高二数学选修1空间向量与立体几何练习题及答案

1、第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算1,下列命题中不正确的命题个数是空间向量及其加减运算 炒,1.2空间向量的数乘运算()若A、B、C、D是空间任意四点,则有 AB+BC+ CD + DA=0 ;对空间任意点O与不共线的三点A、B、C,若而=xOA+yOB+zOC （其中 x、v、zCR）,贝U P、A、B、C四点共面;若a、b共线，则a与b所在直线平行。A.1B.2C.3D.42.设OABC是四面体,Gi 是 4ABC 的重心，G 是 OGi 上一点，且 OG=3GGi,若 OG =xOA+yOB+zOC ,则（x, y, z）为（/ 11A .（一, 44)1)43)22 2D. （2

2、,-,-）33 33.在平行六面体ABCD-EFGH 中，AG xACyAF zAH ,4.已知四边形 ABCD中，AB =a -2C , CD =5 a+6 b 8C ,对角线AC、BD的中点分别为 E、F,则EF =5.已知矩形 ABCD, P为平面ABCD外一点，且 RA,平面 ABCD, M、N分别为 PC、RD上的点，且 M分PC成定比2,N分PD成定比1,求满足 MN xAB yAD zAP的实数x、y、z的值.P3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱ABCD A1BC1D1中，AA = 2AB, E为AA1重点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为()10A.101

3、B.53.10C.10D.2.如图，设A,B, C, D是空间不共面的四点,且满足 AB ACAC AD 0 , AB AD 0 ,则4 BCD 的形状是()A .钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定的3.已知 ABCD-AiBiCiDi为正方体,(篦7+再6+碣)2 =3(AR )2;AC (ABiAlA) 0;向量AR与向量A1B勺夹角为60 ；立方体ABCD-AB1 G 口的体积为| AB AA AQ4.如图，已知：平行六面体 ABCD AiBiCiDi的底面ABCD是菱形，且 / CiCB = ZCiCD=Z BCD=60(1)证明：CiC BD;CD 一(2)当 的值为多

4、少时，能使 AiC，平面CiBD?请给出证明.CCii,已知向量OA(2,炒.i.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.i.5空间向量运算的坐标表示2,3),OB(x,y, 4z),且平行四边形OACB的对角线的中点i , 2),则(x，z)A. ( 2,4, i)B.(2,4,i)C.(2, 4,i)D. (2 ,4, i)2 .已知a (2 ,2, 4),b (i,2),c ( 6,6,i2),则向量 a、b、c()A .可构成直角三角形 C.可构成钝角三角形B.可构成锐角三角形D.不能构成三角形3.若两点的坐标是A (3cos %3sin / i) , B (2cos 2 2sin,0i)

5、,则|AB|的取值范围是()B. i , 54.设点 C (2a+i , a+i , 2)在点.C. (i, 5)P (2, 0, 0)、A (i , - 3,D. i , 252)、B (8,4)确定的平面上，则 aC5.如图，正三棱柱 ABC-AiBiCi的底边长为a,侧棱长为 J2 a.建立适 当的坐标系，写出 A, B, Ai, Bi的坐标；求ACi与侧面ABBiAi所成 的角.3.2立体几何中的向量方法1.到一定点(1,0, 1)的距离小于或等于2的点的集合为()，222-(x,y,z)|(x1)y(z1)4)(x, y,z) |(x1fy2(z1)24)(x,y,z)|(x1fy2

6、(z1)22)D .(x,y,z)|(x1)2y2(z1)22)2.正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()C.A .33.323.已知斜三棱柱ABCBCA 90 , AC BC在底面ABC上的射影恰为 AC的中点D ,又知BA1 AC1.(1)求证：AC1 平面A1BC;(2)求C1到平面AAB的距离；(3)求二面角A AB C余弦值的大小4.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB=1 , AC AA J3, /ABC=60.(1)证明：AB AC;(2)求二面角 A- A1C -B的大小.5.如右图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条

7、侧棱的长都是底面边长的 J2倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACXSD;(2)若SDL平面PAC,求二面角 P-AC-D的大小(3)在(2)的条件下，侧棱 SC上是否存在一点 E, 使得BE/平面PAC.若存在，求 SE: EC的值； 若不存在，试说明理由.C第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量及其加减运算炒.1.2空间向量的数乘运算1.A 2A 3.324.3a+3b 5c5.如图所示，取一 1 EN CD2PC的中点E,连结NE,则MN EN EM .11 PC PC ,262 二EN PM PE= PC 3连结AC,则PC Ac ap1 _MN AB2AB AD AP1

8、-(AB AD AP)2 -AB 31 -AD 616 ,Z1.C 2,B3.4.(1)设CB a, CD b, CC1 c,则 |a| |b|, BD CDCB b a,所以BD CC1 (ba)a c |b |c| cos60 | a |c|cos600, BD CG即 BD CC1 ；2x -,y33.1.3空间向量的数量积运算BD面 AAC1C, BD只须求x满足：A1c C1D0,a, ADb, DC c,ACa b c,Ci D a c ,A1c C1D (a b c) (a c)2 2 4 2a ab b c c - - 6 , x2 xCD2(2)设出 x, CD 2,则 CC

9、=, CCix平面C1 BD.20,则 3x（舍去），CDCD 1时，能使AC cc3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的1xyzAiB坐标表不1.A 2,D 3.B 4.165.(1)建系如图，则 A (0, 0, 0) B (0, a, 0),3 aAi (0, 0, t/2 a), Ci (a, , J2a)22(2)解法一：在所建的坐标系中，取AiBi的中点M,于是 M (0, a, 2a ),连结 AM, MCi2则有MC?(立a,0,0) AB (0, a,0),雨(0,0 . 2a), 2 MCi AB 0, MC1AA 0,所以，MCi,平面ABBiA

10、i.因此，ACi与AM所成的角就是 ACi与侧面ABBiAi所成的角 TOC o 1-5 h z ACi ( -a, -, 2a), AM (ag .Za),222-9a23AC1 AM ，而 IIACJ j3a,|AM| -a, 42由 cos= ACi AM 3,=30 .| AC1 | AM |2ACi与侧面ABBiAi所成的角为30.3.2立体几何中的向量方法.A 2.C 3.因为BC AC ,(1)如右图，取 AB的中点E ,则DEBC ,所以DE AC ,又AD 平面ABC ,以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间坐标系，则 A 0, 1,0 , C 0,1,0 , B 2,1

11、,0 ,A 0,0,t , 6 0,2,t ,AG0,3,t , BA 2, 1,t ,r，CB 2,0,0 ，由 AC CB 0,知 AC又BA AC1,从而AC1 平面ABC .(2)由 AG BAi 3 t2 0,得 t 6.设平面AiAB的法向量为n x,y,z , 京0,1,73 , AB 2,2,0 ,所以n AAi y ,3z 0 、几,设zn AB 2x 2y 0i,则n 叵 V3,i ,所以点C1到平面A1AB的距离2,217(3)再设平面ABC的法向量为mx, y,z0, 1,V3 , CB2,0,0所以则 m 0,j3,i ,m CA1y .-3z 0、. d，设 z 1

12、,m CB 2x 0故cos可知二面角m,n,根据法向量的方向, 7A AiB C的余弦值大小为斗4. (1)二棱柱 ABC Ai Bi Ci 为直二棱柱,AB AAi, AC AA ,Rt ABC, AB 1,AC 、3, ABC 60 ,由正弦定理 ACB 30.BAC 900 即 AB AC .如右图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(1,0,0) C(0,、. 3,0), A(0,0, -3)Ab (1,0,0), AC (0, 3, .3),.AB AC 1 0 0 、3 0 (、3) 0,AB AC .(2)如图可取m AB (1,0,0)为平面AAiC的法向量,设平

13、面ABC的法向量为n (l,m,n),则 BC n 0,AC n 0,又 BC ( 1,73,0),l .3m 0.= l , 3m,n m.3m . 3n 0不妨取m1,则ncos m,n31 10 10.15.卜 3)2 T T 彳02.025面角AAC5. (1)连结BD的大小为arccos415 .5BD，设AC交于BD于O,由题意知SO平面ABCD .以O为坐标原点,OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系Oxyz如右图.OCOSDS设底面边长为a ,则高SO曰.6是 S(0,0，Za),D(.2八 ，25 a0) C(0,3a。(0,*,0), SD (号Q-6a) , OC SD 02(2)由题设知，平面PAC的一个法向量DS (a,0,2(0Q,(3)在棱设 CE tCS,BE DC 0，故 OC SD 从而