高中数学新教材变式题10导数变式题

1、十、导数变式题(命题人：广大附中 王映)一导数的概念与运算1。如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为()A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s解析：.$ =6t2,，s晨=54.答案：C变式：定义在D上的函数f (x),如果满足：Vx D ,三常数M 0 ,都有| f (x)|M成立, 则称f (x)是D上的有界函数，其中 M称为函数的上界.1又(1)若已知质点的运动万程为 S(t)=+at,要使在tw0 ,十8)上的每一时刻的瞬t 1时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.理(2)若已知质点的运动方程为 S(t) = J2t +1

2、at,要使在tw 0 , +比)上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数 a的取值范围.解：.-1(1) s (t) =2+a(t 1)，一.-1，由 |S(t)|w1,得 |r + a|w1(t 1)Jt+1)2一1(t 1)2a _1, a - -112(t1)1(t1)2人1,令g(t) =t+1，显然g(t)在0,f)上单调递减,(t 1)2则当 t一+8时，g(t) 1. a 0 0w aw 1 ；故所求a的取值范围为0w aw 1.1.1(2) S(t) = .-a.由|S(t)|w1,得 | ,-a|w1. 2t 1, 2t - 1.2t 1 a1一 T12t 1

3、12t 1人1,1令 g(t)=,，则 g (t)=-.2t 1(2t 1)3+的)时，有 g (t) 0 ,当 t一+8时,g(t) = ,0,2t 1111,g(t) u (0, 1,从而有 .-11.0 a 1;.2t 1, 2t 1故所求a的取值范围为0w a 1.2.已知x）=1，则鸣2+墨一2）的值是（A. - 1B. 2 C. 1D.44解：)-2由导数定义 f (x0) = limj(x0：x)-f(x0)得 lxm0f (2：x) - f (2)x=f(2)=12 x x=21、，=一选 A4变式1:设f _h2选B.变式2：设f （x诈x可导，则妈,一）0-3）等于A.2f

4、 xB . f (x。)3f x.4f x.解:嗯f XoLX - f Xo -3tXf Xo LX - f (Xo) f(Xo) - f Xo -3. xLXf Xo：X -f(Xo)Xf Xo ： X )-f(Xo)3叫33.xf Xo-3.：X)-f(Xo)3.x=f(Xo) 3f (Xo) =4f(Xo)二选D 3 人教版选修1 1第84页例2,选修22第8页例2:根据所给的函数图像比较曲线h在to,t1,t2附近得变化情况。变式:函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是(A.o 二 f/(2)二 f 73)二 f(3) - f(2)B.o 1(3)二 f(3) -f(2):：

5、-(2)C.o :二 f/(3)二 1(2)二 f (3) - f(2)D.o 二 f(3) - f (2) f (2) ； f (3)解：设X=2,X=3时曲线上的点为 A、B,点A处的切线为 AT 点B处的切线为BQ,yOf(3) - f(2) f(3)-f(2) =3.2f (3) =kBQ, f 二!,如图所示，切线 BQ的倾斜角小于 直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角3所以选B4 人教版选修1 1第93页习题A组第4题，选修22第18页习题A组第4题, 求所给函数的导数:(文科)y =x3 log2 x; y = xnex; y =sinx 。(理科)y = (x+1)99; y=

6、2e*y =2xsin(2x+5)变式：设f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当xv 0时，f 0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x) 0的解集是()A. (-3,0)U(3,+ oo)B. (-3,0)U (0, 3)C.(巴3)U(3,+ 8)D. (8, 3) U (0, 3)解：由已知得当x :二川,(f (x)Lg(x) . 0即当x 0,. xq =1/.切点为(1,e), k =e,由点斜式，得：y _e = e(x_1)，即：y = ex. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 变

7、式2：函数y= ax2+ 1的图象与直线y= x相切，则a=()A. 1 B. 1 C. - D. 1842解：设切点为 名/),；y|x点= 2aM,，k =2ax0 =1，又:点(x0,y0)在曲线与直线上， HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 即3 y。二或十11y0 = xo1由、得a=z ,选b说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2.求切线方程的步骤是：(1)明确切点；(2)确定该点处的切线的斜率(即该点处的 导数值)；(3)若切点不明确，则应考虑先设切点 .6.人教版选修1

8、1第99页例2选彳2 2第25页例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 一3一2(1)f(x)=x 3x;(2) f(x)=x -2x -3;f (x) =sin x -x, x (0,二)；f (x) =2x3 3x2 -24x 1.变式1：函数f(x) =x e/的一个单调递增区间是A. 1-1,01 B. 2,81 C. 1,21 D. 0,21解：f(x) = x e,=2(x)e/x ex /ie 0,A x0.v e 0,，x1.(理科要求：复合函数求导)1变式2：(1)已知函数y =-x3+x2+ax-5(1)若函数的单倜递减区间是(-3, 1),则a的值 3是. (2)若函

9、数在1,+s)上是单调增函数，则a的取值范围是.解：(1)若函数的单调递减区间是(-3 , 1) u (-3,1)=卜f(x)0, (2)若函数在1,收)上是单调增函数=1,f 以f (x) 一0： 解：(1) y = x2+2x+a,因为函数的单调递减区间是(-3, 1) u (3,1) = k f(x) 1=a：a = 3 (草图略)(2)若函数在1,收)上是单调增函数如图示，分类讨论：当AW0,即44aw0,即a1产a 0： 0当卜10综上，a之4产条件成立，a兰一3为所求.变式3：设t#0-忒p (t, 0)是函数f(x) =x3+ax与g(x) =bx2+c的图象的一个公共点,两函数

10、的图象在点 P处有相同的切线.(I)用 t表示 a, b, c；(n )若函数y = f (x) - g (x)在(1, 3)上单调递减，求t的取值范围.解：(I)因为函数f(x), g(x)的图象都过点(t, 0),所以f(t) = 0, .32即 t +at=0.因为 t#0,所以2 = t . 2g(t) =0,即 bt +c =0,所以c = ab.又因为f(x), g(x)在点(t, 0)处有相同的切线，所以 f(t) = g(t).而 f (x) =3x2 +a, g(x) =2bx,所以3t2 +a = 2bt.将a = H2代入上式得b=t.因此c=ab =伫故a = t2 ,

11、 b = t, c = t3.(II)解法一 y = f (x) -g(x) =x3 t2xtx2 +t3,y = 3x2 2txt2 =(3x + t)(x t).当 y = (3x +t)(xt) 0 时，函数 y = f (x) g (x)单调递减.由 y0,则t xt；若 t 0,则t x t . 33由题意，函数 y= f (x) - g(x)在(一1, 3)上单调递减，则(-1,3产(-=t)或(-1,3)匚(t,一；).33所以t -3或-工-3.即1三-9或t -3.3所以t的取值范围为(,923,收).解法二：y = f (x) - g(x) = x3 t2x -tx2 t3

12、, y = 3x2 - 2tx -12 = (3x t)(x -t)因为函数 y = f (x) -g(x)在(一1, 3)上单调递减，且 y=(3x + t)(x t)是(一1, 3)V|x”0, jD.上的抛物线,73+t)(-1-t) 0._解得tM9或t之3.(9+t)(3t) 0.所以t的取值范围为(-二，-9 一 3,二).7.人教版选修1 1第103页例4 ,选修2 2第29页例43 一 一求函数f(x)=x 4x + 4的极值.3人教版选修1 1第106页例5 ,选修2 2第32页例5求函数f (x) =1x3 -4x + 4在10,3上的最大值与最小值.变式1：函数f(x)的

13、定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,f (x)在开区间(a,b)内有极小值点()1个2个3个4个解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数。选A变式2：已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx在点Xo处取得极大值5 ,其导函数 y = f (x)的图象经过点(1,0), (2,0),如图所示.求：x0的值；(n) a,b,c 的值.解：(I)由图得 TOC o 1-5 h z X (0,1) 1 (1,2) 2(2,二)f(x)0-0f(X)，极、极/大小值值则 x0 =1；f(1)

14、=5a+b+c = 5(n)依题意得 f f (1)= 0 即 ,3a+2b+c=0f (2) =0 J2 a + 4b + c = 0a = 2, b = -9, c = 12 .变式3:4右函数f (x) = ax bx+4 ,当x = 2时，函数 “*)有极值一一，3(1)求函数的解析式；(2)若函数f(x)=k有3个解，求实数k的取值范围.解：f x = 3ax 3 函数f(x)= - x 4x + 4 的图 -b(1)由题意：4 f(2)-3f(2) =01a 二一解彳# a 3b =41 3所求解析式为f x = x -4x 4 3由(1)可得：f x = x2 -4 = x -2

15、 x 24当x = 2时，f (x )有极小值一 一3y=k令 f(x)=0,得 * = 2或* = 2当x变化时，f (x )、f (x)的变化情况如下表:x(-毛,-2 )- 2(-2,2)2(2尸)f仅)+0一0+f (x )单调递增/283单调递减43单调递增/因此，当x=-2时，f(x)有极大值283由图可知:k ：283312O ,、变式4：已知函数f(x)=x -一x 2x + c,对xw一1,2，不等式f (x) c恒成立, 2求c的取值范围。解：f (x) =3x2-x-2= (3x + 2) (x-1),函数 f (x)的单调区间如下表：X/2、323/2(一 一，1)31

16、(1,十f(x)十0一0十f (x)极大值极小值f (x) =x3 x22x + c, xw一1, 2，当 x = - 2 时，f (x) = + c 为极大值,2327而f(2) =2 + c,则f(2) =2+ c为最大值。要使 f (x) f (2) =2+c解得c 2三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题8.人教版选修1 1第108页B组习题，选修2 2第34页B组习题利用函数的单调性，证明：lnx :二x :二ex,x 01.变式 1：证明：1 一 Wln(x+1)wx, x -1 x 1证明：(1)构造函数 f (x) = ln(x+1 )x,1-x一 .一 一 f (x)

17、=1=(x-1),当 x = 0, f (0)=0,得下表x 1 x 1-1 x 0f以)+0一f(x)单调递增极大值f(0)=0单调递减二 x a1,总有 f(x) -1),当 x = 0, f (0)=0,x 1 x 1当1x0, f(x)单调递增，,1x0, f(x)0, f(x)0, f (x) _1 时，f (x) 0, 1 ln(x +1 J- x 0,ln(x +1 ) x. TOC o 1-5 h z 1，11x(2)构造函数 g(x) = ln(x +1) +-1, = g (x) =-2 =r ，x 1x 1 x 1 i ix 1当 x=0, g(0)=0,当1x0, g(

18、x)0, g(x)A0,g(x)单调递增；, x = 0, g(x)极小值= baNmin =g(0)=0,11-、二 x a1,总有 g(x)之 g(0) =0,. ln(x +1) +1 之0,即：1 一 ln(1 + x).x 1x 11综上(1) (2)不等式1 ln(x+1 )0,得 x1,由 g (x)01 x x 1得1x1.所以g(x)在0, 1上递减，在1, 2上递增，为使f(x)=x2+x+a在0, 2上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在0,1)和(1,2上各有一个实根，于是有g(0) -0,4g(1) 0,解得22m2 a 0恒成立，求实数m的取值范围解：由 f (

19、x) =3x2 +3 30,得 xw 10 产)f (x) A0, f (x)单调递增；又 xW (笛,收)x wf (x) =(x 3 +3(x )= -x3 -3x = -f (x),所以 f (x)是奇函数. f (mx2 )+f (1 mx)0. f (mx2 )f (1 mx)= f (mx 1), f (x)在(一,依)上单调递增，二mx2 mx1恒成立，即：mx2 mx + 1 )0恒成立，分类：当m=0时,10恒成立，m=0适合；一. 一 2m0-当m#0, mx mx+10恒成立u2解得：0Mm 4;、 = m - 4m 0 0 e i,恒成立，求实数 m 3 0 ,得 x三

20、(-0o,+=c , f (x) 0, f (x)单调递增；又 x W s” , _xW( o,) f (-x) =(-x 3 +3(x )= -x3 -3x = -f (x),所以 f (x)是奇函数.1 f (msin ef (1 m )= f (m -1), TOC o 1-5 h z (it(it: msin 9 m -1 0 9 i恒成立，即. m(1 -sin 6) 1 0 9 i恒成立.2 J2；1当日=一,01 成立；m w R；当 0 wH 一，, m(1sine )1u m 。221 - sinm :二/11 c .八八/1/ , 0 sin6 1,. 0 1 -sin6

21、1,. m1v1-sine Jmin1sine210.如图，曲线段OMB是函数f(x) = x (0 WxW6)的图象，BA_Lx轴于点A,曲线段OMB上一点M(t,t2)处的切线PQ交x轴于点P交线段AB于点Q若t已知，求切线PQ的方程 (2)求AQAP的面积的最大值解：(1) f (x)=2x,所以过点M的切线的斜率为k = f (t)=2t由点斜式得切线 PQ方程为y -t2 =2t(x t),2即y =2txt TOC o 1-5 h z 1Tli(2) S为AP =g|AP Laq| =&(6 -xp)JyQ对令x=6得yQ =12tt2令y=0得xP =工2代入得 S QAP J(

22、6 -)L(12t -t2) -1t3 -6t2 36tQ 2243 2S &ap = t -12t +36 ,令 S4ap =0 解得 t =4或t =12(舍去) 4T(0,4)S+S增4(4,6)0-极大值64减所以当t=4时SSAP有极大值64, 所以当t=4时，AQAP的面积的最大值为 64.11.用长为90cm宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一 个小正方形，然后把四边翻折 90角，冉焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的 容积最大？最大的容积是多少？解:设容器的高为x,容器的体积为V.则 V =(90 -2x)(48 -2x)x,(0 x 24)=4x3 -276x2 +4320 x. V =12x2 -552x 4320 x由 V =0得 x1 =10,x2 =36(舍去)一， 一， 0 x 0;10 x24 时，V0所以 当x=10,V有最大值 Vg =19600又 V(0) =0 ,V(24) = 0所以当x = 10 时，V(10)=19600答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积1960