高考数学二轮复习专题06 双变量问题（解析版）

1、专题06 双变量问题 【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.【题型归纳目录】题型一：双变量单调问题题型二：双变量不等式:转化为单变量问题题型三：双变量不等式:极值和差商积问题题型四：双变量不等式:中点型题型五：双变量不等式:剪刀模型题型六：双变量不等式:主元法【典例例题】题型一：双变量单调问题例1已知函数，其中（）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明

2、理由；（）求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立【解答】解：（）假设函数的图象与轴相切于点，则有，即显然，代入方程中得，方程无解故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；（）依题意，恒成立设，则上式等价于，要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，在上恒成立（1），则，在上成立的必要条件是：下面证明：当时，恒成立设，则，当时，当时，即，那么，当时，；当时，恒成立因此，的最大整数值为 3例2已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，且存在两个极值点，证明：【解答】解：（1）的定义域为，若，则，所以在单调递增；若，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增；证明：（2）因为存在两个极值点且，所以的两个极值点，

3、满足，所以，不妨设，则，则，要证，只需证，设，则，知在单调递减，又（1），当时，故，即，所以例3已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设如果对任意，求的取值范围【解答】解：（）的定义域为，当时，故在单调递增；当时，故在单调递减；当时，令，解得则当时，；时，故在单调递增，在单调递减（）不妨假设，而，由（）知在单调递减，从而，等价于，令，则等价于在单调递减，即从而故的取值范围为，（12分）例4已知函数，（1）当为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：对于任意，【解答】解：（1）当时，当时，；时，；当时，所以，时，取得最小值（2），时，在单调递减（3）证明：时，当时

4、，；当时，；当时，即时，在和上单调递减，在上单调递增由（2）知，当时，在上单调递减，所以，当时，对任意，（b）（a），即对任意，题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例5已知函数（1）讨论的单调性；（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围【解答】解：（1）的定义域是，令，若，则，恒成立，即，则在上单调递减，若，令，解得：，故时，即，时，即，时，故在递减，在，递增，在，递减，时，令，解得：，故时，即，在递减，综上：时，在单调递减，时，在递减，在，递增，在，递减（2）若存在两个极值点，且，则，由，可得，则，令，且与在上符号一致，所以单调递增，所以（1），即，所以，故的取值范围是例6已知函数，

5、（1）当时，求的极值；若对任意的都有，求的最大值；（2）若函数有且只有两个不同的零点，求证：【解答】解：（1）时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故的极小值是，没有极大值；对任意都有，即恒成立，由，故，故，由知在，单调递增，故，可得，即，当时，的最小值是（e），故的最大值是；（2）证明：要证，只需证明即可，由题意，是方程的两个不相等的实数根，消去，整理得：，不妨设，令，则，故只需证明当时，即证明，设，则，于是在单调递增，从而（1），故，故例7设函数（1）当时，求的单调区间是的导数）；（2）若有两个极值点、，证明：【解答】解：（1）当时，则，显然递减，且（1），故当时，时，故在递增，

6、在递减；（2）证明：，由题意知有2个不相等的实数根，即有2个不相等的实数根，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），而时，故的取值范围是，由，得，故，令，则，故不等式只要在时成立，令，故在上单调递增，即，故在上单调递减，即，故原不等式成立例8已知函数，（1）讨论函数的极值点；（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：【解答】解：（1），令，当时，无极值点，当时，令，解得：，当，时，递增，时，递减，故极大值点是，极小值点是；综上：时，无极值点，时，极大值点是，极小值点是；（2）由，即，令，令，得，当时，当时，在递减，在，上递增，又有2个零点，即，解得：，且，两式相减得：，

7、设，要证明，即证明，即证明，令，在上单调递减，（1），即例9已知，函数（）若，求的取值范围；（）记，（其中为在上的两个零点，证明：【解答】解：（），当时，在上递增，又，故符合题意，当时，在递减，在递增，故，又，解得：，当时，在上单调递增，当时，不符合题意，综上：（2）证明：令，则且，记且，由于，故在和上递减，在上递增，且当时，当时，当时，当时，根据题意可知，且，先证，即证，即证，显然成立；再证，只需证，只需证，即证，又，只需证，亦即，即，由知，故，即得证题型三：双变量不等式:极值和差商积问题例10已知函数（1）若，证明：当时，；当时，（2）若存在两个极值点，证明：【解答】证明：（1）当时，定义

8、域为，在定义域上恒成立，所以在上单调递减，当时，（1），当时，（1），原命题得证（2），若存在两个极值点，则，解得，由韦达定理可知，原命题即证：，不妨设，原命题即证：，由知，即证：，不妨令，原命题即证：，记，则，当时，在上单调递减，（1），原命题得证例11已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若存在两个极值点，证明：【解答】（1）解：因为，则，当时，所以（1），则在处的切线方程为；（2）解：函数的定义域为，且，令，且，当时，恒成立，此时，则在上单调递减；当时，判别式，当时，即，所以恒成立，此时函数在上单调递减；当时，令，解得，令，解得或，所以在，上单调递增，在和

9、，上单调递减综上所述，当时，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在和，上单调递减（3）证明：由（2）可知，则，则，故问题转化为证明即可，即证明，则，即证，即证在上恒成立，令，其中（1），则，故在上单调递减，则（1），即，故，所以例12已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立【解答】解：（1）的定义域为，当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，令，得或，令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减，当时，则，所以在上单调递增，当时，令，得或，得，所以在，上单调递增，在，上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增

10、，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在，上单调递减（2）证明：，则的定义域为，若有两个极值点，则方程的判别式，且，解得，又，所以，即，所以，设，其中，由，解得，又，所以在区间内单调递增，在区间，内单调递减，即的最大值为，所以恒成立题型四：双变量不等式:中点型例13已知函数讨论的单调性；设，证明：当时，；函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明【解答】解：函数的定义域为，当时，则由，得，当时，当，时，在单调递增，在，上单调递减；当时，恒成立，在单调递增；设函数，则，当时，而，故当时，；由可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，故，从而的最大值为，且，不妨设，则

11、，由得，又在，上单调递减，于是，由知，例14已知函数（1）讨论的单调性；（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：【解答】解：（1），当时，单调递增；当时，单调递减；，单调递增，综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则（a）不妨设，要证，即证，即证，即证因为在单调递增，即证，因为，所以即证，即证，令当，时，单调递减，又，所以，时，即，即，又，所以，所以例15已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，求实数的取值范围【解答】解：（1）函数

12、的定义域为，又，对于方程，若，即时，则恒成立，所以在上单调递增；若，即时，令，解得，或，当和，时，当，时，所以在和，上单调递增，在，上单调递减综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；（2）由（1）可知，当时，又，故，由，可得，两式相减，可得，所以，令，所以，则，所以在上单调递减，由的取值范围为，可得的取值范围为，所以，又因为，故实数的取值范围是题型五：双变量不等式:剪刀模型例16已知函数在点处的切线方程为（1）求，；（2）函数图象与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，求的最小值；（3）关于的方程有两个实数根，且，证明：【解答】解：

13、（1）将代入切线方程中，得，所以，又，解得或，又，所以，若，则（舍去）；所以，则；（2）由 （1）可知，所以，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为，曲线在点处的切线方程为，则，因为，所以，所以若，若，所以，若，所以在上单调递增，函数在上单调递增所以；（3）证明：，设的根为，则，又单调递减，由（2）知恒成立又，所以，设曲线在点处的切线方程为，则，令，当时，当时，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故又，所以例17已知函数，是的极值点（）求的值；（）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线求证：曲

14、线上的点都不在直线的上方；（）若关于的方程有两个不等实根，求证：【解答】（）解：；由题意知，；（）证明：设曲线在，处切线为直线；令；在上单调递增，在，上单调递减；，即，即上的点都不在直线的上方；（）由（）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；在上单调递增；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；关于的函数在上单调递增；例18已知函数，（）求函数的极值；（）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：【解答】解：（）由已知得：由得：又当时，单调递增，当时，单调递减，当时取得极大值，极大值为（1），无极小值（3分）（）设，则，曲线在点处的

15、切线方程为：，即曲线在点处的切线方程为：（6分）（）设，令即，则由于在单调递减，故在单调递减，又，当时，当，时，在单调递增，在，单调递减，即，都有；设方程的根为，在单调递减，且，设曲线在点原点处的切线方程为：，则易得，有，即，设方程的根为，则，在单调递增，且，即题型六：双变量不等式:主元法例19已知函数（1）求函数的单调区间和最小值；（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；（3）若，求证：（b）【解答】解：（1） （1分）令得：，；令得：；（2分）在，上为增函数；在，上为减函数（4分）（2）由（1）知：当时，有（b），（6分），即：，（8分）（3）将（a）（b）变形为：（a）（b）（7分）

16、即只证：（a）设函数（8分），令，得：在，上单调递增；在，上单调递减；的最小值为：，即总有：（12分），即：，（13分）令，则（a）（b），（a）（b）成立（14分）例20已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，（）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；（）当时，若（其中恒成立，求的最小值的最大值【解答】解：（）函数的定义域为，其导数为由或，设，当时，；当时，即在区间上递增，在区间上递减，又当时，当时，且恒成立当或时，方程无根，函数只有一个极值点当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，故函数只有一个极值点当时，方程有两个根、且，函数在区间单调递减；，单调递增；单调递减；，单调递增，此时函数

17、有、1、三个极值点综上所述，当或时，函数只有一个极值点（）依题意得，令，则对，都有成立，当时，函数在上单调递增，注意到，若，有成立，这与恒成立矛盾；当时，因为在上为减函数，且，函数在区间上单调递增，在上单调递减，若对，都有成立，则只需成立，当时，则的最小值，函数在上递增，在上递减，即的最小值的最大值为；综上所述，的最小值的最大值为例21设函数（） 求的极值；（）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（）若，证明：解：（）函数，则，令，解得：，且当时，时，因此：的极小值为（）令，则注意到：，若要，必须要求，即，亦即另一方面：当时，恒成立；故实数的取值范围为：构造函数，在上是单调递增的；故（

18、b）（a），即：另一方面，构造函数，在上是单调递减的故（b）（a）即：综上，【过关测试】1已知函数(1)当时，证明函数有两个极值点；(2)当时，函数在上单调递减，证明【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数求导,利用零点存在性定理,判断根的分布,进而可得函数的单调性,即可得极值.（2）分离参数,转化为恒成立,构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.(1)定义域为当时,令时，单调递减，时，单调递增所以使此时时，单调递增，时，单调递减时，单调递增是函数的两个极值点(2)在上单调递减恒成立,恒成立时，令，在单调递减，又，时，又，令令，单调递减，使，即时，单调递增时，单调

19、递减，综上【点睛】本题考查导数的综合应用，极值点，不等式的证明，参数的取值范围，利用导数判断函数的单调性是基本操作，导函数符号对函数单调性的影响，以及零点存在性定理，适当的放缩，把双变量问题通过放缩变成单变量问题.2已知函数，其中，为的导函数.(1)当，求在点处的切线方程；(2)设函数，且恒成立.求的取值范围；设函数的零点为，的极小值点为，求证：.【答案】(1)(2);详见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.（2）先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；先设，求导得.设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性

20、，得到是函数的极小值点，得到，再由得时，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.(1)时，,，所以函数在处的切线方程，即.(2)由题设知，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数.故在处取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；设，则.设，则，故函数在区间上单调递增，由（1）知，所以，故存在，使得，所以，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.所以是函数的极小值点.因此，即.由可知，当时，即，整理得，所以.因此，即.所以函数在区间上单调递增.由于，即，即，所以.又函数在区间上单调递增，所以.3已知函数，.(1)讨论的单调性；

21、(2)任取两个正数，当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.(1).当时，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.当，即时，恒成立，所以在上单调递增.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增

22、，在上单调递减；当时， 在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由题意得，.要证，只需证，即证，即证.令，所以只需证在上恒成立，即证在上恒成立.令，则，令，则.所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以.所以.4已知函数（，）.(1)求函数的极值；(2)若函数的最小值为0，（）为函数的两个零点，证明：.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先由函数的最小值，确定，再结合零点存在性定理确定，可得，再通过构造函数求函数的最小值.(1)（），若时，则恒成立

23、，在上单调递增，故没有极值；若，则当时，单调递减，当时，单调递增，有极小值，极小值为，无极大值.(2)证明：由（1）可知，当时，有最小值，由函数的最小值为0，得，由题知，（），令，则，令，则在上单调递增，又，在上，单调递减，在上，单调递增，得证.5已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，证明【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）求出，对a分类讨论得出函数的单调性即可；（2）化简进而即证：对任意的恒成立，通过求导进而得证.(1)解：当时，当时，则令，则，或，则，综上：当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.(2)有两个极值是方程的两个不等实根，则要证

24、：，即证：不妨设，即证：即证：对任意的恒成立令，则从而在上单调递减，故，所以6已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式现有函数(1)求函数的极值；(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：；证明：【答案】(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析；证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求单调区间，由单调区间即可求出极值；（2）由和可得，由已知条件所给的不等式即可证得；由可得，则，令，构造函数，利用二次求导根据单调性即可证得.(1)函数的定义域为，则当时，；时，即在上递增，上递减，故的极大值为，无极小值(2)结合（1）由，；，可得，由题意可得，从而，即，结合参考的公式可得：，

25、故，且，即，从而有由可得，令，则，所以，则，则，递减，又，故递增，即，即7已知函数（），且有两个极值点(1)求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)不存在；理由见解析【解析】【分析】（1）求导之后，根据导函数在上有两个变号零点，列式即可求解（2），假设存在，由（1）知，则，不妨设，代入，消元得，构造函数（）可知上述方程无实解，故不存在实数a，使成立(1)由题设，知函数的定义域为，且，因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，则有，解得，即所求实数的取值范围是(2)由题意，得，又由（1）知，所以要使成

26、立，只需由（1）知，则只需，即（）由于，所以不妨设，则（）式成立，等价于成立设（），则，所以函数在区间上单调递减，且，所以所以无实数解，即（）式不成立，所以不存在实数a，使成立8已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先写出函数定义域，然后求出，并按，讨论，最后判断即可.（2）由（1）可得，设，计算，化简，计算，换元并构建函数，利用导数判断函数的单调性，最后可证结果.(1)的定义域为，若，则，所以在单调递增若，则由得，且当时，当时，所以在单调递增，在单调递减(2)由（1）可知：当时，函数在上单调递增，故图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而当时，在单调递增，在单调递减，不妨设，则由，两式相减得：，即：，又令，则，从而函数在上单调递减，故，从而，又，所以9设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围；证明：.【答案】(1)当时，在为增函数，当时，在上是减函数，在上为增函数；(2)；详见证明过程【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）利用（1）中的结论求出的范围，根据，构造函数，利用导数研究函数的单调性，得到，即可证明，令，得到，得到，可知，最后根据函数的单调性证明结论成立即可(1)的定义