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1、 第九章 第七节一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度16-1一、方向导数若函数则称其极限值为 在点 处沿方向 的方向导数，记为 或 ，即在点 处的为一非零向量， 如果存在下列极限: 某邻域内有定义，为自点 沿方向 发出的射线， 点 ，1. 定义16-2 当 与 轴正向同向时，当 与 轴正向反向时，当 与 轴正向同向时，当 与 轴正向反向时，方向导数是单向导数； 偏导数是双向导数. 注1：16-3例1. 求函数 在点 处沿任意方向 的方向导数 .解： 注意到 在点 处不可偏导，所以沿任意方向的方向导数存在 可偏导注2：方向导数存在可微16-4例2.讨论函数在点处沿方向 方向导数的存在性。解:方

2、向 表明射线 为 .此时，所以,方向导数不存在.2、方向导数的存在性与计算16-5定理1: 在该点沿任意方向 的方向导数均存在 ,证明: 由函数且有在点 处可微 ,得故若函数处可微，则在点 其中, 为 关于 轴正向的转角.16-616-7 解 : 有所以 例4.求函数 在点P(2, 3)沿曲线朝 增大方向的方向导数.解:沿曲线朝 增大的方向指的是切线方向（如图）.进而得所以16-83.三元函数情形函数称为函数 在点 处沿方向 的 在点 沿方向其中，方向导数.16-9定理2.则函数在该点沿任意方向 的方向导数存在 ,且有例5.求在点 P(1,1,1)处沿方向的方向导数 .解:由 得 16-10二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向： 方向导数最大的方向；模 : 的最大的方向导数。方向导数取最大值：16-111.定义：即同样可定义二元函数称为函数 在点 记作(gradient),在点向量注：梯度的方向为 方向导数最大的方向，处的梯度为 梯度的模为 的最大的方向导数.处的梯度 16-1216-132. 梯度的基本运算公式16-14内容小结1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 (方向角为16-152. 梯度 三元函数

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