高三数学一轮复习精练圆锥曲线

1、高三数学一轮复习精练：圆锥曲线、选择题1.两个正数a、b的等差中项是离心率为9 一 ，-,一个等比中项是2_222 J5 ,且a A b,则双曲线与、=1的、a2b2A.B.414c. 54D.y = J：4 - x2有两个不同的. y -02.已知:Q =( x,y) |_.,直线 y =mx +2m 和曲线y 0,b 0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两 a b什、一”-一八1 条渐近线的父点分别为 B,C .若AB = BC ,则双曲线的离心率是()2A.应B. J3C. V5D . VT0.下列命题中假命题是()A.离心率为 亚的双曲线的两渐近线互相垂直2x + y 3=

2、0B .过点(1,1)且与直线x 2y+ V3 =0垂直的直线方程是C.抛物线y2 = 2x 的焦点到准线的距离为1 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 22D. + J=1的两条准线之间的距离为32526.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax (a#0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().2y =： 4x2y = 8x2y = 4xy2 = 8x7.已知直线y =k(x + 2)(k 0)与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点。若FA= 2FB，则k=(A)37 2(B)32 2 (D

3、)32.一 x8.过椭圆一十a2 y b2=1( a b A0)的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点 P, F2为右焦点,若.F1PF2 =60：,则椭圆的离心率为B.也3万=1的焦点，则直线y = kx + 2与椭圆至多2x9.已知双曲线一2y =1的准线过椭圆有一个交点的充要条件是A. K_11IL 2,2B. K.一二二1 .二.,22,C. KD. K -二.2一22210.已知双曲线土2 b= 1(b0)的左、右焦点分别是F1、F2 ,其一条渐近线方程为y=x,点P(J3,y。)在双曲线上.则PFi PF2A. 12B.2C. 0 D. 411.已知圆C与直线x-y=0及xy 4 =

4、0都相切，圆心在直线 x+y = 0上，则圆C的方程为(A)2222(x 1)2 (y-1)2 =2(B) (x-1)2 (y 1)2=2(C)2222(x-1)2 (y-1)2 =2(D)(x1)2 (y 1)2=2212.已知直线1i :4x 3y+6 = 0和直线12：x = 1,抛物线y =4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A.2B.311C.537D.16二、填空题22221.右。O1:x +y =5与。O2:(x m)十 y= 20（mw R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段 AB的长度是2、已知双曲线= 1（a,b w R4）的离心率ew

5、 2,2,则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是.椭圆士 +L =1的焦点为F1, F2,点P在椭圆上，若| PF1 |= 4 ,则| PF2上 92/F1PF2的大小为，_ x y_ _.已知椭圆 二十、=1（a Ab0）的左、右焦点分别为F1（-c,0）, F2（c,0）,若椭圆上存在a b一点P使一-sin PF1F2 sin PF2F1c一，则该椭圆的离心率的取值范围为.若直线m被两平行线lx-y+1=0与L:x-y+3 = 0所截得的线段的长为 2V2,则m的倾斜角可以是1530, 4560：75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）.已知以双曲线 C的两个焦点及虚轴的两

6、个端点为原点的四边形中，有一个内角为则双曲线C的离心率为四27.若抛物线y2 = 2px的焦点与双曲线=1的右焦点重合，则p的值为、解答题.(本小题满分12分，(I )问5分，(n)问7分)已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x离心率e =、5 5(I)求该双曲线的方程;(n )如图，点A的坐x2 +(y - J5)2 =1 上的点，点MA + MB的最小值，并求此时.(本小题满分14分)22_设椭圆E:0+与=1 (a,b0 )过M (2, 亚),N( J6,1)两点，O为坐标原点， a b(I )求椭圆E的方程；(II )是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个

7、交点 A,B,且OA_lOb ?若存在，写出该圆的方程，并求 |AB |的取值范围，若不存在说明理由。.(本小题满分12分)x2 y2、 3，过右焦点F2 或 =1(a b 0),，一、一已知椭圆aC: b3的离心率为2两点，当l的斜率为1时，坐标原点oHU(I)求a,b的值;(n) C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时，有OP=OA OB成立?若存在，求出所有的 P的坐标与1的方程；若不存在，说明理由。.(本小题满分14分)2如图，已知圆G : (x2)2+y2 =r2是椭圆x +y2=1的内接 ABC的内切圆，其中A为16椭圆的左顶点.y*(1)求圆G的半径r;(2)过点M (0,

8、1)作圆G的两条切线交椭圆于 E,证明：直线EF与圆G相切.(本小题满分12分)已知，椭圆C以过点A (1,-),两个焦点为(1,0) (1, 0)。2求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效 )2222 ,如图，已知抛物线 E: y =x 与圆M : (x -4) +y =r (r 0)相交于 A、B、C、D四个点。(I )求r的取值范围(II)当四边形 ABCD的面积最大时，求对角线 AC、BD的交点P的坐标。D.(本小题满分14分)22已知直线x2y+

9、2=0经过椭圆c ：x2+2=1(a b0)a b的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S和椭10圆C上位于x轴上方的动点，直线， AS, BS与直线l : x =103分别交于M ,N两点。(I)求椭圆C的方程；(n)求线段MN的长度的最小值；(出)当线段 MN的长度最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点T ,使得ATSB的面积为1 ?若存在，确定点 T的个数，若不存在，说明理由5.(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。X22V已知双曲线c: -y =1,设过点A(4J2,0)的直线l的方向向量e=(1,k)当直线l与双曲线C的一条渐近线 m平行时，求直

10、线l的方程及l与m的距离;证明：当kY2时，在双曲线C的右支上不存在点 Q,使之到直线l的距离为 J6。参考答案一、选择题.【答案】：D【解析】：由已知得 a+b =9,ab = 20,； a b/. a = 5,b = 4 ,，二 c = Ja2 +b2 =V41,c 41， e =，选 D。a 5.【答案】：D解析：已知直线y=mx+2m过半圆y = ,4 x2上一点(2, 0),当P(M)=1时，直线与x轴重合，这时m=0,故可排除 A,C,若m 2=1 ,如图可求得当 P(M )=,故选D.2 二.【答案】：A【解析】：解：过点B作BM _Ll于M,并设右准线l与X轴的交点为N,易知F

11、N=1.由题意 TOC o 1-5 h z T .22 22-FA=3FB,故|BM | =.又由椭圆的第二定义，得|BF |= J,| AF =42.故选32 33A.【答案】：C【解析】对于 A(a,0 ),则直线方程为x + ya =0,直线与两渐近线的交点为B, C,-a a2 ab、a2ab、 口以B,C(，)，则有(a +b a +b , a -b a -b口 , 2a2b2a2b、F ab ab用BC=H_5、2),AB = l , I,因a -b a -ba b a b2AB = BC, 4a2 =b2,. 0 = 5/5 .【答案】：D【解析】：对于A ： e = 2 , a

12、 = b ,渐近线y = x互相垂直，真命题.对于B ：设所求直线斜率为 k,则k= 2,由点斜式得方程为 2x+y 3 = 0 ,也为真命题.对 于C:焦点F ( 1,0)，准线x = 1 , d = 1真命题.对于D ： a = 5 , b = 3 ,a 25c = 4, d = 2=假命题,选D .c 2【总结点评】本题主要考查对圆锥曲线的基本知识、相关运算的熟练程度.以及思维的灵活性、数形结合、化归与转化的思想方法.【答案】：B.a【解析】：抛物线y2 = ax (a = 0)的焦点F坐标为(一,0)，则直线l的方程为_ a a.1a ay =2(x -)，匕与y轴的交点为 A (0,

13、 -一)，所以 OAF的面积为一 | 一 | 一 h 4,解得 422 42a =坊.所以抛物线方程为 y2=8x,故选B.【命题立意】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想 ，因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做到合二为一.【答案】：D【解析】：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0),FA二2FB及第二定义知xA +2 =2(xB +2)联立方程用根与系数关系可求k=U3.22【解析】因为P(-c,),再由/

14、FiPF2=60有-=2a,从而可得故选3B9.【答案】：A2【解析】易得准线方程是 x = _ a = _2 = _1b 2所以c22=a2 -b2 =4b2 =1即b2 =3所以方程是 42=13联立y= kx+2 可得 3x2+(4k2+16k)x+4=0 由 AW0 可解得A10.由题知 b2 = 2Vq= V32 =1,F1(-2,0),F2(2,0),PF1 PF；=(2 -、,1).(2U5,1) = 3 4+1 = 0,故选择 C22【解析2】：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程上上=1,则左、右焦点坐标22分另1J为Fi(2,0), F2(2,0),再将点P(J3,y0)代

15、入方程可求出P(J3,1),则可得PFi PF2 =0,故选 C。11.【答案】B【解析】圆心在 x + y = 0上，排除C、D,再结合图象，或者3证A、B中圆心到两直线的距离等于半径亚即可.【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线l2:x = -1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于 P到抛物线的焦点 F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2 = 4x上找一个点P使得P到点F (1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l1:4x 3y+ 6 = 0的距离，即14 -0 6|-,dmin = = 2 ,故选择

16、Ao解析2 :如下图,由题意可知d3.1二06|二2 ,32二、填空题.【答案】：4520二4。解析：由题知 Oi（0,0）,O2（m,0）,且 J5|m|c3j5,又 OiA_lAO2,所以有m2 =（屈2 +（2%5）2 =25= m =5,AB =2兀兀.【答案】：4,3. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 2222【解析】：依题意有 72 -2 , . 2-c24 ,即 2ML2b- E4 ,1 E与 E3 ,aaaa得 1 - V3, . -e 0,解得e -72 恢e C -1又e w(0,1)故椭圆的

17、离心率e ( .2-1.1)c【解法2：由解析1知PF1 = PF2由椭圆的定义知a TOC o 1-5 h z c2a2PF1+PF2 =2a则一PF2+PF2 =2a即PF2 = ，由椭圆的几何性质知 ac a2a25 999PF2a+c,则0,所以 e +2e 1A 0,以下同解c a析1.本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。3 -11【解析】：两平仃线间的距离为d = ,= J2 ,由图知直线m与11的夹角为30 ,11的倾斜角为45,所以直线m的倾斜角等于30o +45 =75或45o -30 = 15。故填写叱或.【答案】：2【解析】连虚轴一

18、个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角b分别是b,c(b是虚半轴长， c是焦半距)，且一个内角是 30 ,即得b = tan30 ,所以cc = J3b ,所以a = J2b,离心率e = * =耳= TOC o 1-5 h z a 22.【答案】：6 .【解析】：本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识.一x2 y22P双曲线1=1的右焦点F (3,0 )是抛物线y =2px的焦点，所以， 一 = 3, p=6632三、解答题1. 1.解：(I)由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark1

19、27 o Current Document X22厉x2 _ y2 =1 (a0,b0),设 c = Ja2 +b2 ,由准线方程为x =22 y .X - - = 1 ；4 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document a b5得c=J5解得a = 1,c=J5从而b= 2,二该双曲线的方程为a(n)设点D的坐标为(J5,0),则点A、D为双曲线的焦点，|MA | |MD |=2a = 2所以 |MA|+|MB|=2+|MB|+|MD |A 2+|BD| , v B 是圆 x2 + (y 君)2 = 1 上 的点，其圆心为C(0, J5),半径为1 ,故

20、|B D丰|C D| 1/ 1+0 1而 |M A|十 |M B| 五 |BD/出 0 1当M , B在线段CD上时取等号，此时|MA |十|MB |的最小值为 J10 + 1二直线CD的方程为y = -x +，5,因点M在双曲线右支上，故 x 02 y2 =4y 二一x.5解得 x=52,y =345-4.2-.5 4.2 4.5 4 2所以M点的坐标为(70 42,45 42).22,N( J6,1)两点,一 一一，一 x V .,2.解：(1)因为椭圆 E: 二十上2=1 (a,b0 )过M (2a b42.1 HYPERLINK l bookmark21 o Current Docum

21、ent a2b21所以a b61一二1 2,2a b11=a2 8 解得a 811b24a2 = 8所以 2b2 =4x2椭圆E的方程为十8(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OA-LOB，设该圆的切线方程为丫=女丈mi方y 二 kx m 程组| x2v2得七幺二184x2 +2(kx + m)2 =8,即(1 + 2k2)x2+4kmx+2m2 -8 = 0,则= 16k2m2 4(1+2k2)(2m2 -8) =8(8k2m2 +4) 0,即 8k2 -m2 +404 kmx1 . x2 二一21 2k2m2 -8x#2 :21 2k221/

22、、2yy2 二(kx1 m)(kx2 m) = k xx? km(x x2) m2 _2_22k (2m -8) 4k mz2- 21 2k 1 2km222m - 8kZ2-1 2k要使旧需使 TOC o 1-5 h z _2_2 一 22m -8 m -8k、01 2k21 2k23m2 -8k2 8=0，所以 k223m - 82至0又8k2r 2 m m+4 a 0 ,所以223m2 _8，所以，因为直线y = kx +m为圆心在原点的圆的一条切2 82.6 ,2.6m 之一，即 m2或 m 或m W ,而当切线的斜+ =1的两个交点为842.3 津行）或228x + y =-，此时圆

23、的切线 y = kx + m都满足 32.6 一率不存在时切线为x = 土与椭圆3）满足OA_L OB,综上,存在圆心在原点的圆y2使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点 A,B,且OA _L OB .4 km TOC o 1-5 h z X r2 二22k2因为122k2m -85x2 二2 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document .21 2k2所以（）X2）2-4叱（-深）2-42m228(8k2m2 4)1 2k2(1 2k2)2IAB 尸 J(x X2)2 +(% f f = J(1k2)(x1 -x2)2(1 k2)一一 228(8k

24、-m 4)(1 2k2)232 4k4 5k2 13 4k4 4k2 132 1 k23 1 4k4 4k2 1，当k #0时| AB| =321】3 1 ：13 4k2 k2421因为4k +不+428所以0c k24k112 4 k232 32 rd 1所以 一 ：一 1 -3321/4k = 4 k20)相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根49-4(16-r2)0 _叵 运5x1 + x2 = 7 0 即r -2。解这个方程组得 r 0-4 r 4设四个交点的坐标分别为 A(x,JX)、B(x1,JX)、C(x2,JX2)、D3,JX2)。则由(I)根据韦

25、达定理有x1+x2 = 7, xx2 =16 r2, r w (上15,4)2 TOC o 1-5 h z _.人S 二2| x2- x1| ( jxi丁，x2)=| x2- xi| (. J xi，x2)S2 =(为 x2)2 -4x1x2(x1 x2 2jx1x2)=(7 2.16 r2)(4r215)令 J16 r2 =t,则 S2=(7+2t)2(72t)下面求 S2 的最大值。方法1 ：由三次均值有:_ 221S2 =(72t)2(7 -2t)(7 2t)(7 2t)(14-4t)21 7 2t 7 2t 14 -4t三2(3 1 28 3)3 (一)323当且仅当7 +2t =14

26、 -4t ,即t = 7时取最大值。经检验此时r w (冷，4)满足题意。法 2 ：设四个交点的坐标分别为A(xi,Jx1)、Blx1Jx!)、C(x2,JxT)、D(x2,Jx2)则直线AC、BD的方程分别为y - xi =(x - Xi )解得点P的坐标为(JX1X2，。)。设 t = Jx1 x2 ,由 t = x,16-r2 及(I)得 t 亡(0,1)4由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积1s=2(2 %2 x2 ) | xi - x2 |则 S2 =(x1 +2% x1 x2 + x2)(x1 + x2)2 4x1 x2将 x1 + x2 =7 ,寸 x1x2 = t 代入上式，并令f (t) =S2,等2327f(t)=(7+2t) (7 -2t)= -8t -28t + 98t + 343(0 t 一)，2f(t) = 24t2 -56t + 98 = -2(2t + 7)(6t-7),令 f(t)=0 得 t = 7,或 t = _7 (舍去) 62当 0 t 0 ;当 t =工时 f(t) = 0 ;当7 t 1时，f(t) 0,故可设直线 A