圆周角定理及其推论

1、沪科版九年级数学(下)第24章 圆 24.3 圆周角 授课人 程先友圆周角在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(ABC)有关. 读一读驶向胜利的彼岸圆周角 顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.OBACBACBACBACBACBACBAC探究如下图，当是ABC等边三角形时，把它的外心O的各顶点连接，由 ABC=600，BOC=1200 BAC= BOC, BAC对着弧BC, BOC也对着弧BCAOBC oc探究如下图，当是ABC等边三角形时，把它的外心O的各顶点连接，由 ABC=600，BOC=1200 BAC= BOC,

2、 BAC对着弧BC, BOC也对着弧BC类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 想一想驶向胜利的彼岸 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.OOOABCABCABC圆周角和圆心角的关系如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流. 议一议 驶向胜利的彼岸教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.OABCOABCOABC驶向胜利的彼岸圆周角和圆心角的关系1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大

3、小关系. 议一议AOC是ABO的外角，AOC=B+A.OA=OB，OABCA=B.AOC=2B.即 ABC = AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师期望:你可要理解并掌握这个模型.驶向胜利的彼岸圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样? 议一议老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:O ABC = AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABCDABD = AOD,CBD = COD,驶向胜利的彼岸圆

4、周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样? 议一议老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:O ABC = AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.DABD = AOD,CBD = COD,ABC圆周角定理综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 议一议驶向胜利的彼岸老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.OABCOABCOABC即 ABC = AOC.圆周角由定理

5、可得推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等（如右图）C1ABC3C2 初中数学资源网探究活动：有关圆周角的度数 1 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？的圆周角所对的弦是否是直径？线段AB是O的直径，点C是O上任意一点（除点A、B）， 那 么，ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，ACB会是怎么样的角？为什么呢？证明：因为OAOBOC，所以AOC、BOC都是等腰三角形，所以OACOCA，OBCOCB. 又OACOBCACB180，所以ACBOCAOCB90.因此，不管点C在O上何处（除点A、B），ACB总等于90，即:结论： 推论2 半圆或直径所对的

6、圆周角都相等，都等于90（直角）。反过来也是成立的，即90的圆周角所对的弦是圆的直径驶向胜利的彼岸思考与巩固例1.如图AB为圆O的直径，弦CD交AB于点P, ACD=600, ADC=700.求 APC的度数 例题讲解ACDBPO分析：APC等于圆周角BAD,ADC之和解：连接BC则ACB=900,DCB=ACB -ACD =900-600 =300又因为BAD=DCB =300所以APC=BAD+ADC=300+700=1000驶向胜利的彼岸拓展 化心动为行动1.如图(1),在O中,BAC=50,求C的大小. 猜一猜2.如图(2),在O中,B,D,E的大小有什么关系?为什么?3.如图(3),AB是直径,