电磁场与电磁波答案

1、第5章时变电磁场5.1有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B=Q5costmT之中，如题6.1图所示。滑片的位置由x=0.35(1-cos.t)m确定，轨道终端接有电阻R=0.2，试求电流i.ab000110.2mR:o0OQ14d2I0.7m题6.1图解穿过导体回路abcda的磁通为-B|_dS二ezBJezadab=5cos，t0.2(0.7-x)cost0.7-0.35(1-cos，t)=0.35cost(1cost)故感应电流为.Ein1dIRRdt10.35sint(12cost)-1.75sint(12cost)mAR5.2根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀

2、磁场B=ezB0中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为E二vB二erezB0二err-B0故介质棒内的极化强度为P=Xe%E=er(%1)気B=erC)B极化电荷体密度为1鬥1鬥P(rP)(；-；0)r2B0rcrrcr-2p)B。极化电荷面密度为p=Pn=erQ齢)rcoBerr=(名B则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为QP二二a21二-2二a2(；-；0)，B02Qps=2二a16=2二a(；-；0)七05.3平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设a=0.2m、b=c=

3、d=0.1m、i=1.0cos(2兀x107t)A，求回路中的感应电动势。解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为d在回路中都是式中Ein-JdtBdSFB左dSB右dS%iEin址B2兀(b+c+d_r)bc,_oiB左dS二*s0aibcadr=ln()2二r2-b.严%iaib+cB右dS-adr-ln()sd2二(bcd-r)2二b-2迪心)dt2二b一加1n(bC)Q1.0cos(2二107t)r，a2b2bdtx10Jx0277ln2sin(2二107t)2二107VJI=3.484sin(2二107t)V5.4供应电压

4、解有一个环形线圈，导线的长度为I，分别通过以直流电源供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度设导线材料的电导率为，横截面积为S,则导线的电阻为lR=YS而环形线圈的电感为L,故电压方程为U二RiL电dtdi-0当U=U时，电流i也为直流，dtU0和时变电源。故U。二Ri二JS二丄J=E此时导线内的切向电场为E=U：叫0当U=U(t)时，dt，故U(t)二Ri(t)L警二RE(t)SL(E(t)S)dtdt二丄E(t)SLS也SdtdE(t)IE(t)U(t)dtLS一LS求解此微分方程就可得到E(t)。5.5一圆柱形电容器，内导体半径为a,外导体内半径为b，长为I。设外加电压为Uos

5、i，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同(准静态电场)，即U0sincotE=errIn(ba)故电容器两极板间的位移电流密度为:DU0coster二.rIn(ba)id二Jds2二；IdS；ererrddzrIn(ba)亦U0COStCU0COSt.:t2二；IDd.二訪.TT7d，dS=qsE=erq4二；r2C=式中，ln(ba)是长为I的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为ic=CC；Uocostdt可见id-ic6.6由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度

6、公式和泊松方程。解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于lE=0，可取E，则得7:D-E-2=P即得泊松方程5.7试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程:坐标中；(3)在球坐标中。解(1)在直角坐标中;在圆柱(2)(1)在直角坐标中汨z汨ycz汨X出z；z.:x:Hy:y-:Ez：Ey:y.:z:Ex迟:z:x:Ey迟.X：Bxy.X:y：Dy:x仁Hz：H-r:zrHr汨z:z:r1亠(rH)-r:r仁Ez:E.r:.z：Ez在圆柱坐标中二JxDx；：t：Dyy；：t:Q；:tjt=Hy=:：tHo:z.-z:tJ牛仁Hr=jr：z

7、(3)在球坐标系中:z：r：t1仁Eri-(EA-.:Hz從J1(rBr)皂=0r.rr-z仁(D)-卫至r.rr/.z-亠（sinH）-rsin11；Hrrsin；：严)JcDr=Jr；：tqrtJ冶屮ctct1牴*(列7警、rH(r2Br)丘邙曲旳丘手=1；：21；：1：Dr1片（rHJr；r1rsin一r5.8提示解将已知的式中已知在空气中E色in10二xcos：侦-，求日和二:将E代入直角坐标中的波方程，可求得：。电场E应满足波动方程-21“E-%心ctE二eyEy代入方程，得-22:zEy.:x2-2:Ey小2x:Ey2:z=0-2.:Ey厂=0.:t2-0.1（10：）2sin10

8、二xcos（6109t-4）=0.1sin10二x-：2cos（6二109t-Z）故得则由竺一092ct=0.1%；sin10：x-（6二109）2cos（6109t-1z）-（10二）2-12%；o（6二109）2=0:二300=54.41rad/m.H-:t:H11r：Ey：EyqE-exez.:t丄0J0Z；x1_ex0.1：sin10二xsin(6二109t-z)J09fez0.110二cos10二xcos(6二10t-z)将上式对时间t积分，得1H-ex0.1：sin10二xcos(6二109t-z._06-10口ez二cos10二xsin(6二10t：z)=-ex2.310sin1

9、0二xcos(6二10-t-54.41z)-ez1.3310，cos10二xsin(6二10t-54.41z)A/m5.9已知自由空间中球面波的电场为E=e寸Eosinvcos(t-kr)求H和k。解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k,也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。由.H.:t-eE0sinTcos(t-kr)r:r将上式对时间将上式对时间kt积分，得E0sinrsin(t-kr)kH=eE0sinvcos(，tkr)(1)呱r将式(1)代入旦Ht；0er-01:1

10、乙2(rsi门汕)-e(rsinH)rsinrsin.r2kE0,、k2E0sin日“,J,2cost_kr)_e日0sint_kr)将上式对时间t积分，得k2E2匕S何一灯忘SC0S紐一Ek2E2匕S何一灯忘SC0S紐一E将已知的将已知的E=eEosincos（，tkr）r与式（2）比较，可得1含孑项的Er分量应略去，且k=.吐。；0，即k将k=护忑代入式（1），得H=eE0sincos(，tkr)0r二e二e-Esin日cost-kr)A%r5.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用解注意到非均匀媒质的参数7；是空间坐标的函数，因此5.10试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀

11、媒质中用解注意到非均匀媒质的参数7；是空间坐标的函数，因此E和B表示麦克斯韦方程。=亦11BB42卩而11BB42卩而j卫“3二j三t抚ct因此，麦克斯韦第一方程.:t变为E1、B-Jt；-丄*!BCt卩又D-（；E）=EE二亍故麦克斯韦第四方程D=-变为、E则在非均匀媒质中，用、E则在非均匀媒质中，用二丄；EE和B表示的麦克斯韦方程组为B；工丄ZBct4、E=:B.:tn题6.12图abcda,ab=cd二I,bc=da二：h0对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得QbcHdlaHdlbHCdad|cHd|dHdl二啊0(.Jds-dS)SS(1)5.11写出在空气和二的理想磁介质之间分界面上

12、的边界条件。解空气和理想导体分界面的边界条件为nE=0n汉H=Js根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式EH.-E.JsrJms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件H2nH=0nE=-Jms式中，Jms为表面磁流密度。5.12提出推导nH1二Js的详细步骤。y-co解如题6.12图所示，设第2区为理想导体（2-）o在分界面上取闭合路径.D因为rt为有限值，故上式中rcDIjmdS=0h：0s；：t而（1）式中的另一项因故式（1）可表示为为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有I工(Nn)I(2)(Hr-H2)(Nn)I=J

13、sNI应用矢量运算公式A(BC)=(CA)B，式(2)变为n比-H2NJsN故得n(H1-H2)=Js由于理想导体的电导率2=：:,故必有E2=0,H2=0，故式(3)变为nH1=Js5.13在由理想导电壁(=二)限定的区域0乞x岂a内存在一个由以下各式表示的电磁场：aT!xEy二Ho=：()sin()sin(kz-，t)TOCo1-5hz兀aa兀xHx二Hok()sin()sin(kz-t)兀a兀xHz二Hocos()cos(kz-t)ax:?.jr_Jrjr.jrjrJr/jfrjrjjr_jrjrao11题6.13图这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？解如题6.13

14、图所示，应用理想导体的边界条件可以得出在x=0处，Ey=0,Hx=0Hz=Hcos(kz-，t)在x=a处，Ey=,Hx=Hz-H0cos(kz-，t)上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量Hx。另外，在x=0的表面上，电流密度为Js二nHlx/ex何Hx飞乙氏)=ex沃ezHz乂出=eyH。cos(kzcot)在x=a的表面上，电流密度则为Js=ZH|x孑Yx“exHx+。乙出儿三=_只ezHzx=-eyH0cos(kz_cot)5.14海水的电导率=4S/m，在频率f=1GHz时的相对介电常数；r：81。如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于

15、良导体，例如铜，；r=1,=5.710S/m比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解对于海水，H的微分方程为YH=Jjj；E=jG-j-)Ecoy呂c=名一j一即把海水视为等效介电常数为-的电介质。代入给定的参数，得、E=j2-109(8110J36742二109二j(4.5-j4)E=(4j4.5)E对于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度，；E。故位移电流与传导电流的幅度之比为192-f102f-r-0二Y-5.7X107=9.7510-13f可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的

16、。故对于铜,为、HiE=5.7107EH的微分方程5.15计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度矢量为S=EH二eyEyGHxezHz)二exEyHz-ezEyHx=exHo?sin(x)cosx)sin(kz-t)cos(kz-，t)兀aa2a221X2ezH0，k()sin()sin(kz：t)兀a-exH：sin()cos()sin2(kz-，t)2aa2a22：1X-ezHk()2sin2()1-cos2(kz-，t)兀a为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式.ax-ikz士2Ey二H。丄()sin()e2兀aanx-ikzHx=Hk()sin(

17、)e2兀aHz=H0cos(-)eza故平均能流密度矢量为11*Sa2ReEH*=?ReexEyHz-ezEyHx.JI12iax、/二x、j2iReexH0sin()cos()e2-ezH0兀aak(a)2sin2(x)=-ezH；-兀a22sin2(Ja5.16写出存在电荷和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。解存在外加源和J时，麦克斯韦方程组为IH7；主(1)-:t(2)(3)(4)对式（1）两边取旋度，得7:7:H二血JCE)ct7:7:H-H2H、CH=2H二、JCE)et(5)将式（2）和式（3）代入式（5），得%曲空=%过2这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。同样，对式（

18、2）两边取旋度，得7:7:ECct、（、Ej，ECHct将式（1）和式（4）代入式（6），得-2-2E=1丄、ra2抚农此即E满足的波动方程。对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示H=Jj；EE=-jlHH=0厂Pz对式（7）两边取旋度，得7:H=J-j沁它E利用矢量恒等式二：H-（IH-v2H得、（、H?2H二Jj；讥化E将式（8）和式（9）代入式（11），得V2H+2；H二J此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。同样，对式（8）两边取旋度，得7:E=_八H即C-E_、2H=H(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)将式（7）和式（：10）代入式（12），得221、

19、E+，；E二jJJ-此即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。5.17在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件,试导出A和所满足的微分方程。解将电磁矢量位A的关系式而采用所谓的库仑规范，令A二i.，B=亦A和电磁标量位;：的关系式;A：=t代入麦克斯韦第一方程cDVH二J土1门HC?A)二J,&(“=J+s京申；:t利用矢量恒等式A八(；?A)_I2Ac-A(、A-、2A=J(A).:t(1)又由E=、(、.)Ct按库仑规范，令2（A）二-:t;A=0,将其代入式（1）和式（2）得罟A科2AAJ小产（）Ct2Ctp2=-式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和所满足的微分方程。(2)(3)(4)5.18设电场强度和磁场强度分别为E=EoCOSt-e）H=H0COStZm）证明其坡印廷矢量的平均值为1SavpE0HoCOSe-J)解坡印廷矢量的瞬时值为S=EH二EoCOS,：；-,tJe)H0COS(，tm)1E0H0COSCte亠Ctm)COSte-tm1E0H0【COS