第二讲灰色系统建模

1、2013数学(shxu)建模培训共七十页第二(d r)讲 灰色系统建模共七十页一、引 言共七十页 综合评价和预测是数学建模竞赛中较为常见的两类问题。 灰色关联分析与层次分析法、模糊综合评判法、数据包络分析法、神经网络评价法、主成分分析法、因子分析法、理想解法等是数学建模中常用的综合评价与决策方法。 灰色系统模型(mxng)主要指 GM(1,1)模7/19/20224共七十页模型，它与微分和差分方程(fngchng)模型、拟合方法、回归分析方法、时间序列、马氏链、神经网络等是数学建模中常用的预测方法。 本讲首先介绍灰色系统的概念与基本原理，然后重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型GM(1,1)

2、，最后介绍灰色关联分析方法和灰色系统7/19/20225共七十页模型在数学建模中的应用。 本讲首先要理解适宜用灰色系统方法解决(jiju)的问题特点，其次要了解灰色关联分析和灰色预测的原理，然后要熟练掌握灰色关联分析和灰色预测软件和程序的使用方法。 下面给出本讲学习大纲，以方便大家学习。7/19/20226共七十页1. 灰色(hus)系统中的“灰色(hus)”是何意思？2. 为何要用序列算子生成灰色序列？3. 如何理解累加算子的作用？4. 灰色关联分析可用于何种问题，它的基本思想是什么？5. 灰色关联分析前为何要对原始数据规范化，四种规范化方式的适用范围是什么？7/19/20227共七十页6.

3、 灰色关联度定义及分析方法中存在(cnzi)的问题。7. 两类灰色关联分析程序的差别。 8. 为何在用GM 模型进行预测前通常要对原始数据进行累加？9. 如何理解GM(1,1)模型的基本形式和白化形式？10. GM模型的优缺点及适用范围。7/19/20228共七十页二、灰色系统的概念(ginin)与原理共七十页 灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授1982年创立(chungl)的一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。 概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察随机不确定现象的7/19/202210共七十页历史规律。其出

4、发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。 模糊数学着重(zhuzhng)研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如，“年轻人”，“有钱”。 灰色系统理论着重研究“小样本, 贫信息”认知不确定问题，其研究对7/19/202211共七十页象具有“外延明确、内涵不明确”的特点。 例如(lr)，“ 8万到10万之间” 就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。7/19/202212共七十页1. 灰色系统的概念 对象的灰色系统中“灰色”的基本含义是指信息不完全，包括(boku)元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。 7/19/202213共

5、七十页2. 灰色系统的原理 目前(mqin), 灰色系统的理论体系尚不完善。通常，灰色系统必须满足下列基本原理： (1) 差异信息原理所有信息皆有差异； (2) 解的不唯一原理信息不完全、不确定情况下的解不唯一； 7/19/202214共七十页 (3) 最少信息(xnx)原理充分利用已有的最小信息(xnx)； (4) 认知根据原理信息是认知的根据； (5) 新信息优先原理新信息对认知的作用优于老信息； (6) 灰性不灭原理信息不完全 (灰)是绝对的。7/19/202215共七十页 灰色系统是极少数由中国学者创立的理论之一，基本概念与基本理论相当(xingdng)不完备，国内外许多学者对灰色系统

6、理论也有许多争论和不同看法。 本讲不过多探讨灰色系统的概念和理论，而只是将其视为一种实用的建模工具，会恰当地用其解决建模问题即可。7/19/202216共七十页三、序列算子(sun z)和灰色序列共七十页 灰色系统中原始数据中的信息是不完全的。灰色系统往往通过对原始数据的挖掘(wju)和整理来降低信息的不确定性，这一数据预处理过程称为灰色序列的生成，生成灰色序列的方法称为序列算子。 最常用的序列算子是累加算子。 累加是使灰色系统变白的一种方7/19/202218共七十页法，在灰色系统理论中占有极其重要的地位。累加可使表面凌乱(ln lun)的原始数据中蕴含的规律充分显现再来。 例如，在对比今年

7、与去年家庭支出时，若按日对比，可能很难发现明显规律；若累加后按月对比，规律就可能显现出来，可能呈明显的上升趋势。7/19/202219共七十页 设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n)令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d)，其中则D称为一次累加生成算子，记为1-AGO。 类似可定义二阶累加算子。 非负准光滑(gung hu)序列经过累加生成后,7/19/202220共七十页都会减少随机性，呈现出近似的指数增长(zngzhng)规律，称之为灰指数律。 原始序列越光滑，生成后的指数规律也越明显。 因此，灰色系统预测的常用方法是：首先对原始序列进行累加，然后用GM(1, 1)模型对生

8、成序列进行建模预测。7/19/202221共七十页 例如，某产品上半年销售数据序列X(0)=(50810,46110,51177,93750,110 574,110524)和累加序列X(1)=(50810, 96920,148097,241872,352446,462970)的折线图如下： 显然，X(0)的线型很难确定，但X(0)的线型已比较接近指数增长(zngzhng)曲线, 可以用指数函数拟合。7/19/202222共七十页7/19/202223共七十页四、灰色关联(gunlin)分析共七十页1. 引例 例1 某地区(dq)1997-2002年农业总产值X0，种植业总产值X1，畜牧业总产值

9、X2和林果业总产值X3的统计数据如下： X0=18,20,22,35,41,46 X1 =8,11,12,17,24,29 X2=4,3,5,6,11,7 7/19/202225共七十页 X3=6,6,5,12,6,10 分析农业与种植畜牧林果业产值的关系。 分析 本题要比较(bjio)的是不同数据的发展态势，实质上就是比较(bjio)数据点折线的几何形状。几何形状越接近，发展态势越接近，关联程度越大。 所给数据的折线图如下：7/19/202226共七十页7/19/202227共七十页 从图中可以很明显地看出，农业总产值曲线与种植业产值曲线最相似，即该地区(dq)的农业仍然是以种植业为主的农业

10、，畜牧业和林果业还不够发达。 但这与软件和程序计算的结果不一致。7/19/202228共七十页 例2 中国2001-2005年GDP及第1, 2,3产业产值如下, 分析(fnx)GDP与第1,2,3产业产值的关系。 X0=109.7,120.3,135.8,159.9,183.1 X1=15.5,16.2,17.1,21.0,23.1 X2=49.5,53.9,62.4,73.9,87.0 X3=44.6,50.2,56.3,65.0,73.0 所给数据的折线图如下：7/19/202229共七十页7/19/202230共七十页 从图中可以很明显(mngxin)地看出，GDP曲线与第2产业曲线最

11、相似。 但刘思峰书和程序计算结果是GDP与第3产业关联度最大。 而软件的计算结果又是GDP与第2产业关联度最大。7/19/202231共七十页 例3 供应商选择决策。 某企业需要在6个待选的零部件供应商中选择一个(y )合作伙伴，各待选供应商有关数据见下表：7/19/202232共七十页评价指标待选供应商123456产品质量0.830.900.990.920.870.95产品价格326295340287310303地理位置213825192710售后服务3.22.42.22.00.91.7技术水平0.200.250.120.330.200.09经济效益0.150.200.140.090.150

12、.17供应能力250180300200150175市场影响0.230.150.270.300.180.26交货情况0.870.950.990.890.820.947/19/202233共七十页 尽管对例1和例2这样的问题，可以通过作出数据折线图的方法观察发展态势的相似性，但直观判断终究是比较粗糙的，有时(yush)并不可靠，更何况例3这样的复杂问题并不能靠几何直观解决问题，所以需要设定一个合理的指标，用数值定量地描述两组数据间的关联程度。7/19/202234共七十页 灰色系统理论根据灰色关联公理, 提出的“灰色关联度”概念。灰色关联度是对数据序列几何形状的量化，根据灰色关联度来判断数据序列间

13、关联程度的方法(fngf)称为灰色关联分析。 下面首先介绍灰色关联分析中的一些概念和数据预处理。7/19/202235共七十页2. 数据的规范化 设评价对象有m个，评价指标有n个，特征(tzhng)序列x0=x0(k)|k=1,2,n,相关因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n, i= 1,2, m。 特征序列也称参考序列，可以理解为评价标准。在引例1为农业总产值，在引例2中为总GDP, 在引例3中7/19/202236共七十页中可理解为各项指标都占优的一个虚拟供应商。因素序列也称比较序列，可理解为评价对象。在引例1中为种植(zhngzh)畜牧林果业产值，在引例2中为第1, 2, 3产业，在

14、引例3中为各供应商。 由于特征序列和因素序列中的数据可能量级相差较大，单位也不一致,所以要对其适当的规范化处理，使之7/19/202237共七十页成为量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。 特征序列和因素序列中的数据规范化通常有下列四种(s zhn)方式： 设Xi=xi(1),xi(2),xi(n)为数据序列, XiD=xi(1)d, xi(2)d, xi(n)d,其中,7/19/202238共七十页则XiD分别称为(chn wi)初值像、均值像、区7/19/202239共七十页检验区间值像，对应的算子D分别称为初值化算子、均值化算子、区间值化算子。其中(qzhng)，第1

15、种初值化算子主要用于引例1和引例2中Xi(i=1,2,n)与X0的比较，第3, 4种区间化算子主要用于引例3中Xi (i=1,2,n)间的相互比较，第4种区间化算子的用途是将负相关关系转化为正相关关系。7/19/202240共七十页3. 灰色(hus)关联度 设特征序列x0=x0(k)|k=1,2,n,相关因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n, i= 1,2, m。对 ，令7/19/202241共七十页则 称为比较曲线xi对参考曲线x0在k时刻的关联系数。 称为分辨系数，作用为减少极端值的影响，通常取为0.5。 关联系数只表示各时刻数据间的关联程度，因此有必要将各时刻的关联系数集中为一个(

16、y )值，通常关联系数加权平均。7/19/202242共七十页 称为比较曲线xi对参考曲线x0的关联度。其中， 称为xi的权重， 。 (1) 灰色关联度是根据灰色关联公理给出的一种衡量(hng ling)数据间关联程度的一个指标。灰色关联度越大(小)，两者的相关程度越高(低)。7/19/202243共七十页 (2) 通常取各比较曲线的权重(qun zhn)均为1/n，也可根据具体问题或采用层次分析法等确定每个比较曲线不同的权重(qun zhn)。 (3) 灰色关联度易受极端值的影响，使之不能真正反映数据间的关联程度。另外，不同的分辨系数也会得到不同的关联度。7/19/202244共七十页4.

17、灰色关联分析的步骤 (1) 确定比较序列(评价对象)和参考(cnko)数列(评价标准)； (2) 确定各指标值对应的权重； (3) 计算灰色关联系数； (4) 计算灰色关联度； (5) 评价分析。7/19/202245共七十页 取等值权、区间值化算子和分辨系数为0.5时，用软件(run jin)和程序可求得引例1中种植畜牧林果业产值与农业总产值的关联度分别为0.6713, 0.7007, 0.6908，农业总产值与畜牧业产值关联度最大。 用程序可求得引例2中各产业与GDP的关联度分别为0.5679, 0.7811, 7/19/202246共七十页0.8460，即第3产业与GDP的关联度最大。但

18、用软件求得的结果为0.8053, 0.9656, 0.8542，第2产业的关联度最大。 引例3中各供应商与特征(tzhng)序列(虚拟最优供应商)的灰色关联度分别为0.4630, 0.5560, 0.6491, 0.6527, 0.4936, 0.6130。从而，企业决策者应优先考7/19/202247共七十页虑从第4个供应商处采购。 这里(zhl)要注意引例3与引例1,2之间的区别： (1) 引例1,2是xi(i=1,2,3)与x0比较, 而引例3则是xi(i=1,2,3)之间比较; (2) 引例3中的有些指标是负面指标，须进行转换。7/19/202248共七十页 练习1 2011年度东山矿

19、务局5个矿井生产经营数据如表1，试对各矿井经济效益(jn j xio y)进行综合评价。 练习2 某企业需要在6个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴, 各待选供应商有关数据见表2。7/19/202249共七十页表1 指标白家庄杜尔坪西铭官地西曲成本99.89103.6997.42101.1197.21利润96.91124.7866.44143.9688.36产量102.63101.85104.39100.94100.64销量98.47103.16109.17104.3991.90灰分87.5190.2793.7794.3385.21效率108.35106.39142.35121.91158.

20、61资金周转天71.67137.1697.65171.31204.52资源回收率103.2510010099.13100.22百万吨死亡率171.251.3515.9053.7220.787/19/202250共七十页表2 评价指标待选供应商123456产品质量0.830.900.990.920.870.95产品价格326295340287310303地理位置213825192710售后服务3.22.42.22.00.91.7技术水平0.200.250.120.330.200.09经济效益0.150.200.140.090.150.17供应能力250180300200150175市场影响0.2

21、30.150.270.300.180.26交货情况0.870.950.990.890.820.947/19/202251共七十页五、灰色预测(yc)模型共七十页 灰色预测的核心是灰色模型(mxng)，特点是模型(mxng)不使用原始数据，而是先对原始数据做累加，得到近似的指数型数据，再用微分方程建模。 灰色预测的优点是需要的数据少(4个即可)、精度较高、计算简单、易于检验，缺点是只适合指数增长的中短期预测。7/19/202253共七十页1. GM(1,1)模型 GM(1,1)表示1阶微分方程且含1个变量的灰色模型。 设特征(tzhng)序列的观察值为X(0)=x(0)(1), x(0)(2),

22、 , x(0)(n),其一次累加生成序列(1-AGO)为X(1)=x(1)(1), x(1)(2), , x(1)(n),其中， 7/19/202254共七十页 根据累加算子的性质, X(1)近似服从(fcng)指数增长规律。 X(1)的紧邻均值生成序列为Z(1)=z(1)(2), z(1)(3), , z(1)(n),其中，7/19/202255共七十页 根据差分方程的特性，建立灰差分方程x(0)(k)+a z(1)(k)=b, k=2,3,n,称之为GM(1,1) 模型的基本形式，a 称为发展系数(xsh)，b称为灰作用量。 GM(1,1)模型的基本形式有多种,上述仅为其中常用的一种形式。

23、 代入x(0)(k), z(1)(k)后方程化为7/19/202256共七十页 根据差分方程理论，方程(2)表明x(1)(k)为k的指数函数(zh sh hn sh)。 将离散差分方程 (1) 近似为连续7/19/202257共七十页的微分方程(wi fn fn chn)： 称之为GM(1,1)模型的白化形式或影子方程。记7/19/202258共七十页则GM(1,1)模型(mxng)的基本形式可写为Y= Bu。这是一个超定方程, 其在最小二乘意义下的解为u=(BTB)1BTY。 求出a, b值后，代入白化方程，可得解称为时间响应函数，从而时间响应序列为7/19/202259共七十页还原(hun

24、 yun)值为7/19/202260共七十页 最后，可以利用残差(相对误差(xin du w ch)对预测值进行检验。若 ，通常认为达到了较高的要求。7/19/202261共七十页2. GM(1,1)模型的讨论 从GM(1,1)的建模预测过程可以很清楚地看出，GM(1,1)其实就是基于累加生成序列(xli)和最小二乘估计的指数拟合模型。 GM(1,1)建模机理和预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，但尚未取得大家公认的科学合理的解7/19/202262共七十页释。目前达成共识的是:GM(1,1)可以用于指数规律较强的单调序列的中短期预测；即使用于纯指数增长序列的长期预测也可能存在较大误差；预测精度与发展系数(xsh) a有关。 发展系数 a反映了 及 的发展态势。理论已证明， 时，GM (1,1)模型有意义，且 较小时预测精7/19/202263共七十页精度较高，而随着 的增大，预测误差会随之变大。 通常，GM(1,1)模型(mxng)在a0.3时可用于中长期预测；在0.3a0.5时已不适宜做预测。 对振荡序列或有饱和的S形序列可用GM(2,1)模型或神经网络预测。7/19/202264共七十页五、灰色预测(yc)程序与实例共七十页