2011年陕西高考数学试题及答案(理科)

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(陕西卷)解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题，每小题5分，共50分).1设a,b是向量，命题“若a=-b，则Ia1=1bI”的逆命题是()(A)若a主，贝ijlaIhIb丨一-(B)若a=-b，贝ijlaIhIbI(c)若LaIhIbl，则aH-b(d)若Lal=lbl，则a=-b【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选D原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论；原命题的结论是al=lbl，作为逆命题的条件，即得逆命题“若lal=lbl，则a=-b

2、”，故选d.2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是()ffff(a)y2=-8x(b)y2=8x(c)y2=-4x(d)y2=4x【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键.【解】选B由准线方程x=-2得-彳=-2，且抛物线的开口向右(或焦点在x轴的正半轴),所以y2=2px=8x.3设函数f(x)(xeR)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图像是()【分析】根据题意，确定函数y=f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.【解】选B由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称，可知B

3、，D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符合，故选B.4.(4x-2-x)6(xGR)展开式中的常数项是(A)-20(B)-15(C)15(D)20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x的指数为0,确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选CT=C(4x)6_r(2-x)r=Cr22x(6-r)2-xr=Cr212x-3xr，r+1666令12x-3xr二，则则二4，所以T5=C4=15，故选c.5.某几何体的二视图如图所示，则它的体积是8-红38-3(A)(B)(D)

4、【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算.【精讲精析】选A由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是18兀V二23一一x兀x22x2二8一336.函数f(x)=Jxcosx在0,+8)内()(A)没有零点(B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点(D)有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断。【解】选B(方法一)数形结合法，令f(x)二*x-cosx二0，则Jx二csx，设函数yx和y=cosx，它们在0,+8)的图像如图所示，显然两函数的图像的

5、交点有且只有一个，所以函数/(x)=UX-COSX在0,+8)内有且仅有一个零点;(方法二在XG(0,F(X)=+sinX0，所以函数/(x)=Qx-cosx是增函数，又因为22fX兀！兀L兀/(0)=-1,/(y)=20，所以/(X)=(X-COSX在XG0,-上有且只有一个零点.7.设集合M=yIy=lcos2x一sin2xI,xeR,N=xIIx-11y2,I为虚数单位，xgr,I则MN为()(A)(0,1)(B)(0,1(C)0,1)(D)0,1【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选CY=Icos2x-sin2xl=lcos2xle0,1

6、，所以M=0,1；因为IX-I-，所以Ix+IIJ2，即IX-(-I)I，又因为XeR,所以-1X1，即IN=(-1,1)；所以MN=0,1)，故选C.8.右图中，x,x,x为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评TOC o 1-5 h z123分，P为该题的最终得分，当x=6,x=9,p=8.5时，x等于123()(A)11(B)10(C)8(D)7【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件Ix-x11x-xI是否成立是解答本题的关键.TOC o 1-5 h z3132【解】选Cx=6,x=9,Ix-xI=32不成立，即为“否”所以再输入x；由绝对值12123的意义(一个点到

7、另一个点的距离)和不等式x-xIIx-xI知，点x到点x的距离小于313231点x到x的距离，所以当x7.5时，Ix-xI7.5，不合题意；当x7.5时，2233x+xx+9Ix-xI7.5，符合题意，故选C.39设(x,y),(x,y)，(x,y)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过112233最小二乘法得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是()x和y的相关系数为直线l的斜率x和y的相关系数在0到1之间当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同直线l过点(x,y)【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断.【解】选D选项

8、具体分析结论A相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度,直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确B相关系数的值有正有负，还可以是0;当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在-1到0之间时，两个变量负相关不正确Cl两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不定是平均分布不正确D回归直线l定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式a=y-bx可知直线l必过点(x,y)正确10.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）TOC o 1-5 h z11513693

9、66【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题.【解】选D甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A：-今（种）；最后一小时他们同在A3-A3X61一个景点的情形有A3-A3x6(种)，所以P二一=-55A4-A4666二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）lgx11设f(x)=，若f(f(1)=1，则a=【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x二1算起是解答本题的突破口.【解】因为x1，所以f(1)lg1，又因为f(x)=x+J3t2dt=x+a3,所以f(

10、)=a3，所以a3=1，a1.【答案】112.设neN，一元二次方程x2-4x+n=有整数根的充要条件是n=【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算.【解】x=土匕二2E，因为x是整数，即244-n为整数，所以74二n为整数，且n4，又因为neN，取n=04，验证可知n二3,4符合题意；反之n二3,4时,+可推出一元二次方程x2-4x+n=有整数根.【答案】3或4观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论.行数、项

11、数及其变化规律是解答本题的关键.【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n-1；等式右边都是完全平方数，1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49行数等号左边的项数12341357所以n+(n+1)+n+(2n1)1=(2n1)2，即n+(n+1)+(3n2)二(2n1)2TOC o 1-5 h z植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为(米).【分析】把实际问题

12、转化为数学模型，然后列式转化为函数的最值问题.【解】(方法一)设树苗放在第i个树坑旁边(如图)，12i1920那么各个树坑到第i个树坑距离的和是s=(i1)x10+(i2)x10+(ii)x10+(i+1)ix10+(20i)x10i(i+1)(20i)(i+1+20).=10 xixiix(20i)+22=10(i221i+210)，所以当i=10或11时，s的值最小，最小值是1000,所以往返路程的最小值是2000米.(方法二)根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，

13、所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个19(1+19)树坑旁，则有路程总和是10 x(1+2+19)x2=10 x2x2=3800；树苗放在第10个(或第11个)树坑旁边时，路程总和是10 x(1+2+9)+10 x(1+2+10)x2=10 xx2+10 xx2=900+1100=2000，所以路程总和最小为2000米.15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)(不等式选做题)若关于x的不等式IaI.Ix+11+Ix-21存在实数解，则实数a的取值范围是.【分析】先确定Ix+1I+Ix-2I的取值范围，再使得a能取到此范围内的

14、值即可.【解】当x1时，Ix+1I+Ix21=x1x+2=2x+13；当12时，Ix+1I+Ix21=x+1+x2=2x13；综上可得Ix+1I+Ix2I.3，所以只要IaI.3，解得a3或a.3，即实数a的取值范围是(33,+8).【答案】(33,+8)(几何证明选做题)如图，ZB二ZD，AE丄BC，ZACD=90，且AB=6,AC=4,AD=12,o则BE二【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解.ACad所以ZAEB=ZACD=90，又因为ZB=ZD，所以AEBYACD，所以-E=乔【答案】4巨【解】因为AE丄BC，C（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy

15、中，以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴fx=3+cos0建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C:/.n（0为参数）和曲线C:P二1上,1y=4+sin02则IABI的最小值为.【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程.【解】曲线C的方程是（x-3）2+（y-4）2=1，曲线C的方程是x2+y2=1，两圆外离，所12以1AB的最小值为話32+421-1=3.【答案】3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）（本小题满分12分）如图，在ABC中，ZABC二60，ZBAC二90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使ZBDC=90.O

16、（1）证明：平面ADB丄平面BDC；（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值._,_【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解.【解】（1）：折起前AD是BC边上的高，当厶ABD折起后，AD丄DC，AD丄DB，又DB.DC=D，AAD丄平面BDC，TAD平面ABD，A平面ABD丄平面BDC.（2）由ZBDC=90及（1）知DA，DB，DC两两垂直,不妨设|DB|=1,以D为坐标原点，以DB,DC，DA所在直线

17、为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得:13D(0,0,0),B(1Q0),C(0,3,0),A(0,0八3),E(勺込,0)，13所以AE=(2,2，3),DB=(10,0),22cos=_1AEDB_2_22ae|dblx2222所以AE与DB夹角的余弦值是P(A),.甲应选择路径L；121P(B)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B)=0.1+0.4+0.4=0.9；12P(B)P(B),.乙应选择路径L.212(2)用A,B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)二0.6，P(B)二0.9，又事件A，B相互独立，X的取值

18、是0，1，2,P(X二0)二P(AB)二P(A)-P(B)二0.4X0.1二0.04，P(X二1)二P(AB+AB)二P(A)P(B)+P(A)P(B)二0.4x0.9+0.6x0.1二0.42P(X二2)二P(AB)二P(A)-P(B)二0.6x0.9二0.54，X的分布列为X012P0.040.420.54EX二0X0.04+1X0.42+2x0.54二1.5.(本小题满分14分)1设函数f(x)定义在(0,+8)上,f(1)二0，导函数f(x)二，g(x)二f(x)+f(x).x求g(x)的单调区间和最小值；讨论g(x)与g(丄)的大小关系；x1是否存在x0，使得1g(x)-g(匕)对任意x0成立？若存在，求出x的取值范00 x0围；若不存在，请说明理由.【分析】(1)先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利