新高考数学模拟卷分类汇编二期专题04《空间向量与立体几何》(解析版)

1、专题04 空间向量与立体几何1（2021河北邯郸一中高三开学考试）2021年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行，其中某泳池池深约3.5m，容积约为4375，若水深要求不低于1.8m，则池内蓄水至少为（ ）A2250B2500C2750D2000【答案】A【解析】由题意，池底面积，则蓄水量至少为，故选A。2（2021湖北武汉二中高三开学考试）某圆柱体的底面直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为（ ）A2BCD【答案】C【解析】设圆柱得底面半径为，则高为，球的半径为，所以圆柱体表面积，球得表面积，所以圆柱体表面积与球体表面积的比值为.故选C。3（2021广东佛山

2、高三月考）若将面积为2的等腰直角三角形，以其一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由等腰直角三角形的面积为2，得其直角边长为2，所以经过旋转得到圆锥的高为2，底面圆半径为2，所以圆锥的体积为：，故选D。4（2021湖南省岳阳一中高三开学考试）2021年7月18日18时至21日0时，郑州出现罕见持续强降水天气过程，全市普降大暴雨特大暴雨，累积平均降水量449毫米，给郑州市带来重大的财产损失和人员伤亡.一般气象学上定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小

3、时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）A小雨B中雨C大雨D暴雨【答案】B【解析】由题意,一个半径为的圆面内的雨充满一个底面半径为,高为的圆锥,所以积水厚度,属于中雨.故选B5（2021宁波市北仑中学高三质检）已知平面，直线，m，且有，给出下列命题：若，则；若，则；若，则其中命题正确的有（ ）个A0B1C2D3【答案】A【解析】对于由，得不出，故错误；对于，得不出，故错误；对于，得不出，故错误，故选A。6（2021广东深圳中学高三月考）已知两条不同的直线和两个不同的平面，则：（1）若，则；（2）空间中，三点确定一个平面；（3）若，则；（4）若且，则.以上假命题的个数为（ ）A1B2C3D4

4、【答案】C【解析】对于（1），当时，与可能平行，可能相交不垂直，可能垂直，可能在内，所以（1）错误，对于（2），当空间中的三点不共线时，这三点确定一个平面，当空间中的三点共线时，则过这三点有无数个平面，所以（2）错误，对于（3）当，若时，则不一定平行，所以（3）错误，对于（4），如图，过直线作平面，所以，同理可得，所以，因为，所以，因为，所以 ，所以，所以（4）正确，故选C。7（2021江苏省苏州中学高三月考）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示：在正四棱锥中，为底面对角线的交点，为外接球的球心.，所以，即.因为.设四

5、棱锥外接球半径为，则，所以，解得.所以外接球表面积为.故选A。8（2021浙江杭州高三联考）如图，在直三棱柱中，则与所成的角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】如图，以为坐标原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以直线与所成角的余弦值为故选A。9（2021浙江绍兴一中高三月考）在三棱锥中，两两垂直，为棱上一动点，当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】由条件，且，平面，则与平面所成角为，所以，当取得最小值时，取得最大值在等腰中，当为的中点时，取得最小值.以为坐标原点，分别以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向

6、量为，则，即,令，得.因为，所以与平面所成角的正弦值为.故选A。10（2021江苏金陵中学高三月考）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则（ ）A1BCD【答案】D【解析】如图，正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，设到底面的距离为，到底面的距离为，则，取的中点，连接，记与平面的交点为，由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，记其中点为，且由题意可知，为正三角形的中心，因此，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，由，且为的中点，可得，则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记球的半径为，于是，在中，由勾股定理可得，解得，于

7、是，则故选D。11（2021浙江诸暨中学高三开学考试）如图四面体，平面，于，于，则（ ）A可能与垂直，的面积有最大值；B可能与垂直，的面积没有最大值；C不可能与垂直，的面积有最大值；D不可能与垂直，的面积没有最大值.【答案】C【解析】假设，,面，面 ，面，又， ，面，又面， 等要三角形中是不可能的，假设错误，不可能与垂直；设，则，等号成立当且仅当 ，故选C。12（2021浙江金华中学高三月考）已知四面体，平面，于E，于F，则（ ）A可能与垂直，的面积有最大值B不可能与垂直，的面积有最大值C可能与垂直，的面积没有最大值D不可能与垂直，的面积没有最大值【答案】D【解析】由平面知，则，利用等面积法求

8、得斜边上的高，从而有，则为等腰三角形，不可能与垂直，即不可能与垂直.故AC错误；由上知，设，则，由余弦定理知，则由知，故为锐角，且的面积，当取得右侧边界点时，三点共线，不能构成三角形，故无最大值，故B错误，D正确；故选D。13（2021浙江金华中学高三月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD【答案】D【解析】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是长为、宽为、高为的长方体中挖去一个棱长为的正方体，和一个半径为、高为的半圆柱和一个长为、高为，宽为的长方体，因此，该几何体的体积为，故选D。14（2021湖南长郡中学高三月考）公元前3世纪，古希腊欧几里得在

9、几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）假设运用此体积公式求得球奖（直径为a），等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为，那么（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意得球的体积为；等边圆柱的体积为；正方体的体积，所以，故选D。15（2021浙江杭州外国语学校高三调研）某几何体的三视图（单位：）如图所

10、示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）ABCD4【答案】A【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为故故选A。16（2021浙江丽水外国语实验学校月考）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】作出几何体的直观图如下：由三视图和直观图可知，该几何体由棱长为的正方体切去两个底面为等腰直角三角形、高等于正方体棱长的三棱锥得到，如下图所示：所以几何体的体积为，故选D。17（2021河北邯郸一中高三开学考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界）.平面，当线段EF长度最大时，与平面所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设正方

11、体的棱长为a，如图，取的中点G，连接，过G作，与交于点H，则点，且平面，则即为与平面所成角，当长度最大时，点F与点H重合，得.故选B。18（2021湖南长沙一中高三调研）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D，E，F为圆O上的点，分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起，使得D，E，F重合，得到三棱锥，则当的边长变化时，三棱锥的表面积S的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】设三棱锥底面边长为a，则如图所示，连接OD交BC于点G，则，故三棱锥的底面积为，侧面积为因而表面积为，故故选D。19（2021重

12、庆八中高三质检）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，连接，连接因为，所以，所以平面因为，所以因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为，故选B。20（2021河北正定中学高三开学考试）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则以下四个结论中

13、正确的个数为（ ）；是等边三角形；与所成的角为；与平面所成的角为A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】如图所示：取的中点，连接AO，OC，则，直二面角的平面角，对于，平面，平面，面，平面，故正确；对于，设正方形的边长为2，在直角中，是等边三角形，故正确；对于，与平面所成的线面角的平面角是，故与平面成的角不正确，故错误；对于，可取中点，的中点，连接，由于，是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而是直角三角形的中线，其长度是的一半即正方形边长的一半，故是等边三角形，由此即可证得与所成的角为，故正确故选C。21（2021河北沧州一中高三月考）攒尖顶是中国传统建筑屋顶表现手法，多用于面积不大的

14、建筑，如故宫的中和殿攒尖根据脊数多少，分三角攒尖顶、四角攒尖顶、六角攒尖顶、八角攒尖顶，具有较强的艺术装饰效果一建筑屋顶想采用攒尖形式，有三种设计方案，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，若将三种方案中屋顶分别看成正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的侧面，且各正棱锥底面面积相同，各正棱锥侧面与底面所成角相等那么三种设计中正棱锥侧面积最小的为（ ）A三角攒尖B四角攒尖C八角攒尖D面积一样大【答案】D【解析】设正三棱锥的底面边长为，底面中心到边的距离为，底面积为,侧面积为；设正四棱锥的底面边长为，底面中心到边的距离为，底面积为,侧面积为；设正八棱锥的底面边长为，底面中心到边的距离为，底面积为,侧面积为；，因为

15、底面积相同，所以，因为侧面与底面的夹角相等，设为，所以正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥侧面每个三角形的高分别为，所以，又，所以，所以侧面积一样大，故选D。22（2021江苏省前黄高级中学高三月考）已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA最长时，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图，由及，得平面，即点在与垂直的圆面内运动，由题意知，当、三点共线时，达到最长，此时，是圆的直径，则，又，所以平面，此时可将四棱锥补形为长方体，其体对角线为，底面边长为2的正方形，由题意得高，故四棱锥体积故选C。23（2021西

16、南大学附中高三开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足现将MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（ ）ABCD【答案】B【解析】，将MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，设，在中有，在中，有，当且仅当，时等号成立.F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.故选B。24（2021山东师范大学附中高三开学考试）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，为球O的直径且，球心O是的中点，球半径，取

17、AB的中点D，连接OD，OB，则，且满足，又，平面，平面所以点P到底面的距离为,故选D。25（2021浙江省普陀中学高三开学考试）如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）AB三棱锥的体积为定值CD的最小值为【答案】D【解析】由平面，可得，则由，可得平面又平面，则，所以A项命题正确；由于M，N分别为中点，可得因为点P在上，所以点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积由于和h都为定值所以三棱锥的体积为定值，所以B项命题正确；设，由对称性可得，则当P与C重合时，此时，达到最小为，当交于P时，由等面积法可得，此时，达到最大为，所以C项命题正确；将平面与平面

18、沿展成平面图，当交于P时，可得，此时为最小值，所以D项命题错误；故选D。26（2021河北沧州一中高三月考）如图所示，已知四棱锥中，四边形为正方形，三角形为正三角形，侧面底面，M是棱的中点（1）求证：；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取的中点O，连接，并过O点作的平行线，交于E，则三角形为正三角形平面底面且平面底面底面以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，（2），设平面的一个法向量为则即 令， 设平面的一个法向量为 则即令，所以，所以二面角的正弦值为27（2021浙江省富阳中学高三开学考试）如图，平面五边形中，将沿折起成四棱

19、锥（1）证明：;（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取AD的中点F，连结EF、CF、AC.因为，所以.又，所以四边形CDEA为平行四边形.因为且，所以四边形CDEA为正方形,所以CD、AE互相平分且ADEF，ADCF.即ADPF，ADCF.又，所以AD面PCF,所以AD面PC.（2）由（1）可知：四边形CDEA为正方形，所以ADAB,且.以A为原点，为x、y轴正方向，过A垂直平面ABCD向上的方向为z轴建立坐标系. 则，由，即，解得：，所以.所以,设为平面PCD的一个法向量，则有：，不妨设x=1，则.设直线与平面所成角为，则,即直线与平面所成角的正弦值为.28（2021湖北襄阳四中高三月考）如图，在三棱柱中，点E，F分别在棱，上（均异于端点），平面（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为三棱柱，所以，因为平面，所以平面，又因为，平面，所以，所以，因为，且，所以，所以，因为，所以四边形为平行四边形，因为平面且平面，所以，故四边形是矩形；（2）取的中点G，连结，由（1）可知，因为平面且平面，所以平面平面，因为平面平面，且平面，所以平面