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文档简介

1、第21讲 数列中的公共项问题 一、单选题1(2021全国高二课时练习)已知两个等差数列5,8,11,302与3,7,11,399,则它们所有公共项的个数为( )A23B24C25D26【答案】C【分析】求得新数列的首项以及公差,然后根据等差数列的通项公式进行求解.【详解】设两数列的所有相同的项构成的新数列为,又数列5,8,11,302的公差为3,数列3,7,11,399的公差为4,所以数列的公差为12,所以,解得,所以两数列有25个公共项.故选:C二、多选题2(2022全国高三专题练习)已知,将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列,则( )ABC的前项和D的前项和为【答案】BC【分析】先分析

2、出数列为数列的子数列,从而判断出,求出的前项和.【详解】令,所以,当时,所以数列为数列的子数列,所以,所以的前项为.故选:BC.【点睛】等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换和灵活运用性质三、双空题3(2021江苏苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试)已知两个等差数列:5,8,11,与:3,7,11,它们的公共项组成数列,则数列的通项公式_;若数列和的项数均为100,则的项数是_.【答案】 25 【分析】根据等差数列,得到是等差数列及其公差,写出的通项公式,根据数列和的项数均为100,由的项是,的公共项,利用通项公式求解.【详解】因为等差数列:5,8,11,的首项为5,公差为3,所以通项

3、公式为,:3,7,11,的首项为3,公差为4,所以通项公式为,所以它们的公共项组成数列是等差数列,且首项为11,公差为,所以数列的通项公式;因为数列和的项数均为100,所以,解得 ,所以的项数是25.故答案为:,25.4(2021北京昌平高二期末)数列,;,定义数列,.设,则数列的所有项的和等于_;设,则数列与有_个公共项.【答案】19 2 【分析】由题意可以得到数列的通项公式,然后根据的通项公式可以知道29个项里面有9个1,10个,10个2,从而得到问题解答;由题意可以得到数列和的通项公式,再令即可得到的关系式,最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答.【详解】由题意可得:,当时,数列的

4、所有项的和为:;由题意可得:,很显然,要使,必须同时为3的倍数或者同时不为3的倍数,若同时为3的倍数,则有,则或,此时或,不成立;若同时不为3的倍数,则有,则或14或19或29,此时对应的有或11或15或23,把与题意相矛盾的舍去,剩下,或,即或,即数列与有2个公共项;故答案为19;2.四、填空题5(2021江苏高二单元测试)将数列与的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前10项和为_【答案】4046【分析】根据题意确定数列的前10项,利用等比数列的前n项和公式即可求出结果.【详解】因为数列是由和的公共项从小到大排列得到,所以数列的前10项为,即是以2为首项,以2为公比的等比数列.所以数列

5、的前10项和为.故答案为:40466(2021江西南昌市八一中学高一月考)将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前n项和为_【答案】【分析】由已知数列观察得出公共项数列的首项和公差,然后由等差数列前项和公式计算【详解】数列是首项为1,公差为4的等差数列,数列是首项为2公差为3的等差数列,它们的公共项是首项为5公差为12的等差数列,所以故答案为:7(2021河南商丘高三月考(理)将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则其通项_.【答案】【分析】经检验,数列中的偶数项都是数列中的项,观察归纳可得.【详解】数列中的项为:2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,经检验,数列中的

6、偶数项都是数列中的项.即,256, 可以写成的形式,观察,归纳可得.故答案为:.五、解答题8(2021全国高三专题练习)已知数列是公比为的等比数列,且满足,成等比数列,为数列的前项和,且是和的等差中项,若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成,求数列的前100项和.【答案】11302【分析】根据数列是公比为的等比数列,满足,成等比数列,得到,根据题意得到,计算,设,得到,数列的前105项中有5项需要剔除,计算得到答案.【详解】数列是公比为的等比数列,则,即,即是公差为2的等差数列.,成等比数列,故,即,解得.故.是和的等差中项,则,当时,解得;当时,两式相减得到,即,故是首项为1公

7、比为2的等比数列,验证时满足.故.令,即,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.故数列的前105项中有5项需要剔除,分别为.故数列的前100项和为.9(2020江苏高二期中)已知数列为首项为,公差为4的等差数列,数列满足:对任意的,都有.(1)求数列,的通项公式;(2)将数列,中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列,求数列的通项公式以及数列的前项和.【答案】(1),;(2)【分析】(1)依题意可得,再利用作差法得到;(2)由(1)可得的首项为,公比为,即可得到、,再利用错位相减法求和即可;【详解】解:(1)依题意因为,即;所以;得,所以,故,(2)由(1)可知的首项为,公比为,故,

8、所以设的前项和为,则;得所以10(2021广东横岗高中高三月考)已知数列的前项和满足,且(1)求证:数列是常数列;(2)求数列的通项公式若数列通项公式,将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列,求的前项和【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)根据与的关系式得到,然后证明即可;(2)根据(1)求出数列的通项公式,然后根据数列与的通项公式得到新数列是以1为首项,以6为公差的等差数列,从而根据等差数列的前项和公式求的前项和【详解】(1)证明:由,得,将上述两式相减,得,即,则,数列是常数列;(2)由(1)可知,当时,检验当时,也适用,数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,又数列是以1为

9、首项,以3为公差的等差数列,这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项,以6为公差的等差数列,的前项和为11(2021全国高三专题练习)已知等差数列及关于x的方程(),且数列的公差,(1)求证:这些方程有一个公共根;(2)若方程的另一根为,求证:数列为等差数列;(3)若数列的任意两不同项、(m、)之和都是数列的项,求与d满足的充要条件【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3),或(,)【分析】(1)一元二次方程系有公共根,结合成等差数列,必有,与方程比较显然可以发现是方程系的公共根;(2)使用韦达定理,求出,进一步表示出,通过等差数列的定义证明是等差数列;(3)假设存在使成立,寻找与

10、d满足的关系式(其中任意m、)【详解】(1)证明:因为为等差数列,所以,因此是方程的一个公共根(2)若方程的另一根为,则由韦达定理得,即,故,即,因此故数列是等差数列,得证(3)设存在t(),有,即,所以,存在,对任意m,恒成立,若,则,即,故,若,则,由m,k,故为整数,设(),即,因此,即,即,又对任意m,k,恒成立,即对m,恒成立,所以,即,综上所述,与d满足的充要条件是:,或(,)12(2021全国高三专题练习)设数列与的通项公式分别是,将它们的公共项从小到大排列成新数列,求的前n项和【答案】.【分析】先将所给数列与的前若干项一一列出,找出它们的公共项中的前几项,由这几项进行分析,猜想

11、的项可能是中除去前两项的所有奇数项,构成以8为首项,以4为公比的等比数列再证明猜想,可得出答案【详解】解:由题意可知的前几项是:2,4,8,16,32,64,128,256,的前几项是:5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,(即被3除余2的数)由此可知,数列的前三项是8,32,128回到数列中,不难发现的项可能是中除去前两项的所有奇数项,构成以8为首项,以4为公比的等比数列对此猜想证明如下:设数列中的第n项在中是第m项,在中是第k项,由数列的定义可知,故有,则中的第项为显然,不是数列中的项,从而不是中的项而中的第项为:,显然它是数列中的项,从而是中的第项,且,故是以8为首项,

12、4为公比的等比数列,且其前n项和为13(2021上海市复兴高级中学高一期末)已知各项均为正数的等差数列与等比数列满足,又、成等比数列且.(1)求数列、的通项公式;(2)将数列、的所有公共项从小到大排序构成数列,试求数列前2021项之和;(3)若,数列是严格递增数列,求的取值范围.【答案】(1),;(2);(3).【分析】(1)设出公差和公比,用基本量表达出条件即可解出;(2)根据两个数列的通项公式列举出的前几项,得出数列的类型再求和即可;(3)根据数列的增减性,分类变量即可解出.【详解】(1)设公差为,公比为,由已知可得:,又,解得:.(2),是以4为首项,4为公比的等比数列,则其前2021项

13、和为(3),是严格递增数列,恒成立,即恒成立,设,则,即严格单调递增,.14(2015江苏高三月考)已知等比数列的首项,公比,数列前n项和记为,前n项积记为(1)证明:;(2)求n为何值时,取得最大值;(3)证明:若数列中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为,则数列为等比数列【答案】(1)见解析;(2)12;(3)见解析【解析】试题分析:(1)只要证明,即可,由等比数列前项和公式易得;(2)由于数列的项正负相间,因此中从第2项开始两项负两项正出现,因此可先求的最大值,为此求得,可见中的最大值是,只是,因此比较与它最接近的正值和,

14、知最大;(3)由于数列是正负相间的,因此其相邻三项重新排序(按从小到大顺序)时要按的奇偶性分类,注意到是递减的,不论为奇数还是偶数,总有,且当为奇数时,当为偶数时,固有数列成等比数列试题解析:(1)证明:,当时,等号成立,(2)解:,当时,当时,故又,的最大值是和中的较大者,因此当时,最大(3)证明:,随n增大而减小,奇数项均正,偶数项均负,当k是奇数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,则,因此成等差数列,公差,当k是偶数时,设中的任意相邻三项按从小到大排列为,则,因此成等差数列,公差,综上可知,中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,且,数列为等比数列考点:等比数列的前项和

15、,数列的最大(小)项,等差数列与等比数列的判断【名师点晴】 1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式、前项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点2有关数列的最大项、最小项,数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性常用作差法,作商法,图象法求最大项时也可用满足;若求最小项,则用满足本题中数列中的正负依次出现,因此首先研究的单调性及最大项,再考虑的最大值15(2020江苏苏州高三期末)已知数列满足,其中是数列的前n项和.(1)求和的值及数列的通项公式;(2)设.若,求k的值;求证:数列(中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.【

16、答案】(1),;(2)1,见解析【分析】(1)利用递推关系式求出数列的前几项,同时求出数列的通项公式;(2)结合第一问的结论求出,直接代入即可求解;对于给定的,若存在,使得,只要找到相应的整数,即可证明【详解】(1)时,所以,时,所以,所以.由,所以,由得,即,当时,由得,即,所以数列是首项为0,公差为2的等差数列,故数列的通项公式是.(2);对于给定的,若存在,使得;,只需,两边取倒数,即,即;即,;取,则;对数列中的任意一项,总可以表示成该数列其他两项之积【点睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题16(2016上海市晋元高级中学高三期中

17、)已知递增的等差数列的首项,且、成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)设数列对任意,都有成立,求的值(3)若,求证:数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积【答案】(1);(2);(3)见解析.【分析】(1)根据解出公差,即可得到通项公式;(2)当时,由,及,两式作差求出,即可求解;(3)通过数列通项公式关系对数列中的任意一项,都存在和使得,即可得证.【详解】(1)是递增的等差数列,设公差为 、成等比数列, 由 及得 (2), 对都成立当时,得 当时,由,及得,得 (3)对于给定的,若存在,使得 ,只需, 即,即即, 取,则 对数列中的任意一项,都存在和使得【点睛】此题考查求数列通项公式以及

18、数列求和,考查对数列通项公式的理解认识,证明相关结论.17(2021上海交大附中高二期中)已知数列的前n项和为,我们把满足条件(n为任意正整数)的所有数列构成的集合记为M.(1)若数列的通项为,判断是否属于M,并说明理由;(2)若数列是等差数列,且,求的取值范围;(3)若数列的各项均为正数,且,数列中是否存在无穷多项依次成等差数列?若存在,给出一个数列的通项;若不存在,说明理由.【答案】(1)属于M,理由见解析.(2)(3)数列中不可能存在无穷多项依次成等差数列,理由见解析.【分析】(1)利用等比数列前n项和公式计算,再比较与大小关系即可判断作答.(2)设等差数列的公差d,求出数列的前n项和,

19、列出不等式,借助恒成立探求出d与a1的取值即可计算作答.(3)根据给定条件探求出数列具有的性质,再借助反证法思想并结合等差数列通项即可判断作答.(1)因数列的通项为,则数列是首项为1,公比为q的等比数列,其前n项和有:,因,则有,即,恒成立,所以属于M.(2)设等差数列的公差d,则数列是等差数列,首项为a1+1,公差为d+1,令Tn为的前n项和,因,则,当时,于是得,当时,二次函数开口向下,则必存在某个正数A,当时,于是有对成立,必有,即,因此,则有对成立,解得,于是,所以的取值范围是.(3)因数列的各项均为正数,且,则的前n项和有:对成立,于是得,则,显然,当时,而,因此,恒有,对,时,当n=1时,假设数列中存在无穷多项依次成等差数列,不妨设该等差数列的第n项为(c,b为常数),则存在,使得,即,当,时,令,则,即,于是当,时,从而有当,时,即,依题意

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