椭球面上的基本计算

1、第七章椭球面上的基本计算 1地球椭球的基本知识个具有物理性质的曲面。一、地球形状的概念地球的自然表面一一不规则;不能在上面进行计算；大地水准面一一平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然 表面；.大地水准面具有性质:大地水准面上任一点处的垂线（重力方向） 与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1: 300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。.各点处切面组成的曲面-一大地水准面亦不规则，有微小起伏，是实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到 大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水

2、准面上的角值;2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准 面上;3 ）地面点的高程亦从大地水准面起算。结论:大地水准面是测量外业的基准面;但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。大地体一大地水准面包围的形体；地球椭球一-代表地球形体的旋转椭球体;椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲 面；总地球椭球-一与大地体最接近的地球椭球。应满足：其中心应与地球质心重合；旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；体积应与大地体体积相等；总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。参考椭球一一与某一局部大地水准面密切配合的椭球。二、椭球的几何元素与参数1。椭球的元素长半径：

3、a短半径力椭球的参数扁率：a=（ab） /a第一偏心率：e=、a2 -b2/a第二偏心率：e = a2 -b2 /b式中：va2 -b2 -椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3。关系式a = b-1 - e2b = a 1 - e 2e = e: （1 - e 2） e = e（1 - e，2）（1+ e 2） （1e2）=1e2=2a a 2 2a（a-1/300）我国解放前使用海福特椭球等。解放后，我国的“ 1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国 家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS）采用的是WGS84椭球参数。这三个椭球的元素和 参数参见P

4、2表71。练习及作业：1。阅读控制测量学上册，1.2 1。2.1、1.2。2控制测量学下册，7。1思考如何理解大地水准面是测量外业的基准面？为什么不能作为测量计算的基准面？如何旋转椭圆得到参考椭球？2椭球上点的位置的确定一、椭球上点的高程位置的确定大地高H大一一地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。大地高可以由以下两种方法求得：H大=丑正+N式中:H正B点的正高高程N 大地水准面差距（见大地重力学中斯托克司公式）H大=常+式中：H常B点的正常高高程Z-高程差异或高程异常（见重力测量学）因正常高能精确求得，z亦能严密解算，故，此方法是严密的。（注:大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不

5、超过4m,在平均海水面上两面重合,即H=H。常；B点法线与重力线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）二、椭球面上点的平面位置的确定椭球面上的线和圈子午圈一一包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。平行圈一一垂直于短轴的平面与椭球面的交线；亦称纬圈、纬线。 最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短轴的平面与椭球面的交线，称为 赤道。法截面、法截线一一包含某点法线的平面称为法截面,法截面与椭球 面的交线称为法截线。卯酉圈-一与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。2。椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统大地坐标系统（8、L）大地经度L过P点的子午面与起始子午面构成的两面角

6、； 由起始子午面起算，逆转向东为正（东经0180），顺转向西为 负（西经0180）；大地纬度B过P点的法线与赤道平面的夹角；由赤道平面起算，向北为正（北纬090 ），向南为负（南纬090）。子午面直角坐标系统（L,x，j）L大地经度；x，j-子午面内的平面直角坐标系统；子午面与赤道平面的 交线为x轴，椭球短轴为j轴。空间直角坐标系统（X，Y，Z）o参考椭球的中心X起始子午面与赤道面的交线Y-一在赤道面内，垂直X（右手系）Z-与椭球短半径重合3。坐标系统间的关系大地坐标系与子午面直角坐标系的关系点在两坐标中大地经度L相同，推导大地纬度B与直角坐 标x，j的关系如下：因曲线在P点处的一阶导数里就是

7、P点处曲线切线的斜d x率，即：- = tan（B + 90 ） = - cot Bd x又，对子午椭圆方程式挡+子=1微分，有:即：W = -f因 b = a1 e2，故:2 x 2 j d j + W = 0 a 2 b 2 d x即:也即:将（1）式代入椭圆方程，得:由（1）, （2）两式可得:d y /i 、X =-(1 - e 2)- d xy一.X-cot B = -(1 - e 2) yy=xtanB (1 e2)x2x2 tan2 B(1 -e2)2一+= 1a 2(2)x = a cos B = a cos 户v1 - e2 sin2 BWa(1 - e2)sinB a .y

8、 =(1 - e 2) sin B1 - e 2 sin 2 B W大地坐标系与空间直角坐标系的关系空间M点的大地坐标为L, B, H;其空间直角坐标为X, Y,首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下:Xm=&cosLYm=xmsinL(1)Z =ymm又,从右图可知：xm=xp+HcosB=(a/W)cosB+HcosBym=yp+HsinB = (a/W)(1 e2)sinB+HsinB” 将(2)代入(1)得:Xm=xmcosL=(N+H)cosBcosLYm=xmsinL=(N+H)cosBsinLZm=ym=(NNe2+H)sinB式中：N=a/WZ.(2)(3)Ne2=a

9、e2/W练习及作业：阅读7。2浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的（731）、（7-32。）、（734）式2。作图并复习定义大地坐标系子午面直角坐标系空间直角坐标系3。思考大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系？大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系？3 几种主要的曲率半径一、子午曲率半径M已知，平面曲率半径公式（1 1当B=90时，N = 1，即极点处M = N =竺。竺称为极半径。Mb b三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半径RaA大地方位角定义PQ方向的大地方位角Apq为:过P点法线和Q点的平面，与P点子午面 之间的夹角（由正北顺时针计）.2。大地方位角为A的法截弧曲率半径欧拉公式

10、:故：1 cos2 A sin2 A=- Ra M NAN cos 2 A + M sin 2 A由上式知：ra 0 =m； ra 90 =n/.=，=、wA： 090180时,Ra： MNM曲率半径具有对称性，即对称位置的法截弧在P点有相同的曲率半径。四、平均曲率半径R1。平均曲率半径定义设过P点可以做2丸/A个法截线，各法截线的大地方位角为：0， /A,2/A，“,2n/ A;过P点的各法截线曲率半径平均值为：斗则平均曲率半径r = iim R = limm项2兀AA2。平均曲率半径计算公式兀2R = 4 JN cos2 A + M sin2 A 2兀0MN（顾及曲率半径的对称性）贝R =

11、与兀0将上式改化成j-dt = arctant的形式，分子、分母除以MN，有: 1 + 12、：MN下M . 4,cos 2 A +、sin 2 AMN任R =司兀0、M TOC o 1-5 h z =d A Nz M分母提取公因式,cos 2 A(1 + (, tan A)2)：MN丹 HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 2 2、/MN: M1=J=.d A兀:MN cos 2 Al +(t N tW2设* =即A，d* = *己dA,积分上下限也变则R =MN j- = 2VMN - (arctan*) = -yMN(- - 0) = MN兀

12、0 1 + * 2兀0 兀2所以，平均曲率半径r = JMN练习及作业：阅读7.3 浏览7。3.3主曲率半径的计算；7.3。6及表74、7-52。思考子午曲率半径和卯酉曲率半径，当B由090。时的变化；子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系；什么是大地方位角？4弧长的计算一、子午线长度由图知：dS=MdB即：dS=a(1e2)(1e2sin2B)3/2dB故：Sb2 = jB2 dS = jB2 a(1 -e2)(1 -e2 sin2 B)-3 2 dBB1B1B1=a(1 - e2) jB2 (1 - e2 sin 2 B) -3 2 d BB1求积分过程：将积分项用二项式定理(形如下式)展开

13、:(1x)n= 1nx+(1/2!) n(n 1) x2 (1/3 ! )n(n1)(n2) x3 + .应用三角函数积分递推公式逐项积分(先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数，形如下式):sin2B =1/2( cos2B)/2整理合并同类项，得子午线上弧长P16, 7-97式。该式B1=0 (即从赤道起算的子午弧长公式)。(注:当弧长SW40km,可把子午圈视为圆弧，圆的半径为其中纬度Bm=(B1+B2)/2处的子午曲率半径Mm，则子午弧长公式为：S=Mm （B2B1） Tp 。该式精度当SW40km时，可达1mm。）二、平行圈长度由图知：S=l rr=NcosB（麦尼尔第二定律）,lS =

14、 N cos B P”式中：N卯酉曲率半径B平行圈所处的大地纬度l-弧长S所对应的经度差由上式知，相同经差l的平行圈长度S,因所处纬度B不同而不同。练习及作业：阅读 浏览7。4.4 观察表7-6数值 5相对法截弧与大地线一、相对法截弧图中：N1, N2-A, B点的曲面法线Ka,K厂-A, B点曲面法线与旋转轴交点OKa=AiKa A1O=A1KayA=NSinBa （1e2）sinB1 （1 e2sin2B1）1/2=ae2sinB1（1e2sin2B1） -1/2OKb = ae2sinB2（1亿而22由上可知，椭球面上点的法线与旋转轴的交点：1）交点位置仅与点的纬度B有关；2）若两点 B

15、2B1，则有 OKbOKa；3）B相等（平行圈上）的所有点，其法线交短轴于一点;4）乙相同，B不等的所有点的法线，与旋转轴相交不在一点，但在一个平面内；5）B=0（赤道上）所有点的法线交于椭球O点；6）L不同，B不同的两点，其法线将在空间交错，而互不相交。设在椭球上（忽略垂线偏差的影响）A点和B点分别安置经纬仪，仪器纵轴分别与Aka，BKb重合，则：由A照准B-AaBKa法截面一AaB截线；由B照准ABbAKb法截面一BbA截线。由上述6）可知，两法截线N，N2空间交错，故两法截面AaBKa与BbAKb不重合。所以，两法截线AaB与BbA不重合，称：AaB与BbA为A、B两点间的相对法截弧。A

16、aB为A的正法截弧，B的反法截弧；BbA为B的正法截弧,A的反法截弧；相对法截弧通常不重合，造成在椭球面上A，B，C三个点测得的角度（各点 的正法截弧之夹角），不能构成闭合三角形.故，有必要在两点间选一条单一的方向线一一大地线，得出由大地线组成的 单一闭合三角形.二、大地线定义及其性质1。几个概念（微分几何概念）1）密切平面：“包含曲线上一点处的切线和曲线上无限趋近该点的另一点” 的平面；2）法线：曲线上“正交于切线的一切直线；3）主法线：曲线上“位于密切平面内的法线”；4）曲面法线：曲面上“与一点处切平面正交的线段”。2.大地线定义及其性质1）定义微分几何定义：大地线上每点的密切平面包含该点

17、的曲面法线；或：大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合；或：曲面上两点间的最短线叫大地线。2）性质椭球面上的大地线是一条空间双曲率曲线（子午圈和赤道是特例）;大地线是两点间距离最短的曲线.3）旋转曲面上大地线的克莱劳定理r sinA = C式中：7一一大地线上某点所在的平行圈半径A-一大地线在该点的大地方位角C-一常数定理的几何意义：就旋转椭球面而言，大地线上各点的平行圈半径7与大地方位角的正弦的乘积为一常数。由克莱劳方程可知椭球面上大地线所经历的路线.图中为大地线从赤道上。点处，以方位角A.出发所经历 的路线，一般不再返回到。，而是到达。点（大地线沿子午圈：A = 0、赤道:A = 90。

18、才能返回原点）。练习及作业：1。阅读 7.5 7.5。1 : 思考作图并理解相对法截弧不重合;从几何意义上理解大地线；理解大地线在测量计算上的意义. 6地面观测值归算到参考椭球面上一、建立大地坐标系基本原理建立大地坐标系，就是确定代表地球形体的椭球的形状与大小（椭球参数）、中心的位置（定位）以及椭球 旋转轴的方向（定向）。椭球参数的确定椭球参数是通过弧度测量求得的.在前空间大地测量时代，（近代）弧度测量利用天文、大地、重力测量资料，求得适合于局部范围的椭球 几何参数。进入空间大地测量时代以来，测量精度不断提高，在全球尺度上已达到几个厘米的量级。在这种精度的基 础上，以前无需考虑的地球动力学因素

19、现在必须加以考虑。同时，空间大地测量极大发展，促进现代弧度测量 整体利用地面、空间的几何、物理大地测量数据，求得适合全球范围的几何和物理两个方面的椭球参数椭球定位局部定位:在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心不必重合地心定位：在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳符合椭球中心与地球质心重合。椭球定向规定应满足双平行条件椭球短轴平行地球自转轴大地起始子午面平行于天文起始子午面综上：满足双平行条件，经局部定位的椭球，叫参考椭球。参考椭球上的坐标系叫参心坐标系。满足双平行条件，经地心定位的椭球,叫总地球椭球。椭球上的坐标系叫地心坐标系。2。参考椭球定位与定向天文坐标系天文坐标系

20、的概念参考面-重力等位面（大地水准面）；P点的天文子午面一一过P点的铅垂线，且平行地球旋转轴的平面；本初子午面-1884年：格林威治天文台艾里中星仪所在的子午面；1968年：平均天文台子午面；P点的天文经度-P点的天文子午面与本初子午面之间的两面角（入）P点的天文纬度一一P点的铅垂线与地球赤道的夹角（中）天文方位角aP -一过P点垂线和Q点的平面，与P点的天文子午面之间的夹角。天文、大地坐标的比较天文生标大地坐标参考面大地水准面椭球面投影依据重力线的切线方向（铅垂方向）法线方向确定点位及方向入 f,H 常，apQ（实测得到）L，B，H 大，Apq（计算需要）测量中作用外业测量的基准内业计算的基

21、准参考椭球定位与定向一点定位选一个定位标准点R用天文的方法，精确测定该点的天文坐标入0,中0,该点至另一点Q的天文方位角a0彪, 以及该点至大地水准面的高程H正。人为地假定参考椭球面上点P0的大地坐标、方位角、高程为：L0=X0； B0=中0； A0=a0H JH 正从而通过P点，使选定的参考椭球体与大地体的相互位置关系确定下来尸。点处大地水准面与参考椭球面 重合。P0点称为大地基准点，其定位数据称为大地基准数据。除P0点外的其它点：1）有垂线偏差（地面点对大地水准面的垂线，与对参考椭球面的法线不重合，二者夹角u为垂线偏差）2）有大地水准面差距N。（注：垂线偏差的大小、方向，与参考椭球的大小、

22、形状、定位有关，故也称为相对垂线偏差）多点定位多点定位是以多个点（如我国1980国家大地坐标系椭球定位，是在全国均匀地选了 922个点），按工Z2= min （ Z-一高程异常）解算。这样，使局部（如我国境内）椭球面与大地水准面达到最佳密合，但对于坐标原点， 大地水准面不再与椭球面相切，铅垂线与法线不重合而存在垂线偏差u。大地原点和大地起算数据依据大地原点的天文观测值，通过椭球定位计算出大地原点在大地坐标系中的数据lk，bk，hk及至某一相 邻点的大地方位角1。这些数据用来推算控制网中其它点的坐标。LK,BK，Ak叫做大地测量基准，也叫做大地 测量起算数据，大地原点叫做大地基准点，也叫做大地起

23、算点。二、地面观测值化算到椭球面上化算内容：地面观测值椭球面元素天文经纬度入，中大地经纬度L、B （天文测量学）天文方位角a大地方位角a通过标石中心的方向值大地线方向平均高程面上的长度S。椭球面上大地线长度s1。天文方位角a归算为大地方位角A在地面上进行天文观测时，经纬仪的纵轴与垂线重合，因垂线与法线之间存在垂线偏差，故地面上测定的 天文方位角a与大地方位角A不同.（不加推导），给出天文方位角归算为大地方位角的公式如下：A = a（入一L）sin中或：A = a ntan 中式中：a点到另一点的天文方位角（天文观测得到）入，中点的天文经纬度（天文观测得到）L点的大地经度（推算得到）n 垂线偏差

24、的卯酉分量（查垂线偏差图或物理大地测量得到）上式称拉普拉斯方程式，由它算得的方位角称拉普拉斯方位角。国家一二等大地网中，规定每隔一定间隔 测定天文经纬度和天文方位角（控制测量学上册P15、P16）。其目的：1）利用天文方位角和天文经纬度计算 拉普拉斯方位角，控制整个大地网的定向；2）根据天文经纬度和大地经纬度，计算这些点的垂线偏差（垂线 偏差的子午分量&=中一B；卯酉分量n=（入一L）cos中），其余点的垂线偏差由物理大地测量得到。2.方向值归算到椭球面上（三差改正）垂线偏差改正数6图为以测站P为中心的单位圆。图中:P测站M-一照准点PZ-一法线方向PZ-垂线方向u垂线偏差垂线偏差的子午分量和

25、卯酉分量a 1-观测方向的垂直角N-北方向由于u存在，观测方向M时，引起方向值的改正数为66u=（sinAncosA）tana 1式中：&、n-可从垂线偏差图内插得到A-PM边的大地方位角R2 = R1+6u式中r2以法线为准的方向值R1以垂线为准的方向值通常，因&、n很小，a0,故6 u很小，只有在一二等网才规定计算此项但在山区或垂线偏差变化较大 地区，三四等网亦应计算此项.下面给出6 u的数值概念：E、 n /Apm尸a pm 尸，6 u /500 300。051000 300。1010315 （sinA，cosA反号）3 000.74照准点高程引起的改正一一标高差改正5 , h如图：A已

26、做过垂线偏差改正，即A点处经纬仪纵轴与椭球面法线一致；-A、B两点沿各自的法线在椭球面上的投影为P1、P2。按归算要求，地面点应沿各自的法线投影到椭球面上,所以AB在椭球面上的方向应是PP2的方向。-实测由A照准B点时,法截面ABKa在椭球面上得到的法截弧是PP , PP 与PP的夹角5%是由B点的高程引起，1 21 21 2h方向归算到PP 2方向。8= e2H cos2 B sin2Ah 2M221h2/m5h/2000.0210000。0840000。32式中：m2-一照准点的子午曲率半径H2-一照准点的大地高，H疔H常+ Z +vA1测站点至照准点的大地方位角b2-一照准点的大地纬度表

27、中给出5 h的数值概念.若：B2=30 ;A12=45正法截弧方向归算到大地线方向的改正数一-截面差改正5g经过5u，5h改正后，已经将地面观测之水平方向值，化算为椭球面上的相应法截线方向。因相对法截线 一般不重合，所以应将椭球面上法截线方向加截面差改正5g，化为大地线方向. P8 =e2S2 cos2 B. sin2Ai式中:叫一一1点处的卯酉曲率半径，以公里为单位S-1、2点间的距离，以公里为单位B1点的纬度A1-1至2点的大地方位角（注:相对法截弧之间的角差二 一e2S2 cos2 B. sin2A）i5是一项很微小的改正，仅在国家一等网方向计算时顾及. g至此，归算到参考椭球面上的方向

28、值：L=l+c+r+ 5+5h+5g式中:l测站平差值c、r-归心改正数5 u、5 h、5g-三差改正3。将地面测量的长度归算到参考椭球面上基线尺量距的归算1）垂线偏差对长度归算的影响由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面；基线尺测得的长度值经倾斜改正 后，可认为是基线平均水准面上的长度值S，首先应将其改成平行于椭球面的该高程面的长度S。假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u对长度归算影响为:.(u + u) 2 u”AS = 1了Z Ah = -m (H H )式中：U,u2-1,2点处，垂线偏差在基线方向上的分量H，H21、2点的大地高此项改正较小，且与垂线偏

29、差分量u1,u2及两端点大地高差H2-H1有关， 及精度要求具体分析。是否需要改正，需结合测区情况2）高程对长度归算的影响经过垂线偏差改正后， 在椭球面上的长度S为：得到平行于椭球面的基线高程面上的基线长度S = J = 1 + HmS RR即:HS = S (1 +m) -10 R其/2展开取至二次项:式中：Hm=（H1+H2）顾及垂线偏差对长度归算的影响，地面基线长度归算到椭球面上的长度公式为:S = S (1 + %) -1 + um (H - H )0 R p21电磁波测距的归算已知大地点Q,和Q2之间用电磁波测距仪测得的直线距离。，求大地点Q1和Q2沿法线在椭球面上的投影 点Q/和Q；间的大地线长度。推导公式过程中有两点近似：1）椭球面上两点间的大地线