高考数学总复习两角和与差、二倍角的公式一

1、2008高考数学总复习 两角和与差、二倍角的公式(一)知识梳理1.C (“ + B)的推导角”的始边为OX,交单位圆于Pi,终边OP2交单位圆于P2,角3的始边为OP2,终边交 单位圆于P3,角一3的始边为Ox,终边交单位圆于P4,由1Plp3 | = |P2 P4 |,得cos ( a + 3 ) 1 2+sin2 ( a + 3 ) = cos ( 3 ) cos a 1 2+ sin ( 3 ) sin a.二 cos ( a + B ) =cos a cos 3 sin a sin 3 .2.S(s)、C(-s)、T(,s)以及推导线索(1 )在C(a+)中以一3代3即可得到C ( a

2、 ).(2)利用cos (乌一a ) =sina即可得到S(“ + B)；再以一3代3即可得到S(-B). 2(3)利用tan” = sinC(即可得到cos 二说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式,才能用活公式.点击双基1. (2004 年重庆，5) sin163 sin223 +sin253 sin313 等于A. - 1B. 122八3、3C. D.解析：原式=sin17 (sin43 )+( sin73 )(sin47 ) = sin17 sin43 +cos17 cos43一 1=cos60 =.2答案：B2. (2005年春季北京，7)在 A

3、BC中，已知A.直角三角形C.等腰直角三角形2sinAcosB=sinC,那么 ABC一定是B.等腰三角形D.正三角形解析：由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin (A+B), l- 2sinAcosB=sin AcosB+cosAsinB.cosAsinB sinAcosB=0.sin (B A) =0.，B=A.答案：Bc 2 cos10 -sin 20 e3.的值是A.12sin 70,3B.2解析：原式=2cos（30 -20）-加20sin 70二 2(cos30* cos20=+sin30*，sin20 sin 200sin 70=3cos200= 3co

4、s20答案：C.,兀、一，兀、, 一 、33-5 E,r .4.已知 aC (0,一)(一?兀), sin ( a + B ) = , cos3 = 贝U sin = =.解析：由0VaV三，三3兀，得+ 3v3I TOC o 1-5 h z 2222故由 sin ( a + 3 ) = 33 ,得 cos ( a + 3 ) = 566565由 cos3 = 5 ,得 sin 3 = 121313. ， 一、 一， 一、 一一、一 33,5、 . sin a =sin ( a + 3 ) 3 =sin ( a + 3 ) cos 3 cos ( a + 3 ) sin 3 =(一) 6513

5、/56、12507=.6513845答案：5078455.4ABC 中，若 b=2a, B=A+60 ,贝U A=.解析：利用正弦定理，由b=2a= sinB=2sinA= sin (A+60 ) 2sinA=0= J3 cosA 3sinA=0=sin (30 A) =0=30 - A=0 (或 180 ) =A=30 .答案：30典例剖析B、1a 一、 217t一 一兀 ，、【例 1】 设 cos (a )= , sin ( 3 )=一,且一Va V 兀，0 V 3 V一,求cos ( a + 3 )222 TOC o 1-5 h z 依上述角之间的关系便可求之.解： - a u , 0

6、3 c,a b= A B= sinAsinB 等.【例 3 已知 e、3、丫 C (0, ), sin a +sin 丫 =sin 3 , cos 3 +cos = =cos a ,求 3 a的值.剖析：由已知首先消去丫是解题关键.解：由已知，得 sin 丫 =sin 3 sin a , cosy =cos a cos3 .平方相加得(sin 3 sin a 2 m - 37 由一1 w v 1 = 一 1 w m w . - m3 答案：D+ (cos a cos 3 ) 2=1.1 2cos (3 a)1. cos (3 a )=2 . 3 - a = 3一一.一 .一一一一一兀. sin

7、 丫 =sin 3 sin a 0, . 3 a . . - 3 a =3评述：本题极易求出3 - = -,如不注意隐含条件 sin 丫 0,则产生增根.因此求值问 3题要注意分析隐含条件.闯关训练夯实基础1. (2004 年上海，1)若 tan a =3，贝U tan ( a +- ) =. TOC o 1-5 h z 24tana +tan 兀 1 + 1解析：tan ( a + - ) =-= -2=3.4, ，兀 11 -tan : tan 1 x142答案：32.要彳sin a 3 cos a = 4m 3. (2004 年福建，2) tan15 +cot15 等于有意义，则应有4

8、m7D. 1 mW 3兀、2m-3 =.34 - mA.m 1C.m 3解析：2sin ( a -)=也二6 = sin ( a34 - mA.2B.2+ . 3C.44 3D.31 =4. 1sin 30 2sin 15 cos 15 sin215 cos215角军析：tan15 +cot15 =+=.333 - 3cos15 sin 15 cos15 sin 15解析二：由 tan150 =tan (450 30 ) = tan 450一tan301 tan 45 tan 30，原式=工廿=43,3 3 - , 3答案：Ca24.在ABC中，若= b2tan A ,则4 ABC的形状为 t

9、an B解析：左边利用正弦定理,sin 2 A右边“切变弦”，原式可化为吧二 sin Bsin AcosBcosAsin B-sin A cos B 一-=-sin B cos A2sin 二 cos:工 一 cos2 二的值.解：由tan （兀+ a ）1+tanC(=2,I. - tan 31 得 tan a =3T-2-2sin：cos： -cos -22sin2 工，cos2 ;22sin，cos ： cos(1)2 1312-1316.已知 cos a =1, 7一、 11cos ( a + B ),143 e(0,工),21解：由 cos a =,7cos ( a + 3 )U,

10、14得 cos 3 =cos ( a1, 2,、，、TTsin2A=sin2B= 2A=2B 或 2A=兀2B= A=B 或 A+B=.2答案：等腰三角形或直角三角形, ,一兀5. (2004 年湖南，17)已知 tan ( +”)=2,得3”3培养能力7.已知 sin ( - - x) =5, 0 x I ,求一竺2x一 的值.4134cos(+x)4利用余角间的三角分析：角之间的关系：(：一x) + ( ：+x)=；及彳-2x=2(： x), 函数的关系便可求之. TOC o 1-5 h z 解：1 -x) + ( - +x) =,./兀,兀 、cos ( +x) =sin ( x)又 c

11、os2x=sin ( 2x)2兀 、-./兀、/兀 、=sin2 ( - x) =2sin ( x) cos ( - x),，M =2cos( j =2x2 空cos(E+x)413 1341m.8.已知 sin 3 =msin (2a +3 ) (mw 1),求证：tan ( a + 3 ) =tan一 m证明：sin 3 =msin (2a+ 3 ),sin ( a + 3 ) a =msin ( a + 3 ) + a . sin ( a + 3 ) cos a cos ( a + 3 ) sin a= msin ( a + 3 ) cos + +mcos ( a + 3 ) sin a

12、 .( 1 m) sin ( a + 3 ) cos a=11+m) cos ( a + 3 ) sin a .-m tan ( a + 3 ) =tan a .-m TOC o 1-5 h z 35兀3兀、(2005年北东西城区抽样测试)已知 sin2a=一, a (一，一)542(1 )求cos a的值；(2)求满足 sin ( a x) sin ( + +x) +2cos a = 10 的锐角 x.解：（1）因为基V a V , 42所以打V2a V3兀.2所以 cos2 a =也 -sin 2 2a =-. 5由 cos2 a =2cos2 a - 1 ,所以 COS a =-三万.(

13、2)因为 sin ( a x) sin ( a +x) +2cosa =-,10所以 2cosa (1sinx)=-10所以sinx= 2因为x为锐角，所以x= 2E.探究创新10.sin a +sin 3 =,求 cos” +cos3 的取值范围解：令 t=cos + +cos 3 ,2 sin + +sin B =,22+2,得 t2+ 1 =2+2cos ( a - 3 ).2 2cos (a 3 ) =t2 2 2, 2.21414 n.t , -.思悟小结.不仅要能熟练推证公式(建议自己推证一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.注意拆角、拼角技巧，如 a=(

14、a + 3) 3, 2a=(a+3) + (a 3)等. 3.注意倍角的相对性，如 3 a是3-的倍角.要时时注意角的范围的讨论 .教师下载中心教学点睛.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲 自推导一下C(“ + b).公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律拓展题例例 1已知 a= (cos a , sin a ), b= (cos 3 , sin 3 ), (aw b).求证：(a+b) ( a b).分析：只要证(a+b) (ab) =0即可.证法一：(a+b) - (a-b) =|a|2 一 |b|2=i 1=0,( a+ b) ( a-b).证法二：在单位圆中设 OA=a, OB= b,以OA、 OB 为邻边作DOACB,则OACB为菱形.OC BA .OC BA=0,即(a+b) (a b) =0.( a+b) ( a b).【例 2】a、3 C (0, ；),