抽样推断概述、一般问题和区间估计

1、抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样推断概述、一般问题和区间估计本章内容 第一节 抽样推断概述 第二节 抽样推断的几个基本概念 第三节 抽样误差 第四节 参数估计的一般问题 第五节 一个总体参数的区间估计 第六节 样本容量的确定抽样方案设计抽样推断概述、一般问题和区间估计本章重点 第三、五、六节内容本章难点 第三、五节内容具体要求 理解抽样推断的含义、作用及基本概念 掌握抽样误差的计算、参数估计的方法等。抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样推断概述 一、抽样推断的概念 “抽样推断、抽样调查和抽样估计”基本上是相同的意思。回顾第二节“抽样调查”的概念 抽样推断是按照随机原则从全部研究对象中抽取一

2、部分单位进行观察，并根据被抽取的那部分单位的数量特征，运用一定的数理统计方法，对总体的数量性作出具有一定可靠程度的估计和判断。 【参书中的例子或自己举些例子】 抽样推断概述、一般问题和区间估计二、抽样推断的特点 1、抽样推断是非全面调查。可以节省人力物力和财力，取得事半功倍的效果。 2、抽样推断是按随机原则抽选调查单位。 3、抽样推断是用样本的指标数值去推算总体的指标数值。 4、抽样推断运用的是概率原理。 5、抽样推断中产生的误差可以事先计算并加以控制。抽样推断概述、一般问题和区间估计三、抽样推断的作用（适用范围） 1、对无限总体全面情况的了解，必须采用抽样推断。 2、对破坏性或消耗性检查，必

3、须采用抽样调查。 3、对某些可以但事实上不必或不可能进行全面调查的现象总体，可以采用抽样推断获取相关资料。 4、抽样调查可以对全面调查得来的资料进行验证，并据以进行补充和修改。 5、抽样推断可以用于生产过程的质量控制。 抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样推断的几个基本概念一、全及总体和抽样（样本）总体 1、全及总体又称母体，简称总体，它是指所要认识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。 组成全及总体的单位称为总体单位，全及总体的单位数一般用N表示。 2、抽样总体又称子样，简称样本，是从全及总体中随机抽取的那一部分单位所构成的集合体。 组成抽样总体的单位称为样本单位，样本单位数亦称样本容量，

4、一般用n表示。 样本单位数的范围:1nN抽样推断概述、一般问题和区间估计 抽样比例： 大样本：n30；小样本：n30 重点理解：如果说对于一次抽样调查，全及总体是唯一确定的，那么抽样总体就不是这样，样本是不确定的，一个全及总体可能抽出很多个样本总体，样本的个数和样本的容量有关，也和抽样的方法有关。nN抽样推断概述、一般问题和区间估计二、样本容量和样本个数1.样本容量：是指一个样本所包含的单位数，通常用n表示。（总体单位数用N表示）2.样本个数：样本可能数目，是从一个总体中可能抽取的样本个数。如：样本容量为n重复抽样：样本个数为不重复抽样：样本个数为抽样推断概述、一般问题和区间估计三、总体指标和

5、样本指标1.总体指标（参数）总体平均数总体成数 当研究的是总体个单位的属性特征时，只能用一定的术语来描述，所以就应该计算比重结构指标，称为总体成数。用大写 P 表示，它说明了总体中具有某种标志的单位数在总体中所占的比重。抽样推断概述、一般问题和区间估计 设总体N个单位中，有N1个单位具有某种属性，N0个不具有某种属性， N1 +N0=N，P为总体中具有某种属性的单位数所占的比重，Q为布局有某种属性的单位所占的比重，则总体成数为：抽样推断概述、一般问题和区间估计总体标准差、总体方差抽样推断概述、一般问题和区间估计2.样本指标（统计量）样本平均数样本成数抽样推断概述、一般问题和区间估计样本标准差、

6、样本方差抽样推断概述、一般问题和区间估计四、重复抽样和不重复抽样 抽取样本有两种基本方法，不同的方法会影响抽样的误差。 1、重复抽样（重置抽样、放回抽样） 基本的特点和做法 样本个数的计算：Nn（可重复排列数） 2、不重复抽样（不重置抽样、不放回抽样） 基本的特点和做法 样本个数的计算： （不重复排列数） N(N-1)(N-2).(N-n+1)N!/(N-n)! 以上都是考虑顺序的抽样！抽样推断概述、一般问题和区间估计 五、总体分布、样本分布和抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的可以假定它服从某种分布 总体1.总体分布 (population distribution)抽

7、样推断概述、一般问题和区间估计一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布 样本2.样本分布 (sample distribution)抽样推断概述、一般问题和区间估计样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 3.抽样分布(sampling distribution)抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样分布的形成

8、过程 (sampling distribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本抽样推断概述、一般问题和区间估计样本均值的抽样分布与中心极限定理 = 50 =10X总体分布n = 4抽样分布xn =16当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为，方差为2/n。即xN(,2/n)抽样推断概述、一般问题和区间估计中心极限定理(central limit theorem)当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分

9、布近似服从均值为，方差为2/n的正态分布一个任意分布的总体x抽样推断概述、一般问题和区间估计中心极限定理 (central limit theorem)x 的分布趋于正态分布的过程抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布抽样推断概述、一般问题和区间估计 7.3 抽样误差24 一、 抽样误差 1 抽样误差的概念 一般地说，抽样误差是指根据样本数据计算而得的样本统计量值与被它估计的未知的总体参数真值之间的差值。总体参数真值样本统计量值抽样误差例如Xx均值抽样误差抽样推断概述、一般问题和区间估计

10、2、统计调查误差的种类 （1）登记性误差（工作误差） 调查过程中由于主客观原因在登记、汇总、计算、过录中所产生的差错。 （2）代表性误差 用部分推算总体时产生的误差。 偏差（系统性误差）：由于抽样调查没有遵循随机原则而产生的误差。 随机误差 （偶然性误差）：在没有登记性误差又遵循了随机原则的情况下，所产生的样本指标与被它估计的总体相应指标的差数。抽样推断概述、一般问题和区间估计 3、抽样误差的进一步理解 它就是指随机误差； 它是一个随机变量； 它是抽样推断中不可避免不可消除的误差； 抽样误差的大小反映了样本代表性的高低； 它可以用数理统计方法进行计算和控制。二、抽样平均误差1.抽样平均误差的含

11、义： 抽样平均误差从一般意义上说是所有样本指标与总体指标差数的平均水平，它反映了抽样指标与总体指标的平均离差程度。 实质就是所有可能出现的样本指标的标准差。抽样推断概述、一般问题和区间估计 一全及总体可抽取的样本有多个 每个样本都可以计算出相应的样本指标（抽样平均数或抽样成数指标） 样本指标和总体指标的抽样误差各不相同（随机变量） 为了测定样本（指标）的代表性程度的高低，单独用某一次的抽样误差来衡量是不科学的，因此就需要采用一定的方法（求标准差的方法）计算所有抽样误差的平均数，这就是抽样平均误差。同时它在参数估计中也要用到。 抽样推断概述、一般问题和区间估计【例】假设从4个生产汽车零件的工人总

12、体抽取2人进行抽样调查，来推断4个工人的平均日产量。4 个工人的日产量分别为：x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 (单位：件）。可得总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差抽样推断概述、一般问题和区间估计 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n = 2 的样本（共16个）抽样推断概述、一般问题和区间估计 计算出各样本的均值，如下表。3.53.02.52.033.02

13、.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样推断概述、一般问题和区间估计样本平均数的均值或抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样平均误差是所有样本指标与总体指标离差的平均水平，所以有以下计算（件）件的含义是，对于16个样本，无论抽到哪个样本平均来说误差为件。抽样推断概述、一般问题和区间估计 从以上计算中可以看出：（1）抽样平均误差就是抽样指标的标准差，所以也称为抽样标准误差或估计标准误。（2）抽样平均误差（即抽样指标的标准差）比总体标准差小的多，仅为总体标准差的 。抽样推断概述、一

14、般问题和区间估计35 依据抽样分布的基本原理，可以利用以下计算公式直接计算出相应样本统计量的抽样平均误差。 （1）样本均值的抽样平均误差2.抽样平均误差的计算重复抽样条件下：x ns s = nN 1NnN- - 1- N1N- Q 一般情况下N比较大Nnx )1(n2 - s s 不重复抽样条件下：- - 1NnNn2 s ) (x s = 抽样推断概述、一般问题和区间估计36 （2）样本成数的抽样平均误差抽样平均误差) 1 p- n ( p ps = 重复抽样条件下：N n )(- - =) ( - - - =1 n ) 1 ( 1 N n N n ) 1 ( p Pppps 不重复抽样条

15、件下：抽样推断概述、一般问题和区间估计37 【例】从10000名学生中抽查200名测得平均身高为，已知学生身高的总体标准差。其中女生占全部学生的比重30%。求学生平均身高和女生比重的抽样平均误差。 抽样平均误差(举例)解：已知N=10000,n=200, x =1.65m, = 0.28,p = 30%在重复抽样的条件下:在不重复抽样的条件下:200 x ns s = = 0.28= 0.0198) 1 P- n ( p P s =) 1 0.3- 200( 0.3=3.24%10000200)(- - =- =1200)1(n)1(p0.30.3 P P s N)(- 1n=3.21%Nnx

16、 )1(n2 - = s s 10000200)1(2002 - = 0.28= 0.0196抽样推断概述、一般问题和区间估计 在没有总体方差和标准差时怎么办？ （用样本的相关指标代替即可）计算公式汇总：抽样推断概述、一般问题和区间估计三、影响抽样（平均）误差的因素 1、抽样单位数目的多少； 2、总体被研究标志的变异程度； 3、抽样方法和组织形式的不同。抽样推断概述、一般问题和区间估计7.4 参数估计的一般问题估计量与估计值评价估计量的标准点估计与区间估计抽样推断概述、一般问题和区间估计估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量

17、参数用 表示，估计量用 表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x =80，则80就是的估计值一、估计量与估计值 (estimator & estimated value)抽样推断概述、一般问题和区间估计二、评价估计量的标准1. 无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数 P( )BA无偏有偏抽样推断概述、一般问题和区间估计AB 的抽样分布 的抽样分布P( )2.有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量 ，有更小标准差的估计量更有效 抽样推断概述、一般问题和区间估计3.一致性(consistency

18、)一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P( )抽样推断概述、一般问题和区间估计三、点估计与区间估计估 计 方 法点 估 计区间估计参数估计的方法抽样推断概述、一般问题和区间估计（一）点估计 (point estimate)用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息抽样推断概述、一般问题和区间估计（二）区间估计 (interval estimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统

19、计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95% 样本统计量 (点估计)置信区间置信下限置信上限抽样推断概述、一般问题和区间估计区间估计的图示X95% 的样本 -1.96 x +1.96x99% 的样本 - 2.58x + 2.58x90%的样本 -1.65 x +1.65x抽样推断概述、一般问题和区间估计抽样极限误差（抽样允许误差、抽样边际误差） 含义： 抽样极限误差是指抽样指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。即 ，也可用E表示。 意义：由于抽样误差是一个随机变量，因此在实际工作中到底允

20、许抽样误差在一个什么样的范围内，这要根据实际情况来定。抽样推断概述、一般问题和区间估计影响区间宽度(E)的因素1.总体数据的离散程度，用 来测度样本容量，置信水平 (1 - )，影响 z 的大小抽样推断概述、一般问题和区间估计将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的 为，置信水平 抽样推断概述、一般问题和区间估计由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样

21、本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间 (confidence interval)抽样推断概述、一般问题和区间估计置信区间 (95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值抽样推断概述、一般问题和区间估计7.5 一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体比例的区间估计抽样推断概述、一般问题和区间估计（一）总体参数估计的一般模式：即概率保证程度（置信度）已知，求抽样极限误差的可能范围。此模式的具体步骤为： （1）根据样本计算样

22、本指标并以此作为总体指标的估计值 ； （2）计算样本标准差以推算抽样平均误差 。 （3）根据给定的可信度，查概率表求出概率度z的值。运用概率度z和抽样平均误差的关系式求出抽样极限误差E。 （4）最后根据抽样极限误差，对总体指标的区间作出估计。一、总体均值的区间估计抽样推断概述、一般问题和区间估计（一）总体均值的区间估计的一般模式 (例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平

23、均重量的置信区间，置信水平为95%抽样推断概述、一般问题和区间估计总体均值的区间估计(例题分析)解：已知:n=25, 1- = 95%，z/2。根据样本数据计算得： 总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为克克之抽样推断概述、一般问题和区间估计总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间 抽样推断概述、一般问题和区间估计总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36, 1- = 90%，z/2。根据样本数据计算得： ， 总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人

24、平均年龄的置信区间为岁岁抽样推断概述、一般问题和区间估计（二）参数估计的另一种模式 抽样极限误差已知，求概率保证程度。 此模式的具体步骤为： （1）根据样本计算样本指标并以此作为总体指标的估计值；计算样本标准差以推算抽样平均误差。 （2）根据给定的抽样极限误差，求出总体指标的上限和下限，即置信区间。 （3）运用抽样平均误差和抽样极限误差的关系式求出 的值，然后查概率表求出相应的置信度，即概率保证程度。抽样推断概述、一般问题和区间估计例：某城市进行居民家计调查，随机抽取400个居民户，调查得年平均每户文化用品消费支出为900元，标准差为200元。要求抽样允许误差不超过18元，拭对该市居民年平均每

25、户文化用品消费支出情况做出估计。解：以92.8%的概率保证程度，估计该市居民户年均文化用品消费支出在885915（900-15900+15）元之间.查表知概率为92.8%抽样推断概述、一般问题和区间估计二、总体成数的区间估计抽样推断概述、一般问题和区间估计总体成数的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知 n=100， 65% , 1-= 95%，z/2该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35% 抽样推断概述、一般问题和区间估计样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定抽样推断概述、一般问题和区间估计影响样本容量的因素1.总体的变异程度()2.允许误差的大小（ ）3.推断的可靠程度（1-）抽样推断概述、一般问题和区间估计估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差2、允许