阅读与思考海伦和秦九韶 (3)

1、应用举例 “阅读与思考 海伦和秦九韶”1.理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；会证明秦九韶公式与海伦公式；2.会用海伦秦九韶公式解决传统数学文化中简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。3.培养学生发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的能力，培养学生的猜想能力，发展学生的合情推理和概括能力学习目标复习回顾 1.余弦定理 复习回顾 2.三角形的面积公式 【新课讲解】 请同学们思考如何证明？【新课讲解】 【新课讲解】 【新课讲解】 【新课讲解】 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于

2、记忆。想一想，有没有其他证明方法？【新课讲解】 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在九章算术中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 【新课讲解】 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到

3、的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式”。【新课讲解】 勾股定理证明所以：所以：所以：勾股定理证明所以：勾股定理证明勾股定理证明例题讲解【知识扩展】 海伦：海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右，生平不详），古希腊数学家、力学家、机械学家。约公元62年活跃于亚历山大，在那里教过数学、物理学等课程。海伦在论证中大胆使用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。他比较著名的著作之一是海伦公式。海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。写了不少测量学、力学和数学著作，量度

4、论该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。测量仪器中描述了一种类似现代经纬仪的仪器，并介绍如何使用它去解决各种测量问题。其它著作还有气体力学、武器制造法、几何、测体积法等。【知识扩展】 秦九韶：秦九韶（1208年1268年），字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人。南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作数书九章，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求

5、积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献，表述了一种求解一元高次多项式方程的数值解的算法正负开方术。【知识扩展】 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：它的特点是形式漂亮，便于记忆。这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作测海伦公式的提出为三角形和多边地术中，并在海伦的著作测量仪器和度量数中给出证明。中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。【知识扩展】 公式的意义： 海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如