MATLAB在二分法中的应用 张扬

1、MATLAB语言课程论文MATLAB在二分法中的应用姓名：张扬学号：12009243762专业：电子信息工程班级：10级一班指导老师：汤全武学院：物理电气信息学院完成日期：2011.11.31 MATLAB在二分法中求方程的近似解的应用（张扬 12009243762 物理电气信息学院 10级电子1班）【摘要】计算一个函数f的零点(即求方程的根)是在科学计算中经常遇到的问题,二分法是解决此类问题的方法之一,MATLAB在处理用二分法求方程的近似解问题上非常方便,而且可以为学生创造出图文并茂、丰富多彩人机交互、即时反馈的学习环境,为学生更好的学习数学提供了一个有力的辅助工具.【关键词】二分法 精度

2、 近似值 迭代次数一、二分法二分法也称逐次分半法。它的基本思想是：先确定方程含根的区间(a,b),再把区间逐次二等分。（一）判别有根区间设函数在区间a,b上连续，且,那么根据零点定理知方程在开区间（a,b)内至少有一个实根，同时若在a,b上是单调的，那么方程在开区间(a,b)有唯一一个实根。这是使用二分法的前提。（二）用二分法求方程的根的近似值的步骤 步骤1 若对于a0, disp(注意：ya*yb0,请重新调整区间端点a和b.),return end max1=-1+ceil(log(b-a)-log(abtol)/log(2); %ceil是向正无穷大方向取整 for k=1:max1+1

3、 a;ya=fun(a);b;yb=fun(b);x=(a+b)/2; yx=fun(x);wuca=abs(b-a)/2;k=k-1; k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx if yx=0 a=x;b=x; elseif yb*yx0 b=x;yb=yx; else a=x;ya=yx; end if b-aabtol,return,end end k=max1;x;wuca;yx=fun(x); （二）使用二分法的主程序求解方程在开区间(a,b)内的一个近似根的值的步骤 步骤1 建立名为 fun.m的M文件如下 function y1=fun(x) y1=(x);步骤2 将二分法的主

4、程序保存名为 erfen.m的M文件； 步骤3 在MATLAB工作窗口输入程序 k,x,wuca,yx=erfen(a,b,abtol)三例题【例一】确定方程的实根的分布情况，并用二分法求在开区间（-2，-1）内的实根的近似值，要求精度为0.001. 解：（1）先用两种方法确定方程的实根的分布情况。 方法1 作图法 在MATLAB工作窗口输入程序： x=-4:0.1:4;y=x.3-x+4;plot(x,y)grid,gtext(y=x.3-x+4)画出函数的图像，如图1所示。从图像可以看出，此曲线有两个图1 函数的图像驻点 都在x轴的下方，在（-2，-1）内曲线与x轴只有一个交点，则该方程有

5、唯一一个实根，且在（-2，-1）内。方法2 试算法在MATLAB工作窗口输入程序 x=-4:1:4,y=x.3-x+4运行后输出结果： x =-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y = -56 -20 -2 4 4 4 10 28 64由于连续函数满足,所以此方程在（-2，-1）内有一个实根。（2）求方程在（-2，-1）内的一个实根。用二分法的主程序计算a.建立名为 fun.m的M文件function y1=fun(x) y1=x.3-x+4;b.将二分法的主程序保存名为 erfen.m的M文件c.在MATLAB工作窗口输入程序 k,x,wuca,yx=erfen(-2,-1,0.00

6、1)d.运行后结果为ans =Columns 1 through 7 0 -2.0000 -1.0000 -1.5000 0.5000 -2.0000 4.0000Column 8 2.1250ans =Columns 1 through 7 1.0000 -2.0000 -1.5000 -1.7500 0.2500 -2.0000 2.1250 Column 8 0.3906ans = Columns 1 through 7 2.0000 -2.0000 -1.7500 -1.8750 0.1250 -2.0000 0.3906Column 8 -0.7168ans =Columns 1 t

7、hrough 7 3.0000 -1.8750 -1.7500 -1.8125 0.0625 -0.7168 0.3906Column 8 -0.1418ans =Columns 1 through 7 4.0000 -1.8125 -1.7500 -1.7813 0.0313 -0.1418 0.3906Column 8 0.1296ans =Columns 1 through 7 5.0000 -1.8125 -1.7813 -1.7969 0.0156 -0.1418 0.1296Column 8 -0.0048ans = Columns 1 through 7 6.0000 -1.79

8、69 -1.7813 -1.7891 0.0078 -0.0048 0.1296Column 8 0.0627ans =Columns 1 through 7 7.0000 -1.7969 -1.7891 -1.7930 0.0039 -0.0048 0.0627Column 8 0.0290ans =Columns 1 through 7 8.0000 -1.7969 -1.7930 -1.7949 0.0020 -0.0048 0.0290Column 8 0.0121ans =Columns 1 through 7 9.0000 -1.7969 -1.7949 -1.7959 0.001

9、0 -0.0048 0.0121Column 8 0.0037k =9x =-1.7959wuca =9.7656e-004yx =0.0037【例二】已知函数。用二分法迭代8次，寻找在闭区间1.5,2.5上的值满足（函数用弧度计算），且求其绝对误差和相对误差。 解：（1）在MATLAB工作窗口输入程序 x=1.5:0.001:2.5; f=x.*sin(2.*x)+1.5; plot(x,f),grid,gtext(f=x.*sin(2.*x)+1.5) 运行后，画出图2,可见函数在1.5,2.5上有惟一一个零点。 图2 函数的图像（2）在MATLAB工作区输入程序k=8; a=1.5; b

10、=2.5; abtol=(b-a)/(2(k+1) 运行后得绝对误差为abtol = 0.0020 (3)建立名为 fun.m的M文件 function y1=fun(x) y1=x.*sin(2.*x)+1.5;（4）在MATLAB工作窗口输入程序 k,x,wuca,yx=erfen(1.5,2.5,0.0020)运行后得ans =Columns 1 through 7 0 1.5000 2.5000 2.0000 0.5000 1.7117 -0.8973Column 8 -0.0136ans =Columns 1 through 71.0000 1.5000 2.0000 1.7500

11、0.2500 1.7117 -0.0136Column 8 0.8861ans =Columns 1 through 7 2.0000 1.7500 2.0000 1.8750 0.1250 0.8861 -0.0136Column 8 0.4283ans = Columns 1 through 7 3.0000 1.8750 2.0000 1.9375 0.0625 0.4283 -0.0136 Column 8 0.2030ans =Columns 1 through 7 4.0000 1.9375 2.0000 1.9688 0.0313 0.2030 -0.0136 Column 8

12、0.0933ans = Columns 1 through 7 5.0000 1.9688 2.0000 1.9844 0.0156 0.0933 -0.0136Column 8 0.0395ans =Columns 1 through 7 6.0000 1.9844 2.0000 1.9922 0.0078 0.0395 -0.0136 Column 8 0.0128ans =Columns 1 through 7 7.0000 1.9922 2.0000 1.9961 0.0039 0.0128 -0.0136Column 8 -0.0004ans =Columns 1 through 7

13、 8.0000 1.9922 1.9961 1.9941 0.0020 0.0128 -0.0004Column 8 0.0062k = 8x =1.9941wuca = 0.0020yx =0.0062（5）根据相对误差公式 (3)编写MATLAB程序 abtol=0.0020;xk=1.994140625;tol=abtol/abs(xk)运行后得tol = 0.0010四结论 MATLAB在处理用二分法求解函数的近似根时，方法简便，可靠，程序设计容易，并且具有很强的图形功能，只需给出一些基本参数就能得到所需图形，非常方便，图文并貌，为学生学习数学提供了有力的辅助工具。通过完成本次的论文，使我对MATLAB这门课程有了进一步的认识和了解，它无论在数学还是在物理学当中应用都很广泛，而且非常方便，在写论文的过程中，虽然遇到了很多问题，不过经过自己的努力最终都一一解决了。 同时我也认识到细心和认真的重要性，而且一定要有耐心，总之，这次的论文使我学到了很多。五、心得体会经过一学期紧张而有序的课程学习，在忙碌之余也颇有收获，我明白了MATLAB语言的优点：简洁，方便，易懂等等。同时也通过本次的课