所以-2t2且说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.()证明：因为.下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且1,得11，即，结论成立.（2）假设n=k时结论成立，即.由f(x)为增函数，得f即进而得f()即.这就是说当n=k+1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的，.第二部分 三年联考汇编2009年联考题一、选择题1、(2009年3月襄樊市高中调研统一测试理)的值为 ( )A0B1CD答案 C2、(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)若(1+5

12、x)n的展开式中各项系数之和为an，(7x21)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则的值是（ ）ABC1D答案 A3、（2009衡阳四校联考）若（PR，P为常数），则a和P的值分别为（ ） A 0， B 1， C D 答案 D4、（2009牟定一中期中）若的值为 （ ）A. 2 B. C. D. 答案 B5、（2009宣威六中第一次月考）下列命题不正确的是（ ）A如果 f (x) = EQ F(1,R(x) ，则 EQ limDBA15()sdo5(x+ ) f (x) = 0 B如果 f (x) = 2 x1，则 EQ limDBA15()sdo5(x0) f (x) = 0C如果 f

13、 (n) = EQ F(n 22n,n + 2) ，则 EQ limDBA15()sdo5(n) f (n) 不存在D如果 f (x) = EQ BLC(AAL( x ， x0, x + 1，x 0，的展开式中，的系数为，则 答案 17、（2009宣威六中第一次月考）= .答案 -3三、解答题18、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，函数的反函数能确定数列，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式

14、。解 (1) 由题意的：f 1(x)= f(x)=，所以p = 1，所以an= (2) an=，dn=n， Sn为数列dn的前n项和，Sn=，又Hn为数列Sn的调和平均数，Hn= = (3) 因为正数数列cn的前n项之和Tn=(cn+)，所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1 当n2时，cn = TnTn1，所以2Tn = TnTn1 +， Tn +Tn1 = ，即：= n，所以，= n1，= n2，=2，累加得：=2+3+4+ n， =1+2+3+4+ n =，Tn=19、（2009上海普陀区）设数列的前项和为，. 对任意，向量、都满足，求. 解 因为，所以由条件可得，.即数列是公

15、比的等比数列.又，所以，.20072008年联考题一、选择题1、（2008荆门市实验高中测试）等于 ( )A.1 B. C. c D.1或答案 D2、（2008荆门市实验高中测试）下列极限存在的是 ( ) A. B. C. D.答案 C3、（2008荆门市实验高中测试）已知a,b时互不相等的正数，则等于 （ ）A.1 B.1或1 C.0 D.0或1答案 B4、(淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试）设存在，则常数b的值是（ ）A0B1C1De.答案 B5、 (巢湖2007二模)若,则常数、的值为 （ ）A.， B. ， C. ， D. .答案 C6、(皖南八校2007届一联）的值为（

16、）A0B不存在CD.答案 C7、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4 则这个数列的第2006个数是( )A 62 B.63 C 64 D 65答案 B 8、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）函数f（x）=的不连续点为( )A x= B x=1 C x= D 以上答案都不对 答案A 9、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加( )A B C D答案C 二、填空题10、 （2008荆门市实验高中测试） 若 。.答案 211、（2008荆门市实验高中测试） _。答案 112、（2008宣威六中高三数学测试）_。答案 113、（安徽宿州三中2007年三模）已知，则 。 答案 -8 三、解答题14、 （2008荆门市实验高中测试）求解 15、 （2008荆门市实验高中测试）已知，求a 的取值范围.解 依题意有： 16、 (南昌市2007-2008学年度高三第一轮