高考数学二轮复习专题平面向量教学案教师

1、欢迎下载学习好资料2013高考数学二轮复习精品资料专题 06平面向量教学案（教师版）【2013考纲解读】 TOC o 1-5 h z .理解平面向量的概念与几何表示、 两个向量相等的含义；掌握向量加减与数乘运算及 其意义；理解两个向量共线的含义.,了解向量线性运算的性质及其几何意义. 了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 ；能运用数量积表示两个向量的夹 角,会用

2、数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识网络构建】ie弦定m*亚代的无骏釜n应用【重点知识整合】.平面向量的基本概念.共线向量定理入,使b=入- a.如果向量a向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 = (xi, yi), b=(X2, y2),则 a / b 的充要条件是 xiy2=X2yi 或者 Xiy2x?yi= 0,即用坐标表当其中一个向量的坐标都不是零示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等. X2 V2时，这个充要条件也可以写为 一=匕，即对应坐标的比值相等. Xi yi.平面向量基本定理对于任意a,若以不共线的向量 ei, e2作为基底，则存在唯一的一组实数

3、对入，科，使a=入 ede2.向量的坐标运算欢迎下载学习好资料a=(xi, yi), b=(X2, y2),则 a+ b= (X1 + X2, yi+y2), a-b= (X1-X2, * 入 a5.数量积 已知a, b的夹角为a, b = 0 ( 0 0 ,兀),则它们的数量积为a - b =| a| I b|cos 0 ,其中 | b|cos 0 叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a ( b c) w( a b) c；a b= X1X2+ yy；X1X2+ yy(2)若 a=(xi, yi) , b=(X2, y2),则(3)两非零向

4、量a, b的夹角公式为cos 0 =(4)| a| 2 = a - a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.【高频考点突破】考点一 向量的有关概念和.运算(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为-a-.|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).例1、已知关于X的方程：OA X2 + om 2X+2= 0(xC R),其中点C为直线AB上一点,O是直线AB外一点，则下列结论正确的是()A.点C在线段AB上B.点C在线段AB的延长线上且点 B为线段AC的中点C.点C在线段AB的

5、反向延长线上且点 A为线段BC的中点D.以上情况均有可能解析；据题意由于&三点共线，故由次=一喃工：一切5 2工，可得一F-L=L解得工Poc= cm+20)化简整理可得工OCDfi omOA = fiCABt故点在 线段A3的延长线上且点3为线段的中点.答案：C【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a+ b= b+ a, a - b = b - a,X a - b= X (a - b)与 a(b - c)w(a b)c;(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误

6、.欢迎下载学习好资料考点二平面向量的数量积.两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角 的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定. TOC o 1-5 h z ,一，一 . a.求非零向量a, b的夹角一般利用公式 cosa, b =不先求出夹角的余弦值， | a| | b|然后求夹角；向量 a在向量b方向上的投影为言.例久设向堂口，力满足4=方=1,仃七=一,则仃+2匕=()4山B.V3C$D 一币解析：依题意得9+2厅=东+4炉+4厘七二叶4汽一与二%则以+25=馅.答案；B_、一一 a【方法技巧】(1)准确利用两向重的夹角公式cosa, b = 及向重模的公式

7、| a| =| a| b| a a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：a b = 0,未必有a= 0,或b= 0；|a- b|w|a| b| ；a( b c)与(a b) c不一定相等.考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型.例 3.已知向量 a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 ) , c= ( 1,0).(1)求向量b+c的长度的最大值；、一兀 一 ，一，一(2)设 a =,且 a，( b+ c),求 cos 3 的值.解(1)法一：由已知得 b+c=

8、 (cos 3-1, sin 3),则| b+ c| 2 = (cos 3 -1) 2+ sin 2 3 = 2(1 - cos 3 ).,-Kcos 3 1, .,.0 | b+c|2w4,即 0 | b+c| 2.当 cos 3 = 1 时，有 | b+ c| max= 2 ,所以向量b+c的长度的最大值为 2.法二：.=b| =1, |c| =1, | b+c| 或COS.v= 1经检验，8端=0或COSf= 1即为所求.【难点探究】难点一 平面向量的概念及线.性运算例1、(1) a, b是不共线的向量，若Xe5=入 ia+b, Xb= a+ 入 2b（入 1,入 2c R）,则 A,

9、B, TOC o 1-5 h z C三点共线的充要条件为()入1 = 入2= 1入1入2 1 = 0A.入 1 =入 2= 1BC.入 1 入 2+ 1 = 0D(2)设A, A A, A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若众=入A( ICR), AA4=科 AAz(科 R),且工 +=2,则称 A A调和分割A, Az,已知点C(c,0) ,D(d, 0)(c,dC R)入调和分割点A(0,0) , R1,0),则下面说法正确的是()C可能是线段 AB的中点欢迎下载学习好资料D可能是线段 AB的中点C、D可能同时在线段 AB上C D不可能同时在线段 AB的延长线上【答案】(1)D (2)D【

10、解析】只要正一通共线即可，根据向里共线的条件即存在实数，庾得h=反， 即口+马5=二次少十外由干m 5不共或，根据平面向量基本定理得 1=*且&=3消掉： 得，士 = 1.由新定义知一Iff一互 附JO)=MLO二五=匕同理力=金丸 眼&0)=口(1功M =$又3+=3工并上士若点。为战段在中点，贝0=3与!十1=二矛盾，所以U不 Z iC a扁 H为爱段以中点，同理。不为线段期中点.若点C, 同在线段.桀上，砂十%工，只 V U能T点在线葭/B上，另T点在线段A3的延长线上.【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理.平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可

11、以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是， 如果a, b不共线，那么入ia+入2b=科ia+科2b的充要条件 是入i=且入2=科2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果 OA= xO+yOC则A, B, C三点共线的充要条件是 x+y=1.【变式探究】(1)如图所示，在 ABC4点O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 1 4AB AC于不同白两点 M N,若AB= mAiyi AC= nANm n0),则/的最小值为()A. 2 B . 4 C.(2)设向量 a,b满足 | a| =2加,b=(2,1)【答案】(1)C(2)( 4, - 2)，且a与b的方向

12、相反，则a的坐标为m:ah信人电淞+涧【解析】(i) Mo=AO-Aivi= ABtAC-1Ab= ig1AB+1 AC 2 m 2 m 2同理No= Q； Ac2Ab, M Q N三点共线，故欢迎下载学习好资料A/ 0.即。晨由于工不共线，根据平面向量基本定理?一工;1;：看。且，/厂=0,消掉；,即得用+三=二,.1,-1 1. 7I,4浒1卜一七上汨5+4）二=正确选质为C r *因为i与$的方向相反，根据共建向量定义有】气二力所以白=（2上，）.由二=乂?，得/?=二/七=-2或=支舍去）,故;r=（一一二工难点二 平面向量的数量积例2如图所示，P为AOB/f在平面内一点，向量 Oa=

13、 a, Ob= b,且P在线段AB的垂直平分线上,向量02c.若|a|=3,|b| = 2,贝U c - (a b)的值为()A. 55c. 2D. 2【解析】设 AB中点为 D, c= Op= OdfDP 所以 c ( a b) = (0瓦 DP BA= Od BA+DP BA=OD-112 , , 2、5BA2(a+b) - (a-b)=2(l a|2一|b|2)=2.【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想.【变式探究】（1）已知a与b均

14、为单位向量，其夹角为0 ,有下列四个命题:pi： |a+b|1?P2： |a+b|1?P3： | a-b|1?欢迎下载学习好资料p4： | a-b| 1? 0 1-3,兀 其中的真命题是()A. pi, P4 B . pi, P3C. P2, P3 D . P2, P4(2)在OA抻，设OA= a, OEB= b,则OA边上的高等于 .【答案】A【解析】因为叶$ 10可：+ b门员一Q $ 858=COS 1 - Ti-X0,交， 3产所以任为真命题，生为假命题.又因为|我一引1=1022fl,6+|方吃y箱1网6 8的=85依0*工，所以如为 真命题，苣为假命题.2)设乙405=为 那么月驾

15、,则我田 8短日=弋事。边上的高难点三平面向量的共线与垂直的综合运用22例3已知椭圆x2 + y2=1(ab0)的左、右焦点分别为 Fi、E,左顶点为A,若|FiE|=2, a b，一、一 1椭圆的离心率为e=2，(1)求椭圆的标准方程；(2)若p是椭圆上的任意一点，求 PF Pa勺取值范围；(3)已知直线l ： y=kx + m与椭圆相交于不同的两点M N均不是长轴的端点)，AHL MN垂足为H且AH=Mh 前 求证：直线l恒过定点.22【解答】(1)由已知得c=1, a=2, b = J3, .所求椭圆方程为 x + y = 1.43(2)设 Rxo, yo),又 A(2,0) , R(

16、1,0), PF , PA= ( 1 Xo)( 2 xo) + y0= x0 + 3xo + 5.2由于P(xo, yo)在椭圆上，一2 xo0 得 4k2 + 3m.5匕），则乃+g=Sn?l：=、口+示门口+五、。=亲 + 二&，亘V+五工工&+亘。豆V= 3, /. E+2）U1+ 2j+*门=。， Vs 即1+6：+Q + ）（rj+r：）+4+用:=0, TOC o 1-5 h z i7.二42二一15讥+力求=0,三花或；;=E,均适合.当时，直线过J点，舍去.当1%冏，直线尸金+孩过定点：一43 . 1f f /【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着

17、关键作用.本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AT4 XN= 0,从而达到使用韦达定理建立直线中参数 k, m的方程，确定k, m的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线 系方程，实现了证明直线系过定点的目的.【变式探究】已知双曲线的 中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y=gx,3右焦点F（5,0）,双曲线的实轴为 AA, P为双曲线上一点（不同于A, A）,直线AP、AP分 别与直线l : x=9交于M N两点.5（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM-FN为定值.222所求双曲线方程为1.b=4,【解答】（1）依题意可设双曲线方程为 柞9=1,则 a b b 4

18、 fa= 3， 1 c= 5, c2= a2+ b2(2) A( 3,0)、A(3,0)、F(5,0),设 P(x, y),m|, V。，A P= (x+3, y), AM=欢迎下载学习好资料. A、P、M三点共线，.（ x+3）y。24y= 0,5a x+J，即 M|；）1624y16256 144. .FM F* 元前x -9 9- 16；x- d2=1,， x - 916一 一 256 144.FM- F* 方-方16 256 25692525=0,即FM-FN4= 0为定值.【历届高考真题】【20XX年高考试题】1.12012高考真题重庆理6】设x,yWR,向量a = (x,1),b=

19、 (1,y )c= (2,勤a _L c,b / c,则 a + b(A)由(B) M(C) 2 展(D) 10【解析】因为一 办，所以有4 =0且+ 4 = 0,解得父=2, 1 = 2 !即= Q2）.所以口十各二。1）, 口选B.2.12012高考真题浙江理5】设a, b是两个非零向量。A.若|a+b|=|aHb| ,则 abB.若 ab,则 |a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 入，使得b=入aD.若存在实数 入，使得b=X a,贝U |a+b|=|a|-|b|【答案】C【解折】利用排除法可得选项C是正确的，; $+5 =0一3则b共建，即存在实 数喜

20、使得R= a如选项As a+b = 口- 2时，G $可为异向的共线向量；选项31若 由正方形得由+予=号不成立二选项力若存在实数F使得9可为同向的共 线向量，此时显然a+b - a b不成立.:3.12012高考真题四川理 7】设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使 耳 =-b成立|a| |b|欢迎下载学习好资料 TOC o 1-5 h z 的充分条件是()A、a = -bB a/b C 、,a = 2b D 、ab且 |a|=|b| HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 【答案】C rr【解析】A.可以推得 且= 上_为既不充分也不必要条件；B

21、.可以推得4-=-|a|b|a| |b| ab或为必要不充分条件；C.为充分不必要条件；D同B.|a|b|4.12012高考真题辽宁理 3】已知两个非零向量 a, b满足|a+b|=| a-b| ,则下面结论 正确的是(A) a / b(B)a b(C)0,1,3(D)a+b=a - b【答案】B【解析】根据向里加法、减法的几何意义可知与白-$分别为以向量事5为边的 平行匹边形的两条对角线的长，因为叱3 = 4-，所以该平行匹边形为矩形，所以口，及 故选35.12012高考真题江西理7】在直角三角形 ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段2 I 2PA + PBCD的中点，则g=PCA.

22、2 B . 4 C . 5 D . 10【答案】D【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，旦、2,22,b2 a b(一)=一十一，416 16学习好资料欢迎下载PBW)224 2/b 2 a 9b(-b)二一41616CA 2,a 2/b2PA =(+(4)_229a b+一,1616PA+ PB22a2 9b2 9a2=+161616+ 2=10(a- + b-) =10PC2,所以2PA PBD.1616162PC2-=10，选6.12012高考真题湖南理 7】在 ABC中，AB=2, AC=3 ABLBC = 1 则 BC =A.、3 B. .7 C. 2,2 D. . 23K答案】At

23、解析】由下图知万友=I|5c| CO5(- 5) = 2 X |bc| x(-cos = 1.J. cosB =X由余弦定理知cos B = WUTU ,解得再。二切-IBC1AB BCT TT7.12012高考真题广东理 3】若向量BA = (2,3), CA = (4,7),则BC =A. (-2,-4 ) B . (3,4) C . (6,10) D . (-6,-10)【答案】A【解析】bC =bAcA = (2,3) (4,7) = (2,Y) .故选 A.8.12012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量”和3,定义a =下一右平面向重a,b满足|a| |b| 0,a与b的夹

24、角日二(0,),且a - b和b - a 4n .都在集合n|nWZ中，则a。b =A. 1 B.1 C. 3 D. 5222【答案】C欢迎下载学习好资料 TOC o 1-5 h z 一 JI-【解 析】 因 为 己也。=好=巴1c ooc Sos,b.b |b|2b *a |b|b a = _r = cos 1 cos：二 1 , a *a |a|n|b|1|b|1且 a b 和 b ,二a都在集合一 |nw Z中，所以 b a = - cosB =- , M =,2|a|2|a| 2cos=-| a |23所以 a b =-cos6=2cos 0 2,因为 6w(0,)，所以 1 a b

25、2 ,故有 a b = .故 |b|42选C.9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中， O(0,0), P(6,8),将向量OP按逆时针旋转 之 后，得向量OQ ,则点Q的坐标是()4(A) (-7.2, - .2) (B)(-7 .2,回(C)(-4.6, -2)(D)(-4.6, 2)【答案】A【解析】【方法一】&OP = (lOcosd,lOsin6) n二,sin,贝IJ 00=(10 g8(6 + ).10 sin9 += (-772,-2),【方法二】将向量而二(68)按逆时针旋转三后得OA7=(St-6),则而二-函= (，-冉10.12012高考真题天津理 71已知

26、AABC为等边三角形，AB=2设点巳Q满足AP = ZAB ,3AQ=(1九)AC,九 w R,若 BQ CP = 5 ,则九=(A)(B)(C)1 -、10(D)学习好资料欢迎下载【答案】A解析】如图s* 设 - b.AC - c j IJ1 c = 2. i c = 2 j又丽二丽 + 慈= 1 + (1-2兄，C? = c3+P-c + z，由 &0.(;户=-:得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1221-b + (1 -z)c (-c + zi) = (z -1)d- -z +(z-z:=r|4(2-1)

27、-2 + 2-万+1)=-二，整理4/3-4) + 1 = 0,即(2-1)： =0，解得上二,选A.,2a-b =闻；则11.12012高考真题新课标理13】已知向量a,b夹角为45 ；且3=1,1【答案】3小【解析】因为2日一方=J16,所以（2口一七）=10,即4H 4a t + b = 10,所 以4 +印-胴cos45： =10,整理得印一24网-6 = 0,解得同=3值或词=-0 （舍 去）,- , 一 ，一i -f12.12012图考真题浙江理 15】在4ABC中，M是BC的中点，AM=3BC=10，则居C =.【答案】-16【解析】法一此题最适合的方法是特例法.假设 ABC以A

28、B= AC的等腰三角形，如图,AM= 3, BC= 10, AB= AC= 用.cos/ BAC=34 -34 -100 _2 3417AB AC=羡羡cos. BAC = -16学习好资料欢迎下载 TOC o 1-5 h z 法二：1,1 1- 2 2122AB，AC=（BC AM）.（BC AM） = BC AM = 一 102 32 = 一16.224413.12012高考真题上海理12】在平行四边形 ABCD中，2A =（，边AB、AD的长分另为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足LBMJ = LCNJ，则:AM .而|BC| |CD|的取值范围是。【答案】2,5.则西 ;

29、人的=i石：声=a-/）沅=a _,则(AB + RM X AD + DN )+ aAD)AD + (1- a)AB=AB AD- (1 -/.AD -(1- /AD - AB.又二”且8*乂857, AB =4? AD二万7 .工？=-万-2z + 5 = -(z +1): + 6,VOszl, ：.2AM-AXit即工（7 .工？的取值范围是二414.12012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系 xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1）,此时圆上一点 P的位置在（0,0）,圆在X轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，OP的坐标为【答案】(2 sin 2,1 -cos

30、2)【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角欢迎下载学习好资料PCA = 2则 NPCA = 2,所以2PB =s i2 n) = -c 2 ,s CB =cos(2 - ) =sin 2 ,所以 xp = 2 -CB = 2 -sin2 , yp =1 +PB =1 -cos2 ,所以 OP =(2 -sin 2,1 cos2)。15.12012高考真题北京理13】已知正方形 ABC曲边长为1 ,点E是AB边上的动点，则DE CB的值为, DE ,DC的最大值为 。【答案】1. 1【解析】根据平面向量的数量积公式瓦瓦二诲山匚DE DA cosef由图可A 4kBDE,因此无

31、 2=| 五:=1,DE-DC=DE DC | cos a = | DE | cos a,而|而emu就是向量而在灰边上的射影，要想让QE DC最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为DC,所 以长度为1.16.12012高考真题安徽理14】若平面向量a,b满足：2?-b E 3 ,则a|_b的最小值是 。8242 4 V2a -b 3 4a +b W9 + 4aLb【解析】噎$ 一 .j *4-1994ab-4 a b - -4al_b=9 4a_b- -4a_b -a_lb - -一817.12012高考江苏9(5分)如图，在矩形ABCD中，AB = J2, BC = 2 ,点E为B

32、C* T T的中点，点F在边CD上，若AB AF =42,则AE BF的值是 .欢迎下载学习好资料AB【答案】.2。t解析】由京二菱=正，得犀计石卜匕门:二W ,由矩形的性质，得 I A? ,85 FAB=DF .:WAF =6,/. DF-L /.CF = V2-K记工和而之间的夹角为6 -AEB二JjFRC* 见15= b尸.又丁 3C = 2,点E为BC的中点,.5上=1./. 3Z二乔二|亚口乔卜口号营= 京口而卜田次一尸|近，|而,coscrcos-sinasin)二周 8 国骸忸5所回血回用口声3?-.43 = 1：2-百忑-1)=点口【20XX年高考试题】1. (20XX年高考四

33、川卷理科 4)如图，正六边形 ABCDE冲，BA+CD + EF =()(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF答案：D解析：BA CD EF -DE CD EF -CD DE EF -CF .2. (20XX 年高考全国卷理科12)设向量a b c满足晶bx欢迎下载学习好资料1 11 LT ，“0 r j a b =, , = 60 ,则c的最大值等于2(A)2 (B)、,3 (c),2 (D)1【答案】A【解析】如图，构造彘a, aD=b, ac = c,/BAD =120，/BCD =60,所以 A,B,C,D 四点共圆,4.二、填空题：1. （20XX年高考浙江卷理科可知当线

34、段 AC为直径时，。最大，最大值为2.14）若平面向量a , P满足a =1 , B W1 ,且以向量a ,P为邻边的平行四边形的面积为1,则:与E的夹角e的取值范围是。2咯案】6卷【解析】2 m/K 同 sin 9 =1,又喇=1向所以85“石=一 一 7T所以杜毋=.解析4cLq = 4 1-4 cos60 = a -b =1 r 。3.（20XX年高考重庆卷理科12）已知单位向量的夹角为601则24.（20XX 年局考安徽卷江苏10）已知自2是夹角为一五的两个单位向量，3-f , TT -f f T Ta = 61 -2e2 ,b =k e1 +e2,若 a b = 0 ,则 k 的值为

35、.欢迎下载学习好资料=0,解得 2K e 2T2 T -2k 1( 2-e-e k1 - )kk1,5k =.4【20XX年高考试题】nr（2010全国卷2理数）（8） VABC中，点D在AB上，CD平方NACB .若CB=a ,CA=b, |a =1, b|=2,则 CD)=12.21 .34.43.(A) a+ b(B) a+b(C) a + b (p a+b33335555【答案】B【解折】因为CD平分乙TCB,由角平分畿定理得叩二 =;，所以口为A3的|DB| |CB| 1三 等 分 点， 且 ad = 4ab = 4(-a)， 所 以 2 一 17一 1 _CD = CA-AD =-CB + -CA = -a + -b,故选？3 JJ J（2010辽宁理数）（8）平面上O,A,B 三点不共线，设 OA=a,OB = b，则AOAB的面积等(A) 、,|a |2|b|2 -(a2(B) Jallbl2 (aE2(C)；J|a|2|b|2 (a2 (D)“a121b|2 +(心)2【答案】C1【解析】二角形的面积S= |a|b|sin,而2；J|a|2|b|2 一(ab)2 =V|a|2|b|2 -(ab)2cos2 1 |a |b|、1 cos2 :二 a,b =1 | a |b |sin :二 a,b7. （2010重庆理数）（2）已知向量a, b满足a