高一数学必修一,四知识点总结

1、高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定 的集合的元素。（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一 个元素。（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是 否一样，不需考查排列顺序是否一样。（4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性

2、。3、集合的表示：抑我校的篮球队员, 太平洋,大西洋印度洋，北冰洋.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aCA , 相反，a不属于集合A记作a是A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表 示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是

3、直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是x正R| x-32或x| x-32、集合的分类：.有限集含有有限个元素的集合.无限集 含有无限个元素的集合.空集不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系.包含”关系一子集注意：有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AS B或B A.相等”关系（55,且5W5,则5=5）实例：设 A=x|x2-1=0B=-1,1元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任 何一个元素都是集合A的元素，我们就说集

4、合A等于集合B,即：A=B任何一个集合是它本身的子集。AG A真子集:如果A三B,且Aw B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）如果A2 B, B C，那么a2 C第1页共12页如果A B同时B3 A那么A=B.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作 AnB（读作“应 B”，）即 An B=x|xCA,且xCB.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并 集。记作：AUB（读作“肝 B”，

5、）即 A U B=x|x C A,或 xC B.3、交集与并集的性质：AAA = A, An（j）=（）, APB = BA A, AUA = A,AU（）= A ,AUB = BUA.4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的 集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：酎A即邑A =x | x C S且x* A（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全 集。通常用U来表不。（3）性质：CU（C UA）=A （C UA）nA=二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对

6、应关系f,使对于集合A中的任 意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f: A-B为从集合A到集合B的 一个函数.记作：y=f（x）, xCA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的 值相应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）| xC A 叫做函数的值域.注意：2如果只给出解析式y=f（x）,而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式 子有意义的实数的集合；3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据 是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根

7、的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4） 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. （5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合（6）指数为零底不可以等于零（6）实际 问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。）构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系 决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全

8、一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致（两点必须同时具备）（见课本21页相关例2）值域补充（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 （2）.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域 的基础。第2页共12页3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xCA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x CA)的图象.C上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满

9、足y=f(x)的每一组有序实数对x、 y为坐标的点(x, y),均在C上.即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xC A 图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个 交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系 内描出相应的点P(x, v),最后用平滑的曲线将这些点连接起来B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

10、发现解 题中的错误。4 .快去了解区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示.5.什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意 一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A -B为从集合A到集 合B的一个映像。记作f fA一 B”给定一个集合A到B的映像，如果aCA,bCB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫 做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的； 对应法则有方向性”，即强调从

11、集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的； 对于映射f： A-B来说，则应满足：(I)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象 是唯一的；(n)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(出)不要求集合B 中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否 是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的 定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义 域的特征.注意啊：解析法：便于算

12、出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代 入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用 一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把 它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果y=f(u),(uC M),u=g(x),(xCA),则 y=fg(x)=F(x), (xCA)称为f、g 的复合函数。例如：y=2s

13、inXy=2cos(X2+1)第3页共12页7.函数单调性(1).增函数设函数y=f(x)的定义域为R,如果对于定义域R内的某个区间D内的任意两个自变量xi, X2,当 x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇 清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值xi, x2,当xif(x2),那么就说f(x) 在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)1

14、,且n N*.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n/a表示.式子Va叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent) , a叫做被开方数(radicand)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a的正的n次方根 用符号表示，负的n次方根用符号一:名表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成ni(a0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作/0。注意：当是奇数时，当是偶数时，.分数指数哥正数的分数指数哥的意义，规定：0的正分数指数哥等于0, 0的负分数指数哥没有意

15、义指出：规定了分数指数哥的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指 数哥的运算性质也同样可以推广到有理数指数哥.(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y=ax叫做指数函数(exponential ),其中x是自变量，函 数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.图象特征函数性质.向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R.图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数.函数图象都在x轴上方.函数的值域为R+第5页共12页.函数图象都过定点(0, 1).自左向右看图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越

16、缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：二、对数函数(一)对数.对数的概念：一般地，如果a=N,那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=loga N ( a 底数，N-真数，log一对数式)两个重要对数：lg、ln1常用对数：以10为底的对数；2自然对数：以无理数为底的对数的对数.(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0, +8).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。图象特征，函数性质.函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0

17、, +).图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数.向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R.函数图象都过定点(1, 0)自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下降(三)哥函数1、哥函数定义：一般地，形如y=xa的函数称为哥函数，其中a为常数.2、哥函数性质归纳.(1)所有的哥函数在(0, +8)都有定义，并且图象都过点(1,1);a0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间(0,+ 8)上是增函数.特别地，a0时，哥函数的图象在区间(0,+ 8)上是减函数.第三章函数的应用、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),把使f(x) =0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。2

18、、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x) =0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴 交点的横坐标。即：方程f(x) =0有实数根，函数y=f(x)的图象与x轴有交点，函数y=f(x)有零点.函数零点存在结论：若函数y =f ( x)的图象在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，且f (a) - f (b)0,方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与y= ax2+bx+c=0轴有两个交点， 二次函数有两个零点.A=0,方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数丫= ax2+bx+c=0的图象与X 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

19、0,方程ax2+bx+c=0无解，二次函数丫= ax2+bx+c=0的图象与X轴没有交点高一数学必修4R角：按逆时针方向旋转形成的角1、任意角1负角：按顺时针方向旋转形成的角 岂角：不作任何旋转形成的角2、角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 a为第几象限角.第一象限角的集合为 匕k 360C a k 3600 +90,kw第二象限角的集合为 匕k 360C+90C，k 360 +1800,ks zJ第三象限角的集合为 匕k 360C+180； k 360，+270, kw Z）第四象限角的集合为 Q k 360C+270C 0),则 sinu =、，co

20、sot =- , tana =(x#0).rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正， 第四象限余弦为正.11、三角函数线：since =MP , cosa =0M , tana = AT .12、同角三角函数的基本关系：1 sin2.二+cos2二,=1.2.22. 2- sin ;.(sin a =1 -cos a,cos a =1 -sin a )； (2)=tanacos-sin a I sin = tan 口 cos,cos 口 =Itana J13、三角函数的诱导公式：(1 后in(2kn +a )=sina , cos(2kn +a )

21、=cosa , tan(2kn +u )= tana (k = Z ).(2 )sin(n +口)=sina , cos(n +二)=cosa , tan(n +)=tana .(3)sin(- )= -since , cos ) = cos , tan(7户tana (4)sin 俨一豆产sina , cos(n 一口 户cos , tan( - )= -tan .口诀：函数名称不变，符号看象限.(5月一一久 l=cos。，cos - -a 1=sina.226 sin = cos -，2口诀：奇变偶不变，符号看象限.14、函数y = sin x的图象上所有点向左(右)平移|中|个单位长度，

22、得到函数y =sin(x +平)的图象；再将函数 y =sin(x +平)的图象上1所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的,倍(纵坐标不变)，得到函第8页共12页数y =sin（x+中）的图象；再将函数 y = sin（cox十中）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（ox +中）的图象.1函数y =sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 ,倍（纵坐标不变），得到co巴个单位长度, 0函数y = sincex的图象；再将函数 y = sinx的图象上所有点向左（右）平移得到函数y = sin （cox十中）的图象；再将函数y = sin

23、（ccx十中）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（cox+中）的图象.函数y = Asin (cox +甲 。龄0 )的性质:;相位：cox +中；初相：Ymin ；当x=x2时，取得最大值2 二1振幅：A ;周期：T =；频率：f =一 二 丁 2 二函数y = Asin （cox +邛）+B ,当x = x1时，取得最小值为、，1_1为 ymax ,则 A =2(ymax - ymin ), B ( ymaxymin ),y = tan x定 义 域 值 域1-1,111-1,11ji4 x x= kn + ,kZ SI 2 J当 x=2k

24、n*wZ )时,ymax=1；当 x = 2kn+n31x = 2k 二-一2(YZ )时，ymin =一1既无最大值也无最小值(k Z)时,ym第9页共12页周2二期性奇奇函数偶性在 2k 二一 一，2k 二 一_22单 (kw Z )上是增函数；在 调性二 3二2k 二 3,2k 二偶函数奇函数在2kn n,2kn J(k三Z )上是增函数；在2k二，2 k二 二J(kwz )上是减函数.(k eZ)上是减函数.对称中心 k二,0 k /对:对称轴称性 x 二 k二万 k 二)I nk二一，0 k /-216、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起

25、点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的 相等向量：长度相等且 方向相同的向量. 17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.三角形不等式:， 冗，,几在 k二一 一，k二(kwz )上是增函数.对 称 中 心k 二3,0 k 一无对称轴非零向量.零向量与任一向量平行.bl运算性质：交换律：a+b=b+a；结合(a+b )+c=a+(b +C)； a+0 = 0+ a= a .坐标运算：设 a =(x1, y1 ), b =(x2,y2 ),则 a +b = (x1 +x2,y1 +y2

26、).第10页共12页a - b = -C - -i -三 C18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.“、“一一、_ 4一 耳坐标运算：仅 a =(x1, y1 ), b =(x2,y2 ),则 a b =(x1 %, y1 y2 ).设A、B两点的坐标分别为(。乂)，(x2,y2)，则星 =(x1 -x2, y1 - y2).19、向量数乘运算：实数九与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a.儿a =i 向；当九：0时，儿a的方向与a的方向相同；当儿0时，九a的方向与a的方向相反；当九=0 时，K a = 0 .运算律：九(2a尸邑夕；(九+卜)a=

27、%a+谒；九1a+b)=九a+力上.坐标运算：设 a = (x, y),则九a =九3y )=(Kx,九y ).20、向量共线定理：向量a(a00)与b共线，当且仅当有唯一一个实数九，使b=?a.、才彳.彳设 a = (x1，y1 ), b = (x2, y2 ),其中 b #0 ,则当且仅当 x1y2 x2yl = 0 时，向量 a、b(b * 0 )共线.21、平面向量基本定理：如果己、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面* T TT T内的任意向量a ,有且只有一对实数 %、%，使a =+%q .(不共线的向量0、%作22、分点坐标公式：设点P是线段为这一平面内所有向量的一组基底)PE上的一点，PP2的坐标分别是(Oyj (x2,y2),当P1finPPzXH，点P的坐标是23、平面向量的数量积:a b =ilb】lb cos”a 0,b #0,0，we E180