抽样调查理论与方法课件

1、5.1 一次移动平均法5.2 一次指数平滑法5.3 线性二次移动平均法5.4 线性二次指数平滑法5.5 二次曲线指数平滑法5.6 温特线性和季节性指数平滑法5 时间序列平滑预测法5.1 一次移动平均法一、一次移动平均法的基本思路 一次移动平均预测法是平均值预测法的一种。 所谓的平均值预测法是指是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。 所谓的移动平均是指每当得到一个最新观察值，就立即把它作为有效数据放入数据组中，把最老的那个时间的数据从数据组中剔除，重新计算出一个新的平均数作为下一期预测值的方法。 例如， 由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测值是对前以移动平均

2、预测值的修正，n越大，平滑效果越好。式中： 为最新观察值；为下一期预测值。设时间序列为移动平均法可以表示为：1.移动步长的选择 当数据的随机因素较大时，宜选用较大的n，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差； 当数据的随机因素较小时，宜选用较小的n，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。 当时间序列为纯随机时，全部历史数据的平均数是最好的预测值2.移动平均法的优点 计算量少；移动平均线能较好地反映时间序列的趋势及其变化。3.移动平均法的缺点计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量的数值时，就必须保存的历史数据较多移动步长n的大小难以确定只能适用于平稳时间序列，进

3、行短期预测各过去观察值的权数都相等，早于(t-n+1)期的观察值的权数等于0。而实际上往往是最新观察值包含更多信息，应具有更大权重。4.移动平均法有两种极端情况 在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数n=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值； n=N，这时利用全部N个观察值的算术平均值作为预测值。二、一次移动平均法的应用 下表是某产品111月的月销售量，试选用N=3和N=5，采用一次移动平均法对12月的销售量进行预测。月份销售额（万元）预测值（N=3）预测值（N=5）1月46.0 2月50.0 3月59.0 4月57.0 51.7 5月55.0 55.3 6月64.0 57.0

4、7月55.0 58.7 55.2 8月61.0 58.0 56.7 9月45.0 60.0 58.5 10月49.0 53.7 56.2 11月46.0 51.7 54.8 12月46.7 53.3 5.2 一次指数平滑法 指数平滑预测实际上是由移动平均法演变而来的。 由移动平均法预测公式知，因为，所以，假设时间序列是平稳时间序列，则可以用Ft替代xt-n，于是就有， 由于，1/n的取值范围为(0，1)，取=1/n，0 1，则上式就可以演不变为：称为平滑常数，这就是一次指数平滑的一般表达式。 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减

5、少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和值，就可以进行预测。为什么叫指数平滑预测？我们把一般表达式展开，并按该公式递推， 有上述推到结果，可知一次指数平滑预测值其实就是历史观察值得加权平均，并且其权数呈现指数衰减态势，即越靠近预测时点的数据的权数越大，这恰与实际情况相符，距预测时点越近的数据，对预测值的影响越大。 我们对一次指数平滑预测模型的一般表达式做进一步的变形，即， 一次指数平滑预测法得到的预测值是本期预测值加上本期预测值中产生误差的修正值。平滑常数a的确定当平滑常数a取值较大时，预测值能够比较快的反映出时间序列的变化情况；当平滑常数a取值较小时，预测值对时间序列的变化反

6、映较慢。平滑常数a的确定往往采用试算的方法，即首先选择a的一组取值，分别进行预测，并计算各种取值之下预测误差的大小，选择使得预测误差最小的a作为最终的取值，做最终预测。一次指数平滑法的初值的确定： 取第一期的实际值为初值； 取最初几期的平均值为初值。 该预测方法只适用于平稳时间序列！例： 利用下表数据为某公司每月的营业额，运用一次指数平滑法对某公司第17期的销售额进行预测（取=0.1，0.3 ，0.9）。时期销售额（万元）指数平滑值0.10.30.9197.0 295.0 97.00 97.00 97.00 395.0 96.80 96.40 95.20 492.0 96.62 95.98 9

7、5.02 595.0 96.16 94.79 92.30 695.0 96.04 94.85 94.73 798.0 95.94 94.90 94.97 897.0 96.14 95.83 97.70 999.0 96.23 96.18 97.07 1095.0 96.51 97.03 98.81 1195.0 96.36 96.42 95.38 1296.0 96.22 95.99 95.04 1397.0 96.20 95.99 95.90 1498.0 96.28 96.30 96.89 1594.0 96.45 96.81 97.89 1695.0 96.21 95.97 94.39

8、1796.09 95.68 94.94 =0.1，=0.3，=0.9时，均方误差分别为：MSE=3.93MSE=3.98MSE=4.2 因此，可选=0.1作为预测时的平滑常数。某公司第17期销售量的预测值为：由上表可见：最小5.3 线性二次移动平均法 引：前面两节我们学习了两种平滑预测方法一次移动平均预测和一次指数平滑预测，这两种方法的使用条件相同平稳时间序列。 如果时间序列具有明显的线性变化趋势，则不适宜选用这两种种方法，若仍然采用这两种方法，其预测值将会滞后于实际值。 为了避免利用一次移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。 一、基本思想 线性二次移动平均法不是

9、用二次移动平均数直接进行预测，而是以此为基础，建立线性预测模型，然后再用模型预测的一种方法。 二次移动平均数是在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。二、预测模型 1.二次移动平均数的计算： 前面提到，当时间序列存在趋势时，一次移动平均系列总是滞后于实际序列，二次移动平均序列也与一次移动平均序列形成滞后偏差，线性二次移动平均发正是利用这种滞后偏差的演变规律建立如下线性预测模型的： 式中，t当前时期序号；m为当前时期t到预测时期的时间间隔数，即预测超前期数；Ft+m为第t+m时期的预测值。其中，at、bt的计算公式为： at用于对预测（最新值）的初始点进 行基本修正，使得预测值与

10、实际值之间不存在滞后现象； bt用 除以 ，这是因为移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应落在N个点的中点。三、预测应用5.4 线性二次指数平滑法引：一次移动平均法的两个缺陷（需要储存大量历史数据和历史数据的权数相同）在线性二次移动平均法中也存在。 为了克服上述问题的有效方法是指数平滑，但是一次指数平滑只适用于平稳时间序列，我们引入一种新的预测方法线性二次指数平滑法。 一次指数平滑法是直接利用一次指数平滑值作为预测值的一种方法。线性二次指数平滑法与其不同，它是用平滑值对序列存在的线性趋势进行修正。 线性二次指数平滑法只利用三个数据和一个值就可进行计算； 同线性二次移动平均法相比，在大多数情

11、况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。一、布朗单一参数线性指数平滑法 布朗单一参数线性指数平滑法的基本原理与线性二次移动平均法相似。当时间序列存在趋势时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，这就需要修正，即要考虑考虑序列的水平变化，又要考虑序列的的趋势变化：将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。1.指数平滑公式：为一次指数平滑值；为二次指数平滑值；2.预测模型：m为预测超前期数二、霍尔特双参数线性指数平滑法 霍尔特双参数线性指数平滑法基本原理与布朗线性指数平滑法相似，只是它不用二次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。 由于它用不同的参数对原序列的趋势进行平滑，因此具

12、有很大的灵活性。平滑预测模型（1）（2）（1）式是利用前一期的趋势值 直接修正 ，即将 加在前一平滑值 上，消除滞后，并使近似达到最新数据值 （2）式用来修正趋势项bt，趋势值（即各期增量）利用相邻两次平滑值之差来表示。 利用对相邻两次平滑值之差（St-St-1）进行修正，并将该修正值加到前一期趋势估计值乘以（1-）。 该式的目的是对各期趋势值（即各期增量）进行预测，对于趋势值序列而言，他是一个平稳时间序列，所以，可以采用一次指数平滑预测法对其预测。（2）式其实就对bt做的一次指数平滑预测。5.5二次曲线指数平滑法 引言： 有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不一定是线性的，可能按二次曲线的形

13、状增加而减少。 例如 对于这种存在非线性增长趋势的时间序列，采用二次曲线指数平滑法要比线性二次指数平滑法更为有效。 二次曲线指数平滑法不但考虑了线性增长的因素，而且也考虑了二次抛物线的增长因素。一、基本原理： 设指数平滑法多项式预测模型为：式中： m表示从t期期预测超前时间 a(t),b1(t),b2(t), ,bn(t)为多项式预测模型的参数。 上述模型用泰勒公式展开得：式中， xt(k)为数列在t时刻的的k阶导数。 这样一来, 指数平滑法多项式预测模型的参数a(t)、b1(t)、b2(t)、bn(t)的计算问题，就转化为推算公式中xt(k) 定理：若指数平滑法多项式预测模型为：则，即，B=

14、A-1S。证明 于是，对于二次曲线指数平滑模型：其参数的表示形式很容易推导出：At、Bt和Ct恰恰分别反映时间序列的水平变化量、线性增长量和曲线增长量。因此，二次曲线指数平滑法的基本思路就是将时间序列拆分为三部分：水平变化量、线性增长量和曲线增长量，分别对这三个量进行指数平滑预测，然后加总得到总的预测量。计算t时期的一次指数平滑值 ：计算t时期的二次指数平滑值 ：计算t时期的三次指数平滑值 ：计算t时期的水平值 ：二、实现步骤计算t时期的线性增量 ：计算t时期的曲线增量 ：加总得到预测第t+m期的值 ：三、初始值的确定 初始值主要依赖于前两个时期的的观察值x1和x2：四、二次曲线指数平滑预测的

15、应用 已知某地区统计了1983年至2006年每年的消费品销售总额，试预测2007年和2008年该地区的销售总额。5.6 温特线性和季节性指数平滑法引言： 很多时候时间序列不仅存在趋势变动，而且还存在季节变动。 例如 温特于20世纪60年代创立了线性与季节性指数平滑预测法。 该方法的突出优点是对具有趋势变动和季节变动两种形式，分别对每种形式进行指数平滑，然后将各种形式的平滑结果结合起来，对原时间序列进行预测。这扩大了指数平滑法的适用范围，提高了对兼有趋势和季节变动两种形式的时间序列预测的准确性。一、基本原理温特指数平滑法的基本思路就是将时间序列拆分为三部分：水平量（趋势值）、线性增长量（趋势增量）和季节增长量，分别对这三个量进行预测，然后加总得到总的预测量，具体加总方法有乘法模型和加法模型。 温特线性和季节性指数平滑法以三个方程式为基础，每一个方程式都分别反映趋势值、趋势增量和季节增量预测，且都含有一个有关的参数。这三个方程分别是： 式中，L为季节的长度，如年、月、周；I为季节性系数，它等于时间序列原