水文统计原理课件

1、第三章 水文统计原理第一节 水文现象的特性和分析方法一、水文统计 水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶然性的一面。 必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，也称随机现象。 水文现象具有：周期性、地区性、不重复性第一节 水文现象的特性和分析方法 随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。 一些水文现象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为水文统计学。第一节 水文现象的特性和分析方法

2、水文统计的基本任务 利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义下的定量预估，为水利工程的规划、设计、施工和运行管理提供水文依据。譬如：某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行期间(未来100年)的径流和洪水的大小。但是，未来100年的径流和洪水有多大？必须做出估计。第一节 水文现象的特性和分析方法水文统计的基本方法和内容根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指定频率的水文特征值；研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、插补水文特征值和作水文预报。 第一节 水文现象的特性和分析方法水文统计对水文资料的要求

3、：1.可靠性 以实测水文数据为资料，一般可直接应用。2.一致性 指同一系列水文资料属于同一类型、同一条件下产生的。如：日平均流量和月平均流量。3.代表性 水文统计分析是利用已知水文资料推求可能水文情势，资料实测系列越长，代表性越好。第二节 几率和频率 二、事件与随机变量 1.事件 事件是指随机试验的结果。 必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。 不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。 随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发生，这样的事件就称为随机事件。第二节 几率和频率 二、事件与随机变量2.随机变量 随机事件的每次试验结果可用一个变量X

4、的数值来表示，称为随机变量。可分为离散型的和连续型的随机变量两类。 水文现象中的随机变量指水文特征值，如流量，降雨量、水位等。 第二节 几率和频率连续型随机变量在一定的区间内取得任何值。 自记水位过程 Z(t)t 自记雨量过程 P(t)t离散型随机变量在一定的区间内取得某些间断值。年降雨量X=x1，X=x2 ， ，X=xn -1， X=xn年径流量W =W1，W =W2， ，W =Wn -1 ，W=Wn第二节 几率和频率 三、总体、个体与样本 将随机变量所能取值的全体称为总体。总体中的一个单体称作个体。总体是所有个体的集合。从总体中随机抽取一部分个体称为样本。样本所含个体的数目称为样本容量(大

5、小)。 水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列，现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。 第二节 几率和频率 四、几率与频率 表示随机事件出现可能性大小的数值称为该随机事件的几率（或概率）。在一系列重复的独立试验中，某一事件出现的次数与试验总次数的比值，称为该事件的频率。试验次数较少时，频率具有偶然性。试验次数愈多，频率愈接近几率。第二节 几率和频率 四、几率与频率频率与几率不同：几率是随机事件在客观上出现的可能程度。是事件固有的性质。频率是利用有限的试验结果推算得到的。试验次数无限多时，频率趋向于几率。第二节 几率和频率 四、几率与频率 在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十

6、分接近的。第二节 几率和频率 水文事件只能利用一定的样本计算其频率，作为经验几率，推求事情的变化规律，预测未来可能出现的情况，满足工程需要。年最大值法：就是从水文站历年流量观测资料中，每年选取一个洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的观测资料中，可以选出n个流量值，组成一个n项容量的随机样本。也称为“年最大流量法”水文统计法：就是利用已有的实测水文资料（数据）组成有限的随机变量系列，作为无限总体中的一个随机样本，以样本的规律推断总体的规律，来解决实际工程中的水文计算问题。第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率每个变量都对应着一定的出现频率，系列中的变量对应着的一定频率分布规律，即为随机变量的频

7、率分布。对于实测水文资料，一般以等区间分组，并按由大到小的递减次序排列，然后进行统计计算。水文资料是连续随机变量，可以在最大和最小值的区间取一切值。第三节 频率分布 某水文站75年流量资料表第三节 频率分布 一 频率密度和累积频率以各组出现次数与总次数之比表示各组所在区间流量值出现的可能程度（即频率）；累积频率是各组累积出现次数与总次数的比值，表示等于和大于该组所在区间的流量值出现的可能程度，都以百分数计。第三节 频率分布 一 频率密度和累积频率 以数据系列（流量或者雨量等）为横坐标，频率为纵坐标，可绘出变量与频率关系的直方图 。第三节 频率分布 一、 频率密度和累积频率频率密度频率密度函数区

8、间（x1x2）的频率第三节 频率分布一、 频率密度和累积频率 若以流量（x）为纵坐标，累计频率为横坐标，则可绘出流量与累计频率关系的折线图。如果资料无限增多，组距无限减小，累积频率多边图即成为光滑的S形累积频率曲线(均以虚线表示)。在水文计算中，一般采用累积频率曲线来说明水文特征值的统计规律，通称为频率曲线或分布曲线。第三节 频率分布一、 频率密度和累积频率 流量与累积频率关系折线图分布曲线 累积频率分布函数可以由密度函数积分而得。即某变量X对应的密度曲线左侧下围面积P就是x所对应的累积频率。第三节 频率分布一、 频率密度和累积频率第三节 频率分布第三节 频率分布 二、累积频率与重现期 1.累

9、积频率 可理解为等量值和超量值累积出现的次数(m)与总观测次数(n)之比值，以百分数或小数表示。 实际工程规划和设计并不需要知道等于某一特征值的频率，而需要知道大于或等于某一特征值的频率，此即累积频率。第三节 频率分布二、累积频率与重现期2.重现期 频率比较抽象，为便于理解，常采用重现期。 所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母 T 表示，一般以年为单位。在桥涵水文计算中，重现期是频率的倒数。第三节 频率分布当研究暴雨洪水问题时, P（Xx）是暴雨洪水事件发生的频率，其重现期为例如，当暴雨或洪水频率为1%时，重现期T100年，称此暴雨为百年一遇的

10、暴雨或洪水。第三节 频率分布 所谓百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期内平均100年发生一次，而不能认为每隔100年必然遇上一次。第三节 频率分布三、设计洪水频率 洪水频率式中：P洪水频率（%）n具有最大流量值的总年数mn年中等于或大于洪水流量Qm的年份第三节 频率分布三、设计洪水频率 桥涵及其附属工程尺寸取决于设计流量的大小。设计标准根据经济条件和工程的安全要求预先拟定，一般由国家统一制定。我国新规范公路工程技术标准中桥涵设计洪水频率。第三节 频率分布三、设计洪水频率 第三节 频率分布第三节 频率分布三、设计洪水频率 新规范关于设计洪水频率的另外两条： 二级公路的特大

11、桥以及三级、四级公路的大桥，在水势猛急、河床易千冲刷的情况下，可提高一级设计洪水频率验算基础冲刷深度。沿河纵向高架桥和桥头引道的设计洪水频率应符合本标准中路基设计洪水频率的规定。第四节 经验频率曲线 在水文计算中，一般采用累积频率曲线(简称频率曲线)来说明水文特征值的统计规律。也就是说，通过这条曲线来表达水文特征值与其对应的累积频率的关系，以便确定某指定频率P的水文特征值。第四节 经验频率曲线水文统计法中的频率曲线分为两类：由实测资料绘制的累计频率曲线称为经验频率曲线。具有一定数学形式的频率曲线，通常被称为“理论”频率曲线。第四节 经验频率曲线一、 经验频率曲线的计算 频率计算公式：1）简单公

12、式 式中：p为频率；m为系列按照递减次序排列时，各随机变量的顺序号；n为随机变量的总项数，即水文资料观测的总年数。2）维泊尔公式（均值公式、数学期望公式） 如果用简单频率公式来计算经验频率，存在不合理现象。当mn时，最末项的频率为100%，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。 第四节 经验频率曲线年份Qm序号QmP（）1987120011600101988132021512201989151231320301990890412004019919785111050199211106978601993160078907019946308750801995750963090第四节 经验频率曲线经

13、验频率曲线的绘制步骤：收集水文资料，组成随机变量系列。将变量系列从大到小递减顺序排列。此时系列中变量的顺序号m，不仅表示变量大小的先后顺序，还表示等于和大于该变量的累积出现次数。按照维泊尔公式列表计算各变量对应的累积频率。以变量为纵坐标、频率为横坐标，在经验频率曲线上绘制经验频率点。依据经验点群的变化趋势，描绘成一条圆滑的曲线，即为所求的经验频率曲线。第四节 经验频率曲线等分格纸：纵横坐标均匀划分海森几率格纸：将横坐标按标准正态频率曲线转换成“中间较密，两端稀疏”不均匀划分，以P=50对称中心第四节 经验频率曲线经验频率曲线的延长 问题：一般实测河流径流量n0分布函数正偏；随机变量大于均值比小

14、于均值出现的机会小 Cs0分布函数负偏；随机变量大于均值比小于均值出现的机会大第五节 统计参数Cs 对密度曲线的影响 第五节 统计参数参数变化对频率曲线形状的影响1、均值增大，曲线整体上移；2、Cv 增大，曲线绕均值附近顺时针转动；3、 CS增大，曲线两头上翘，中间下沉。第六节 理论频率曲线问题：运用经验频率曲线外延人为性太大，误差大。解决办法：理论频率公式用实测数据拟合理论频率曲线，然后运用理论频率公式外推。常用的有皮尔逊III型曲线。第六节 理论频率曲线一、曲线的数学方程式及其特点 皮尔逊型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数式中，参数，a0，且有：第六节 理论频率

15、曲线第六节 理论频率曲线皮尔逊型分布的积分无解析解，实用中制表查用。已知x、CV、CS，由f(x)推求F(x)第六节 理论频率曲线二、皮尔逊型曲线的应用 对皮尔逊密度方程式进行一定的积分，可以得到我们需要的频率曲线纵坐标对应的XP的计算公式为：水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值Xp，也就是通过对密度曲线进行积分 ，求出等于及大于Xp的累积频率P值。 第六节 理论频率曲线P(%) Cs【例】已知某地年平均雨量x 1000mm、CV 0.5、CS1.0，求p1%的设计年雨量。由CS1.0，p1% 查得 3.02x1% （Cv1）x （3.020.51）1000 2510（mm）

16、第六节 理论频率曲线皮尔逊型曲线推求理论频率曲线的步骤：1）搜集年最大流量资料样本，组成变量系列；2）将变量按从大到小顺序排列；3）计算系列的三大统计参数：4）按照皮尔逊计算公式列表计算各指定频率的流量；5）将列表计算结果中的频率为横坐标，流量为纵坐标，在海森几率格纸上绘出各点，并按照点群变化趋势连接成光滑曲线，即为所求的皮尔逊型理论频率曲线；第六节 理论频率曲线统计参数对频率曲线形状的影响 为了避免配线时调整参数的盲目性，必须了解皮尔逊型分布的统计参数对频率曲线的影响。 固定皮尔逊型频率曲线的两个参数，改变第三个统计参数，可以使频率曲线发生很大的变化。第六节 理论频率曲线1. 均值x的影响

17、当Cv、Cs相同时，均值大的曲线位于均值小的曲线之上；均值大的曲线较均值小的曲线陡。第六节 理论频率曲线2. 变差系数Cv的影响 为消除均值影响，用模比系数K为纵坐标绘制频率曲线。当Cv0时，K1，频率曲线为一条水平线；且Cv越大，频率曲线越陡。第六节 理论频率曲线3. 偏态系数Cs的影响 正偏情况下，当Cv相同时，Cs越大，频率曲线中部向左偏，上部越陡，下部变平缓。第六节 理论频率曲线 三、抽样误差 用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是存在误差的，称之为抽样误差。这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。 样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡量抽样误差的大小的常用指标。第六节 理论频率曲线 统计参数的抽样误差第六节 理论频率曲线样本参数的均方误（相对误差，%） 由表中可见，当n100时，CS的误差在40126%之间。水文资料一般都很短（n100），按公式算得的CS值