新高考数学二轮专题《导数》第24讲 导数中的恒成立问题（解析版）

1、第24讲 导数中的恒成立问题1若，恒成立，则整数的最大值为A1B2C3D4【解析】解：恒成立，即恒成立，即的最小值大于，令，则，在上单调递增，又（2），（3），存在唯一实根，且满足，当时，；当时，故整数的最大值为3故选：2已知关于的不等式在恒成立，则整数的最大取值为A3B1C2D0【解析】解：若关于的不等式在恒成立，即在恒成立，令，故在递增，而时，（1），故存在，使得，故，故在递减，在，递增，故，故，故选：3已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最大值为4【解析】解：，时，不等式恒成立，亦即对一切恒成立，所以不等式转化为对任意恒成立设，则，令，则所以在上单调递增因为（3），（4），所以在上存在

2、唯一实根，且满足，当时，即；当时，即所以函数在上单调递减，在，上单调递增，又，所以所以，所以故整数的最大值是4故答案为：44已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最大值为4【解析】解：因为当时，不等式恒成立，即对一切恒成立，亦即对一切恒成立，所以不等式转化为对任意恒成立设，则，令，则所以在上单调递增因为（3），（4），所以在上存在唯一实根，且满足，当时，即；当时，即所以函数在上单调递减，在，上单调递增，又，所以所以，所以故整数的最大值是4故答案为：45已知函数，（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）由题意得，函数的定义域是，故，令，解

3、得：或（舍，故当时，递减，当时，递增，故函数在递减，在递增；（2）对任意，不等式恒成立对任意，恒成立对任意，恒成立，记，则，当时，故在，递增，又，故当时，不合题意；当时，当时，故，故在，上递减，故当时，符合题意；当时，记，则，显然，在，单调递减，又，故存在唯一的，使得，故当时，在，上单调递增，故当时，不符合题意，综上：，即实数的取值范围是，6已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）时，（1），故（1），故曲线在处的切线方程是，即；（2）由题意得：，令，则，当时，对任意，有，故在，上递减，当时，（1），若，则在，上，即在，上，故在，递

4、减，当时，（1），符合题意，若即，则（1），（e），根据在，上递减，可知存在，当时，有，即，故在上递增，有（1），与矛盾，不合题意，当时，当时，于是，与矛盾，不合题意，综上：实数的取值范围是，7已知函数，其中（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与的图象的切线，求，的斜率之积；（2）若在区间上恒成立，求的最小值【解析】解：（1）时，设过坐标原点的直线分别切，于点，且，解得：，；（2）由在上恒成立，得时，令，当时，左边，右边，显然成立，当，注意到，在递增，令，令，得：时，递增，当时，递减，故（1），8已知函数，为常数）（1）当时，证明：对任意，不等式恒成立；（2）若对任意，不等式恒成

5、立，求实数的取值范围【解析】证明：（1）设，设，恒成立，在，上单调递减，在，上单调递减，（1），对任意，不等式恒成立解：（2）对任意，不等式恒成立，在，恒成立，当时，成立，当时，恒成立，设，设，设，易知函数在上单调递减，（1），在上单调递减，（1），在上单调递减，（1），在上恒成立，在上单调递减，（1），9已知函数（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围【解析】解：（1），令，得；令，得所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以设，易知在上单调递增因为，（1）所以存在，使得，即当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以，从而，故的

6、取值范围为，10已知函数（1）求函数的单调区间；（2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1），当，的单调递增区间是；当，当时，当时，所以的单调递增区间是，单调递减区间是（2）由已知，问题等价于对于任意，不等式恒成立，设，则，设，则，在上，单调递增，又，（1），所以，所以，使得，即，在上，单调递减；在上，单调递增；所以，又有，设，则有和，所以在上，单调递增，所以，所以，所以，故实数的取值范围为，11设函数，（1）求函数在上的值域；（2）当，时，不等式恒成立是的导函数），求实数的取值范围【解析】解：（1），则，令，解得：，令，解得：，故在，递增，在，递减，故，或，而，故函数在上

7、的值域是，；（2），当，时，不等式恒成立，即恒成立，即在，上恒成立，设，则，设，则，当，时，即在，上单调递增，则，若，则，故在，上单调递增，故恒成立，符合题意，若，则，必存在正实数，满足当时，单调递减，此时，符合题意，综上：的取值范围是，12已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的最小正整数值【解析】解：（1）由题得，函数的定义域为，当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减当时，令，得，令，得此时，在上单调递减，在上单调递增综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）依题意，在上恒成立令，则，令，则，令，由于，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最

8、大值根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数而，（2）知，可知在区间上必存在，使得函数满足，且在上单调递增，在，上单调递减由于，而，故，由，因此，所以，因此的最小正整数值为113已知函数（1）求曲线在点，（e）处的切线方程；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值【解析】解：（1），所以（e），又（e），所以切线方程为，即（2）当时，恒成立，可转化为当时，恒成立，设，则，设，则，因为时，所以在上单调递增，又因为（3），（4）所以存在唯一的，使得，即，当时，即，当，时，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因为，且，所以整数的最大值为314已知（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；（2）求证：当时，【解析】解：（1）不等式恒